Funzione logaritmica.
Perchè, in una funzione logaritmica, la base deve essere maggiore di zero e diversa da uno?
Risposte
Credo che sia per il fatto che per ogni valore del dominio esiste uno e un solo valore del codominio, se ciò non accade la funzione non è più reale. A 0 la funzione va a meno infinito, e se la base è diversa da uno???- La funzione logaritmo "discende" dalla funzione esponenziale, e indica il valore dell'esponente che una funzione esponenziale deve assumere data una base "a" e un valore "b". In termini più precisi:
$log_a(b)=x$
$a^x=b$
ma se poni $a=1$ ottieni che la funzione esponenziale assume valore $b=1$ per un qualunque numero reale. Dunque i valori che può assumere la variabile x sono infiniti.
Se i valori che assumono la x sono infiniti, allora nella funzione logaritmo avresti infiniti valori per un qualunque numero reale b.
Ma se nella funzione logaritmo, la variabile x rappresenta la variabile DIPENDENTE (e non INDIPENDENTE come nell'esponenziale, proprio perché si tratta della sua inversa), essa non può essere una funzione reale per $a=1$ (Ricordando che una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di un insieme, un solo elemento dell'altro. I due insiemi sono il dominio e il codominio della funzione.Potrebbe tuttavia trattarsi di una funzione vettoriale di variabile reale, ma questo è un altro discorso...Perché ad un solo elemento di x corrispondono un'infinità di valori di $b$ e di conseguenza un vettore di infiniti valori).
$log_a(b)=x$
$a^x=b$
ma se poni $a=1$ ottieni che la funzione esponenziale assume valore $b=1$ per un qualunque numero reale. Dunque i valori che può assumere la variabile x sono infiniti.
Se i valori che assumono la x sono infiniti, allora nella funzione logaritmo avresti infiniti valori per un qualunque numero reale b.
Ma se nella funzione logaritmo, la variabile x rappresenta la variabile DIPENDENTE (e non INDIPENDENTE come nell'esponenziale, proprio perché si tratta della sua inversa), essa non può essere una funzione reale per $a=1$ (Ricordando che una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di un insieme, un solo elemento dell'altro. I due insiemi sono il dominio e il codominio della funzione.Potrebbe tuttavia trattarsi di una funzione vettoriale di variabile reale, ma questo è un altro discorso...Perché ad un solo elemento di x corrispondono un'infinità di valori di $b$ e di conseguenza un vettore di infiniti valori).
Sì, il fatto della funzione che degenera l'avevo pensato anche io: in effetti faccio confusione nel visualizzare la funzione logaritmo, e quindi metto la x alla base e non all'argomento, come dovrebbe essere. Comunque, grazie a tutti.
Io concordo con alvinlee88: non si ammette il valore 1 per la base perché $log_1(x)$ non ha mai significato: se $x ne 1$ non esistono valori plausibili, se $x=1$ ogni valore è plausibile.
"turtle87":
Quindi vale lo stesso discorso della definizione di radice? Mi riferisco alla funzione esponenziale, da cui, evidentemente, è dedotto il concetto di funzione logaritmica?
In pratica, mi riferisco al fatto che sia n x n che (-n) x (-n) fa n quadro, però la radice quadrata di n quadro è |n|, non sia n che (-n).
Il concetto è lo stesso ma la cosa è un po' più complicata: nelle radici gli indici possono essere solo numeri naturali maggiori di 1, nel caso di n pari devi porre il radicando non negativo ( $>=0$ ) e considerare poi solo le soluzioni positive o nulle, trascurando quelle negative per il concetto di funzione.
Nel caso delle funzioni esponenziali, invece, l'esponente è un numero reale, quindi non si può catalogare con pari o dispari, ed è necessario che la base dell'esponenziale sia positiva ($>0$ , $>=0$ per tutti i gli esponenti reali non reciproci di un naturale dispari e $!=0$ per tutti gli esponenti negativi). Inoltre la funzione esponenziale nel caso in cui la base sia 1 non è invertibile.
Quando si considera la funzione inversa bisogna tenere conto di tutte le condizioni di esistenza della funzione esponenziale e di quelle necessarie per l'invertibilità. Perciò le condizioni di esistenza del logaritmo sono vincolate da base maggiore di 0 e $!=1$ e argomento maggiore di 0, perché essendo il risultato di una potenza con base positiva è necessariamente positivo.
"turtle87":Diversa da 1 perchè 1^x vale sempre e comunque 1
Qui si negherebbe la definizione stessa di funzione, vero? Perchè ad un valore di x corrisponderebbero valori di f(x) infiniti?
Solo ad un valore di x corrisponderebbero infiniti valori di $f(x)$, precisamente al valore $x=1$. Se l'argomento del logaritmo è invece diverso da 1, non c'è verso che elevando 1 (la base) a qualche potenza ottieni un numero diverso da 1. Quindi per un caso particolare si negherebbe la definizione di funzione, per i restanti infiniti casi non ha proprio senso la funzione.
"turtle87":Diversa da 1 perchè 1^x vale sempre e comunque 1
Qui si negherebbe la definizione stessa di funzione, vero? Perchè ad un valore di x corrisponderebbero valori di f(x) infiniti?
No, accade il contrario: la funzione è costante, perchè vale 1 per ogni x in R. La base 1 non si accetta perchè altrimenti la funzione degenera nella retta y=1
Sì, consideri quella funzione esponenziale. Come hai detto tu, se la base è 1 lo deve essere anche l'argomento, ma i valori di f(x) diventano infiniti.
Riguardo al discorso della radice, non mi convince troppo (o forse non l'ho capito) ma preferirei ti rispondesse qualcuno più esperto di me, almeno dal punto di vista formale.
Riguardo al discorso della radice, non mi convince troppo (o forse non l'ho capito) ma preferirei ti rispondesse qualcuno più esperto di me, almeno dal punto di vista formale.
Diversa da 1 perchè 1^x vale sempre e comunque 1
Qui si negherebbe la definizione stessa di funzione, vero? Perchè ad un valore di x corrisponderebbero valori di f(x) infiniti?
Quindi vale lo stesso discorso della definizione di radice? Mi riferisco alla funzione esponenziale, da cui, evidentemente, è dedotto il concetto di funzione logaritmica?
In pratica, mi riferisco al fatto che sia n x n che (-n) x (-n) fa n quadro, però la radice quadrata di n quadro è |n|, non sia n che (-n).
In pratica, mi riferisco al fatto che sia n x n che (-n) x (-n) fa n quadro, però la radice quadrata di n quadro è |n|, non sia n che (-n).
Diversa da 1 perchè 1^x vale sempre e comunque 1, maggiore di 0 perchè la funzione esponenziale presuppone che la base sia positiva.
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