Equazione Logistica
Salve a tutti, la mia domanda è la seguente, è mai possibile che la relazione di ricorrenza (equazione logistica discreta)
x(n+1) = 4*x(n)*(1-x(n))
non abbia alcun attrattore periodico (di periodo maggiore strettamente di 1) asintoticamente stabile ???
ossia
x(n+1) = 4*x(n)*(1-x(n))
non abbia alcun attrattore periodico (di periodo maggiore strettamente di 1) asintoticamente stabile ???
ossia
Risposte
nono il mio non capire non era dovuto al tuo esserti spiegato male... è dovuto alla mia ignoranza.
Il fatto e' che se tu guardi anche alla definizione che hai postato tu di attrattore periodico stabile si richiede che esista un \eta > 0 t.c. \forall x \in ( x_e - \eta , x_e + \eta ) ...
Ora l'insieme ( x_e - \eta , x_e + \eta ) ha misura di Lebesgue 2 \eta > 0. Quindi se sappiamo che tutto cio' che non attraggono questi attrattori caotici ha misura di Lebesgue nulla e' chiaro che non puo' esistere un attrattore che verifica la tua definizione!
Ora l'insieme ( x_e - \eta , x_e + \eta ) ha misura di Lebesgue 2 \eta > 0. Quindi se sappiamo che tutto cio' che non attraggono questi attrattori caotici ha misura di Lebesgue nulla e' chiaro che non puo' esistere un attrattore che verifica la tua definizione!
Ok grazie ^_^ mi era sfuggito questo dettaglio! ma misura di Lebesgue = 0, del dominio di attrattività di un orbita periodica non implica che tale dominio è praticamente un insieme di Cantor (e quindi non esiste un intorno continuo bla bla bla ... => niente stabilità asintotica...) ^_^??
No no non sono globalmente asintoticamente stabili: sono attrattivi quasi ovunque nel senso di Lebesgue. Ovvero se prendiamo l'insieme in cui non sono attrattivi (che include il punto 0 e il punto 1 e tutte le orbite periodiche) questo ha misura nulla nel senso di Lebesgue.
In altre parole le orbite periodiche (se esistono) hanno un bacino di attrazione di misura nulla. Quindi non sono asintoticamente stabili (visto che nella definizione di a.s. il bacino di attrazione deve avere una misura finita o infinita, ma non nulla).
In altre parole le orbite periodiche (se esistono) hanno un bacino di attrazione di misura nulla. Quindi non sono asintoticamente stabili (visto che nella definizione di a.s. il bacino di attrazione deve avere una misura finita o infinita, ma non nulla).
con "attraggono quasi ovunque" intendi che sono globalmente asintoticamente stabili (ma ciò vorrebbe dire che ve ne è solo uno)? (effettivamente dimostrare che per mu = 4, esiste un attrattore caotico globalmente asintoticamente stabile, equivarrebbe a dimostrare sia l'unicità di questo, sia l'instabilità di ogni altro attrattore...cosa che non può assere dal momento che per mu = 4 il dominio di attrattività di -oo è ancora diverso dall'insieme vuoto)...
elucubrazioni mentali a parte, temo allora che per una parvenza di dimostrazione dovrò appellarmi al mio docente di analisi... ^_^
elucubrazioni mentali a parte, temo allora che per una parvenza di dimostrazione dovrò appellarmi al mio docente di analisi... ^_^
A me avevano detto, ma non dimostrato (per quello c'e' la laurea specialistica), che nella logistica ci sono degli insiemi detti "attrattori caotici" che sono densi in [0,1] e sono attrattivi q.o. in (0,1).
Un insieme attrattore (detto anche semplicemente attrattore) e' un insieme A:
Dove d(.,A) e' la distanza dall'insieme A. Le proprieta' di questi attrattori escludono la possibilita' che questi siano classificati come attrattori periodici (visto che con un periodo finito non sarebbero densi) e poi siccome attraggono quasi ovunque se anche esistono attrattori periodici questi non sono asintoticamente stabili.
Un insieme attrattore (detto anche semplicemente attrattore) e' un insieme A:
Dove d(.,A) e' la distanza dall'insieme A. Le proprieta' di questi attrattori escludono la possibilita' che questi siano classificati come attrattori periodici (visto che con un periodo finito non sarebbero densi) e poi siccome attraggono quasi ovunque se anche esistono attrattori periodici questi non sono asintoticamente stabili.
Eghm, si verissimo, ^_^, vediamo se cerco di essere un po' più chiaro cosa succede 
se abbiamo un sistema a tempo discreto (alias successione, relazione di ricorrenza...) del tipo:
x(n+1)=f(x(n)) (1.0)
ora, un punto di equilibrio della (1.0) (nel nostro caso monodimensionale) è un punto tale che f(xe) = xe
(se parto ad iterare f da tale punto, rimango sempre nel punto.)
possiamo avere anche punti xe periodici ossia, se partiamo da questi, ci torniamo dopo k iterazioni.
se f^k(x(n))= f(f(f(f(...f(xn)))))) k volte, un punto periodico di periodo k, è un punto di equilibrio di f^k(xn) ossia
f^k(xp)=xp
ora alcuni cicli sono anche degli attratori asintoticamente stabili, ossia se si parte abbastanza vicino ad essi, si finisce per essere attirati nel ciclo. da cui attrattore periodico asintoticamente stabile ^_^
P.s. cmq hai ragione è una domanda un po' ... astrusa ^_^
se abbiamo un sistema a tempo discreto (alias successione, relazione di ricorrenza...) del tipo:
x(n+1)=f(x(n)) (1.0)
ora, un punto di equilibrio della (1.0) (nel nostro caso monodimensionale) è un punto tale che f(xe) = xe
(se parto ad iterare f da tale punto, rimango sempre nel punto.)
possiamo avere anche punti xe periodici ossia, se partiamo da questi, ci torniamo dopo k iterazioni.
se f^k(x(n))= f(f(f(f(...f(xn)))))) k volte, un punto periodico di periodo k, è un punto di equilibrio di f^k(xn) ossia
f^k(xp)=xp
ora alcuni cicli sono anche degli attratori asintoticamente stabili, ossia se si parte abbastanza vicino ad essi, si finisce per essere attirati nel ciclo. da cui attrattore periodico asintoticamente stabile ^_^
P.s. cmq hai ragione è una domanda un po' ... astrusa ^_^
lol, diciamo che ho cpaito il mh... 20% delle parole che hai detto (e questo includendo articoli, congiunzioni e avverbi).
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