Equazione goniometrica

[remo2]

ciao ragazzi,
un amica mi ha posto questo quesito,ma sono un pò arruginito con queste cose...sono un pò d'anni che non mi cimento con tali esercizi!qualcosa ho fatto ma questa non mi viene proprio!non ho nemmeno le formule,vado avanti con quello che ricordo!eccola:
$tg^2x+2cosx-2=0$
penso sia banale! grazie!

[zorn1]

Si può facilmente trasformare tutto in coseno, infatti
$tg^2x+2cosx-2=0$ è equivalente, per $cos x!=0 iff x !in cup_(k in ZZ){pi/2+k*pi}$ a:

$1-cos^2x+2cos^3x-2cos^2x=0$

e posto $cos x=t$

$2t^3-3t^2+1=0$ (*)

equazione polinomiale soddisfatta (anche) per $t=1 iff cos x = 1 iff x in cup_(k in ZZ){2k*pi}$ (**)

essendo poi (usando la regola di Ruffini)

$ 2t^3-3t^2+1 = (t-1)(2t^2-t-1) = 0 iff t=1 vv t=(1+-sqrt(1+8))/4=(1+-3)/4=1,-1/2$

per cui, a (**) bisogna anche aggiungere le seguenti soluzioni:
$cos x = -1/2 iff x in cup_(k in ZZ){-2/3 pi+2k*pi,2/3 pi+2k*pi}$ (***)

Perciò, infine, l'equazione originaria è soddisfatta se e solo se:
$x in cup_(k in ZZ){-2/3 pi+2k*pi, 2k*pi, 2/3 pi+2k*pi}$

[cavallipurosangue]

Semplice, visto che la tangente non è definita per $x=kpi/2$, quei valori non possono essere soluzioni...

Però ho visto che mi sono dimenticato un 2...

[remo2]

che intendi per x diverso da $kpi$?

[cavallipurosangue]

Io moltiplicherei ambo i membri per $cos^2x$, stando attento a ricordare alla fine che $xnekpi$ $.kinZZ$

ottenendo:

$sin^2x+2cos^3x-2cos^2x=1-cos^2x+2cos^3x-2cos^2x=2cos^3x-3cos^2x+1=0$

A questo punto pongo: $y=cosx$ e trovo

$2y^3-3y^2+1=(y-1)(2y^2+y-1)=0$

Poi da qui puoi andare avanti da solo...

[remo2]

si avevo iniziato così...il problema è che il risultato non sembra darci ragione,sembrerebbe che sia risolta in $tg$ dato che il periodo è $kx$ e non $2kx$...tuttavia ci riproveremo così!
grazie

[Steven11]

$sin^2x+2cos^3x-2cos^2x=0$ moltiplicando il tutto per $cos^2x$
$1-cos^2x+2cos^3x-2cos^2x=0$
$2cos^3x-3cos^2x+1=0$
Da risolvere in $cosx$

Ciao