Eq esponenziali e logaritmiche
salve
durante lo studio di due funzioni mi sono ritrovato a dover risolvere
(per lo studio del segno e delle intersezioni con l'asse delle x) equazioni esponenziali e logaritmiche di vario genere.
la cosa nn e' difficile se le equazioni sono qualche cosa del tipo
2log(x)+4log^2(x)+3=0 o e^2x+e^x=1
(i primi due esempi idioti che mi sono venuti in mente)
infatti in casi del genere basta fare y=e^x (oppure y=logx) risolvere l'equazione in y e poi sostituire i valori alla funzione esponenziale (o logaritmica a seconda dei casi).
il fatto e' che oggi mi sono trovato a dover risolvere due equazioni che mi hanno completamente, diciamo, spiazzato (:D).
e sono queste due:
(x)(e^x) = 1
e
(x^2 + 2x - 1) log(x) - x = 0
inoltre ho notato che lo stesso derive, quando gli passo queste due espressioni da risolvere mi da come risultato l'espressione stessa.
mentre quando vado a fargli costruire il grafico delle due espressioni mi indica due punti ben precisi ma, naturalmente, sotto forma di numero decimale (qualche cosa come 0.7647 ecc ecc) il che nn e' che mi aiuti molto, e non mi aiutano molto nemmeno i libri di matematica che posseggo che o non trattano l'argomento in quanto lo danno per scontato (libro dell'universita'), o non lo trattano perche' magari lo considerano un argomento troppo difficile per il liceo (ma quest'ultima e' solo una supposizione).
spero che almeno voi riusciate a darmi una mano. magari (se nn e' un disturbo) spiegarmi come mi dovrei comportare in situazioni del genere.
grazie mille (per questa e per le altre volte in cui mi avete dato il vostro prezioso aiuto)
ocram
durante lo studio di due funzioni mi sono ritrovato a dover risolvere
(per lo studio del segno e delle intersezioni con l'asse delle x) equazioni esponenziali e logaritmiche di vario genere.
la cosa nn e' difficile se le equazioni sono qualche cosa del tipo
2log(x)+4log^2(x)+3=0 o e^2x+e^x=1
(i primi due esempi idioti che mi sono venuti in mente)
infatti in casi del genere basta fare y=e^x (oppure y=logx) risolvere l'equazione in y e poi sostituire i valori alla funzione esponenziale (o logaritmica a seconda dei casi).
il fatto e' che oggi mi sono trovato a dover risolvere due equazioni che mi hanno completamente, diciamo, spiazzato (:D).
e sono queste due:
(x)(e^x) = 1
e
(x^2 + 2x - 1) log(x) - x = 0
inoltre ho notato che lo stesso derive, quando gli passo queste due espressioni da risolvere mi da come risultato l'espressione stessa.
mentre quando vado a fargli costruire il grafico delle due espressioni mi indica due punti ben precisi ma, naturalmente, sotto forma di numero decimale (qualche cosa come 0.7647 ecc ecc) il che nn e' che mi aiuti molto, e non mi aiutano molto nemmeno i libri di matematica che posseggo che o non trattano l'argomento in quanto lo danno per scontato (libro dell'universita'), o non lo trattano perche' magari lo considerano un argomento troppo difficile per il liceo (ma quest'ultima e' solo una supposizione).
spero che almeno voi riusciate a darmi una mano. magari (se nn e' un disturbo) spiegarmi come mi dovrei comportare in situazioni del genere.
grazie mille (per questa e per le altre volte in cui mi avete dato il vostro prezioso aiuto)
ocram
Risposte
Secondo esercizio
In realtà è meglio porre :log x= x/(x^2+2x-1) e studiare le due funzioni :
y= log x - ben nota - naturalmente per x> 0 e
y=x/(x^2+2x-1) . Il denominatore si annulla (per x >0 ) per x=rad(2)-1 che è quindi un asintoto verticale per la funzione .
