Esercizio su intervallo di convergenza di serie.

[_beppe_11]

Ciao a tutti,
mi sono bloccato sul seguente esercizio:
_Determinare l'intervallo di convergenza della seguente serie di potenze: $sum_{n=0}^{oo}(2^n sin(n+2))/(n^2 3^n) t^n$ _.
Com'è possibile ricavarsi il raggio di convergenza?
Ringrazio chiunque sia in grado d'aiutarmi, saluti,
_beppe_.

[_beppe_11]

Sei stato fin troppo chiaro : grazie di nuovo, per il tempo concessomi e per le preziose nozioni.
Buon fine settimana,
_beppe_.

[gugo82]

"_beppe_":Cosa si intende per maxlim? Sono iscritto ad Ingegneria Ambientale e nel corso di Analisi II non mi è stato spiegato questo concetto .

Dubito che ti spiegheranno cosa è il massimo limite nel tuo corso di Analisi II (anche perchè è roba di Analisi I); comunque provo a spiegartelo in parole povere.
Prendiamo una successione di reali $(a_n)$. Diciamo che un numero $l in bar RR=RRcup {\pm oo}$ è un valore d'aderenza per $(a_n)$ se esiste una successione estratta da $(a_n)$ che ha limite uguale ad $l$. Si può dimostrare che l'insieme $A(a_n)$ dei valori d'aderenza di una successione è dotato di massimo e minimo in $barRR$: per definizione si pone $maxlim a_n =max A(a_n)$ e $minlim a_n = min A(a_n)$ e tali due valori sono detti, rispettivamente, massimo limite e minimo limite di $(a_n)$. Evidentemente vale la relazione:

(*) $\quad minlim a_n le maxlim a_n$,

ma possiamo pure dire in quali casi vale l'uguaglianza tra i due membri della (*). Infatti, dalla teoria del limite per le successioni, saprai che una successione è dotata di limite se e solo se tutte le successioni da essa estratte sono regolari ed hanno lo stesso limite: ciò equivale a dire che:

Una successione $(a_n)$ è dotata di limite se e solo se l'insieme dei valori d'aderenza $A(a_n)$ è costituito da un unico elemento, ossia se e solo se $minlim a_n=maxlim a_n$. In tal caso il valore comune del massimo e del minimo limite coincide col limite di $(a_n)$.

Quindi massimo e minimo limite coincidono unicamente per le successioni dotate di limite.
Nota che, per definizione, massimo e minimo limite possono non essere finiti: in particolare il massimo limite non è finito o quando la successione $(a_n)$ non è limitata superiormente (ed in tal caso è $maxlim a_n = +oo$), oppure quando $(a_n)$ diverge negativamente (ed in tal caso è $maxlim a_n=-oo$); viceversa per il minimo limite.

Per fare un esempio, consideriamo la successione di termine generale $a_n=sin (n)$. Si può verificare che comunque fissi un valore $l$ nell'intervallo $[-1,1]$ esiste una estratta da $(a_n)$ che converge ad $l$ (ti do a memoria una nota bibliografica: cfr. Marcellini-Sbordone, "Esercizi di Analisi Matematica", vol. 1, Liguori), quindi l'insieme dei valori di aderenza della nostra successione è $A(a_n)=[-1,1]$. La definizione di massimo e minimo limite implica che: $minlim a_n=-1$ e $maxlim a_n=1$.

Per tornare al tuo esercizio sul raggio di convergenza, il calcolo del massimo limite l'ho fatto ricordandomi il seguente risultato:

Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni reali.
Se $(a_n)$ converge ad un limite positivo, allora si ha: $maxlim a_n*b_n=lim a_n*maxlim b_n$.

che però non ho verificato "con mano". Potrei aver commesso qualche errore, quindi controlla.

"_beppe_":Comunque, grazie mille gugo82.

Prego, non c'è di che. Spero di essere stato chiaro.

[_beppe_11]

Sì, hai proprio ragione, ho inserito il messaggio nella sezione sbagliata , e chiedo scusa per la disattenzione: diciamo che quando mi sono accorto che anzichè in "Università" il quesito si trovava in "Generale" ormai era troppo tardi... insomma, la frittata era già fatta! .
Ma, già che ci sono, ne approfitto per porre un ulteriore quesito: cosa si intende per maxlim? Sono iscritto ad Ingegneria Ambientale e nel corso di Analisi II non mi è stato spiegato questo concetto .
Comunque, grazie mille gugo82.

[gugo82]

"_beppe_":Ciao a tutti,
mi sono bloccato sul seguente esercizio:
_Determinare l'intervallo di convergenza della seguente serie di potenze: $sum_{n=0}^{oo}(2^n sin(n+2))/(n^2 3^n) t^n$ _.
Com'è possibile ricavarsi il raggio di convergenza?
Ringrazio chiunque sia in grado d'aiutarmi, saluti,
_beppe_.

Ok, non è proprio la sezione adatta, ma ecco la risposta.

Per le serie di potenze vale il

Teorema di Cauchy-Hadamard

Il raggio di convergenza di $\sum a_n*t^n$ è uguale a:

a) $1/(maxlim |a_n|^(1/n))$, se $maxlim |a_n|^(1/n)$ è finito e non nullo;
b) $+oo$, se $maxlim |a_n|^(1/n)=0$;
c) $0$, se se $maxlim |a_n|^(1/n)=+oo$.

Ovviamente, se la successione di termine generale $|a_n|^(1/n)$ è convergente, al posto del massimo limite puoi sostituire tranquillamente il limite.

Nel tuo caso è $maxlim ((2^n |sin(n+2)|)/(n^2 3^n))^(1/n)=2/3*maxlim ((|sin(n+2)|)/(n^2))^(1/n)$; visto che $lim 1/((n^2)^(1/n))=1$, a occhio direi che $maxlim ((|sin(n+2)|)/(n^2))^(1/n)=maxlim |sin(n+2)|^(1/n)=1$, quindi dovrebbe essere $maxlim ((2^n |sin(n+2)|)/(n^2 3^n))^(1/n)=2/3$.
Per il teorema di Cauchy-Hadamard, il raggio di convergenza della tua serie dovrebbe essere $rho=3/2$.
Controlla i calcoli però, che a quest'ora potrei aver commesso errorri banali!