Formula di Binet

[SARRUS89]

Qualcuno mi saprebbe dire come si arriva a tale formula?(mi riferisco a quella che serve per generare un qualunque numero della successione di Fibonacci), ho fatto molte ricerche online ma senza risultati

la formula è: F(n)=1/rad5*{[(1+rad5)/2]^n-[(1-rad5)/2]^n} dove F(n) è un generico numero della successione di Fibonacci

[fedeb2]

$1/pi=2sqrt(2)/9801 sum((4k)!(1103+26390k)/(396^(4k)(k!)^4))$

questo è un esempio di formule che sfornava ramanujan, che se permettete distrugge binet, eulero e qualsivoglia relazione elegante e simmetrica

[SARRUS89]

L'identità di Eulero, tra quelle che conosco, è la formula più bella in assoluto, è affascinante il fatto che in modo così sintetico, simmetrico, armonioso lega 5 numeri fondamentali in matematica.

[Domè891]

"fu^2":adesso non esageriamo

Eulero.. dove lo mettiamo??

[fu^2]

adesso non esageriamo

[SARRUS89]

Si è molto elegante e simmetrica, a parer mio è da annoverarsi tra le formule più belle della matematica.

[Gauss91]

$F(n)=1/sqrt5(((1+sqrt5)/2)^n-((1-sqrt5)/2)^n)$
Altro che mostruosa! Io la trovo mooolto elegante!

[SARRUS89]

Ottimo, grazie mille fede, era proprio questo che volevo sapere

[fedeb2]

esiste un trucco che consiste nel portare una formula definita per ricorrenza in una formula chiusa:
per i fibonacci sai che $f_n=f_(n-1)+f_(n-2)$. scrivendoti l'equazione ''associata'' $x^n=x^(n-1)+x^(n-2)$, ovvero $x^2-x-1=0$, troverai come soluzioni la sezione aurea e il suo reciproco(i numeracci che elevi alla n). adesso sai che il numero di fibonacci sarà dato da una combinazione lineare delle soluzioni di quella equazione (sez.aurea & co.). piu precisamente dette $a$ e $b$ le soluzioni dell'equazione, avrai che $f_n=ka^n+jb^n$ dove devi determinare k e j con le condizioni iniziali per la successione di fibonacci ( alias, $f_0=0$ e $f_1=1$). a questo punto ti dovrebbe uscire quella formula mostruosa