Eliminazione di gauss
ciao qualcuno sa spiegarmi il metodo di eliminazione di Gauss?
e come si applica nei sistemi?
grazie
elisabetta
e come si applica nei sistemi?
grazie
elisabetta
Risposte
Il metodo di eliminazione lo puoi utilizzare ad esempio per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Supponiamo che sia stato assegnato il seguente sistema:
2x+y+2z=1
3x-y+z=0
x-y-z=2
Quello che ci interessa è la matrice
2 1 2 1
3 -1 1 0
1 -1 -1 2
Per comodità scriviamo questa matrice nel seguente modo:
1 -1 -1 2
3 -1 1 0
2 1 2 1
E' equivalente a scambiare di posto la 1 e 3 riga del sistema, questo trucco lo capirai tra poco.
Il primo pivot è 1, l'intento è quello di mettere tutti 0 nella prima colonna al di sotto di 1. Come si ottiene tutto questo.
Si va al di sotto di 1 e troviamo 3, cambiamo di segno e otteniamo -3, dividiamo -3 per il pivot 1 (quel trucco dello scambio ci permette di ottenere numeri interi e se nella prima colonna non c'è 1, allora pazienza!!!) e come risultato si ha -3. A questo punto moltiplichiamo la prima riga per -3 e sommiamo alla seconda riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
2 1 2 1
Si procede allo stesso modo con la terza riga. Si va al di sotto di 1 e troviamo 2, cambiamo di segno e otteniamo -2, dividiamo -2 per il pivot 1 e come risultato si ha -2. A questo punto moltiplichiamo la prima riga per -2 e sommiamo alla terza riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
0 3 4 -3
Passiamo alla seconda riga. Il secondo pivot sarà 2, l'intento è quello di mettere tutti 0 nella seconda colonna al di sotto di 2. Come si ottiene tutto questo. Si va al di sotto di 2 e troviamo 3, cambiamo di segno e otteniamo -3, dividiamo -3 per il pivot 2 e come risultato si ha -3/2. A questo punto moltiplichiamo la seconda riga per -3/2 e sommiamo alla terza riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
0 0 -2 6
Abbiamo terminato, i pivot sono 1,2 e -2
Ora possiamo riscrivere il sistema equivalente:
x-y-z=2
2y+4z=-6
-2z=6
Da cui z=-3 e sostituendo a ritroso si ha: y=3 e x=2
La soluzione del sistema è la terna (2,3,-3).
Era solo un esempio e spero che sia stato chiaro
Supponiamo che sia stato assegnato il seguente sistema:
2x+y+2z=1
3x-y+z=0
x-y-z=2
Quello che ci interessa è la matrice
2 1 2 1
3 -1 1 0
1 -1 -1 2
Per comodità scriviamo questa matrice nel seguente modo:
1 -1 -1 2
3 -1 1 0
2 1 2 1
E' equivalente a scambiare di posto la 1 e 3 riga del sistema, questo trucco lo capirai tra poco.
Il primo pivot è 1, l'intento è quello di mettere tutti 0 nella prima colonna al di sotto di 1. Come si ottiene tutto questo.
Si va al di sotto di 1 e troviamo 3, cambiamo di segno e otteniamo -3, dividiamo -3 per il pivot 1 (quel trucco dello scambio ci permette di ottenere numeri interi e se nella prima colonna non c'è 1, allora pazienza!!!) e come risultato si ha -3. A questo punto moltiplichiamo la prima riga per -3 e sommiamo alla seconda riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
2 1 2 1
Si procede allo stesso modo con la terza riga. Si va al di sotto di 1 e troviamo 2, cambiamo di segno e otteniamo -2, dividiamo -2 per il pivot 1 e come risultato si ha -2. A questo punto moltiplichiamo la prima riga per -2 e sommiamo alla terza riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
0 3 4 -3
Passiamo alla seconda riga. Il secondo pivot sarà 2, l'intento è quello di mettere tutti 0 nella seconda colonna al di sotto di 2. Come si ottiene tutto questo. Si va al di sotto di 2 e troviamo 3, cambiamo di segno e otteniamo -3, dividiamo -3 per il pivot 2 e come risultato si ha -3/2. A questo punto moltiplichiamo la seconda riga per -3/2 e sommiamo alla terza riga il tutto; si ha:
1 -1 -1 2
0 2 4 -6
0 0 -2 6
Abbiamo terminato, i pivot sono 1,2 e -2
Ora possiamo riscrivere il sistema equivalente:
x-y-z=2
2y+4z=-6
-2z=6
Da cui z=-3 e sostituendo a ritroso si ha: y=3 e x=2
La soluzione del sistema è la terna (2,3,-3).
Era solo un esempio e spero che sia stato chiaro
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