Formule per i numeri primi
Ho preso e modificato due "formule" per l'n-esimo numero primo e per il calcolo di $pi(x)$ (il numero dei primi minori di $x$)...
Ho provato a risolverle con Derive ma richiedono (ovviamente) un numero enorme di calcoli...! Date un'occhiata...
1. $pi(x)=2+sum_(k=5)^xk{((k-2)!)/k}$
dove ${a}$ è la parte frazionaria di $a$.
2. $p_n=1+sum_(d=1)^(2^(2n))f(n,pi(d))$
dove $f(a,b)=1$ se $a>b$ e $f(a,b)=0$ se $a<=b$.
Ho provato a risolverle con Derive ma richiedono (ovviamente) un numero enorme di calcoli...! Date un'occhiata...
1. $pi(x)=2+sum_(k=5)^xk{((k-2)!)/k}$
dove ${a}$ è la parte frazionaria di $a$.
2. $p_n=1+sum_(d=1)^(2^(2n))f(n,pi(d))$
dove $f(a,b)=1$ se $a>b$ e $f(a,b)=0$ se $a<=b$.
Risposte
"Crook":
Stavamo parlando di funzioni diverse, allora.
Sarebbe bello trovare una formula esplicita per $sigma(n)$. I metodi per trovare formule di quel tipo utilizzano opportune
serie della $zeta$ di Riemann, la formula di Perron, un integrale complesso a cui viene modificato il camino di integrazione...
C'è un bel pò da fare!
Stavamo parlando di funzioni diverse, allora .
.
"Crook":
[quote="carlo23"][quote="Crook"]La formula di Riemann R(x), intendi?
Si quella di Riemann[/quote]
Cioè $R(x):=Li(x)+sum_(n=2)^infty mu(n)Li(root(x,n))$ (non so come si fa la radice n-esima) rifinita dalla sommatoria che presenta gli zeri della zeta?[/quote]
No, io intendevo
$phi_0(x)=x-sum_z (x^z)/z -(zeta'(0))/(zeta(0))-1/2 ln(1-x^-2)
dove $z$ sono tutti gli zeri della zeta di Riemann
$phi_0=lim_(g rightarrow 0) (phi(x+g)+phi(x-g))/2$
Ciao!
"carlo23":
[quote="Crook"]La formula di Riemann R(x), intendi?
Si quella di Riemann[/quote]
Cioè $R(x):=Li(x)+sum_(n=2)^infty mu(n)Li(root(x,n))$ (non so come si fa la radice n-esima) rifinita dalla sommatoria che presenta gli zeri della zeta?
"Crook":
La formula di Riemann R(x), intendi?
Si quella di Riemann
"elvis":
Ho preso e modificato due "formule" per l'n-esimo numero primo e per il calcolo di $pi(x)$ (il numero dei primi minori di $x$)...
Ho provato a risolverle con Derive ma richiedono (ovviamente) un numero enorme di calcoli...! Date un'occhiata...
1. $pi(x)=2+sum_(k=5)^xk{((k-2)!)/k}$
dove ${a}$ è la parte frazionaria di $a$.
2. $p_n=1+sum_(d=1)^(2^(2n))f(n,pi(d))$
dove $f(a,b)=1$ se $a>b$ e $f(a,b)=0$ se $a<=b$.
Il bello di queste formule e che sono esatte quanto inutili. La prima si dimostra col teorema di Wilson la seconda segue dalla prima.
Saluti
Mistral
La formula di Riemann R(x), intendi?
"Crook":
E' quello il problema: ottenere stime precise con pochissimi calcoli. La funzione che dà esattamente il numero di primi <= x l'ha trovata Riemann e diventa perfetta se qualcuno dimostra l'Ipotesi di Riemann.
Comunque, buon lavoro.
A me però risulta che la formula riguardi $phi(x)$ non $pi(x)$.
$phi(x)=sum_(n<=x) Lambda(n)$
dove $Lambda(n)$ è la funzione di Von Mangoldt.
Ciao!
E' quello il problema: ottenere stime precise con pochissimi calcoli. La funzione che dà esattamente il numero di primi <= x l'ha trovata Riemann e diventa perfetta se qualcuno dimostra l'Ipotesi di Riemann.
Comunque, buon lavoro.
Comunque, buon lavoro.
...con le formule che ho postato si ottiene un risultato praticamente esatto, ma solo dopo aver svolto un'enormità di calcoli...!
All'inizio credevo che non esistesse nessuna formula che consentisse di ottenere risultati precisi riguardo i primi...
All'inizio credevo che non esistesse nessuna formula che consentisse di ottenere risultati precisi riguardo i primi...
Secondo me si potrebbero fare stime di $pi(x)$ in questo modo:
Per il Teorema dei Numeri Primi abbiamo che:
$pi(x)=x/logx$, per x che tende all'infinito.
Dunque $(n^mx)/(pi(n^mx))-(x)/(pi(x))=mlogn$. Log è il logaritmo naturale (naturalmente).
Dall'ultima equazione si ricava $pi(n^mx)=(n^mx)/((x/(pi(x))+mlogn))$.
In questo modo si possono fare stime di $pi(n^mx)$, scegliendo un numero relativamente basso per $x$ abbastanza precise.
Ad esempio per n=2, m=1 si ha
$2x/(pi(2x))-x/(pi(x))=0,69553$, per x che tende all'infinito, che è circa $log2$. Ponendo $x=1000$, si ottiene una stima molto precisa anche $2^m$ con $m<15$.
Per il Teorema dei Numeri Primi abbiamo che:
$pi(x)=x/logx$, per x che tende all'infinito.
Dunque $(n^mx)/(pi(n^mx))-(x)/(pi(x))=mlogn$. Log è il logaritmo naturale (naturalmente
). Dall'ultima equazione si ricava $pi(n^mx)=(n^mx)/((x/(pi(x))+mlogn))$.
In questo modo si possono fare stime di $pi(n^mx)$, scegliendo un numero relativamente basso per $x$ abbastanza precise.
Ad esempio per n=2, m=1 si ha
$2x/(pi(2x))-x/(pi(x))=0,69553$, per x che tende all'infinito, che è circa $log2$. Ponendo $x=1000$, si ottiene una stima molto precisa anche $2^m$ con $m<15$.
"elvis":
Ho preso e modificato due "formule" per l'n-esimo numero primo e per il calcolo di $pi(x)$ (il numero dei primi minori di $x$)...
Sono formule che hanno troppi termini, ti conviene usare il crivello di Eratostene per trovare numeri primi.
Altrimenti se invece di valutare $pi(x)$ vuoi valutare $phi(x)$ usa la formula di Riemann-Von Mangoldt
(:Dscherzo non credo funzionerebbe in pratica)
Ciao!
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