Inoltre per x che tende a rad(2)-1 da sinistra il limite è - 00; mentre quando ci tende da destra il limite è +00.Inoltre per x che tende a +00, la funzione tende a 0+ .Per x = 0 la funzione vale 0 .
Inoltre facendo il grafico si vede che la funzione decresce da 0 fino a rad(2)-1 e incontra in un punto alfa la curva del logaritmo; mentre da rad(2)-1 in avanti la funzione cresce e incontra ancora la curva log diventata positiva e quindi in un punto beta di ascissa > 1 .
In conclusione ci sono due soluzioni per l'equazione iniziale : alfa ( compresa tra 0 e rad(2)-1 ) e beta ( > 1).
Certo è un pò pesante il tutto ...però ..
Camillo
In realtà è meglio porre :log x= x/(x^2+2x-1) e studiare le due funzioni :
y= log x - ben nota - naturalmente per x> 0 e
y=x/(x^2+2x-1) . Il denominatore si annulla (per x >0 ) per x=rad(2)-1 che è quindi un asintoto verticale per la funzione .
Inoltre per x che tende a rad(2)-1 da sinistra il limite è - 00; mentre quando ci tende da destra il limite è +00.Inoltre per x che tende a +00, la funzione tende a 0+ .Per x = 0 la funzione vale 0 .
Inoltre facendo il grafico si vede che la funzione decresce da 0 fino a rad(2)-1 e incontra in un punto alfa la curva del logaritmo; mentre da rad(2)-1 in avanti la funzione cresce e incontra ancora la curva log diventata positiva e quindi in un punto beta di ascissa > 1 .
In conclusione ci sono due soluzioni per l'equazione iniziale : alfa ( compresa tra 0 e rad(2)-1 ) e beta ( > 1).
Certo è un pò pesante il tutto ...però ..
Camillo
tnx
Per il secondo esercizio forse potresti riscriverlo così :
(x^2+2x-1) log x = x e quindi si tratta di trovare l'intersezione(i) tra la funzione indicata e la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Bisogna provare..
(x^2+2x-1) log x = x e quindi si tratta di trovare l'intersezione(i) tra la funzione indicata e la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Bisogna provare..
Per il primo esercizio potresti trasformarlo così :
e^x = 1/x ; facendo il grafico delle due funzioni : e^x e l'iperbole y=1/x si vede che l'intersezione tra le due curve è unica ed è nel primo quadrante: quindi una sola soluzione compresa tra 0 e 1 .
Infatti per x = 1 si ha che la funzione esponenziale vale già 2.718 mentre l'iperbole vale :1 ; quindi la funz. esponenziale è già maggiore dell'iperbole , quindi il punto di incrocio deve aversi per x < 1 ( l'esponenziale è dacrescente e l'iperbole nel primo quadrante è crescente).
Per trovare la soluzione numerica bisogna ricorrere a qualche metodo numerico.
P.S. per uno studio di funzione in genere è sufficiente sapere che la soluzione è compresa tra 0 e 1 ad esempio
Modificato da - camillo il 11/01/2004 19:50:41
e^x = 1/x ; facendo il grafico delle due funzioni : e^x e l'iperbole y=1/x si vede che l'intersezione tra le due curve è unica ed è nel primo quadrante: quindi una sola soluzione compresa tra 0 e 1 .
Infatti per x = 1 si ha che la funzione esponenziale vale già 2.718 mentre l'iperbole vale :1 ; quindi la funz. esponenziale è già maggiore dell'iperbole , quindi il punto di incrocio deve aversi per x < 1 ( l'esponenziale è dacrescente e l'iperbole nel primo quadrante è crescente).
Per trovare la soluzione numerica bisogna ricorrere a qualche metodo numerico.
P.S. per uno studio di funzione in genere è sufficiente sapere che la soluzione è compresa tra 0 e 1 ad esempio
Modificato da - camillo il 11/01/2004 19:50:41
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo