Dubbio

[SARRUS89]

L'addizione tra un numero razionale e un numero irrazionale da come risultato un numero irrazionale vero? come si può dimostrarlo?(io ho pensato alla reductio ad absurdum però qualcosa mi sfugge) sapete come fare? grazie

[SARRUS89]

bene, grazie ragazzi!.

[ficus2002]

"Hilbert89":L'addizione tra un numero razionale e un numero irrazionale da come risultato un numero irrazionale vero? come si può dimostrarlo?(io ho pensato alla reductio ad absurdum però qualcosa mi sfugge) sapete come fare? grazie

sia $a$ razionale e $b$ irrazionale. Se $c:=a+b$, fosse razionale, allora $b=c-a$ sarebbe razionale; assurdo.

[gugo82]

Questa cosa mi sa che si risolve facilmente con le sezioni di Dedekind.

Un numero reale $x$ è una coppia di $\wp(QQ)^2$ che ha come prima coordinata un insieme $X$ e seconda coordinata l'insieme $QQ-X$ e tali insiemi godono delle seguenti proprietà:

1) $X$ è limitato inferiormente e contiene il suo eventuale minimo;

2) $QQ-X$ è l'insieme dei minoranti di $X$.

Un numero reale $alpha$ è razionale se la sezione $(A,QQ-A)$ che lo determina ha l'insieme $A$ dotato di minimo.
Un numero reale $beta$ è irrazionale se la sezione $(B, QQ-B)$ che lo individua ha l'insieme $B$ non dotato di minimo.

La somma di due numeri reali $alpha=(A,QQ-A),beta=(B,QQ-B)$ è individuata dalla sezione che ha come prima coordinata $A+B={a+b, a in A " e " b in B}$.

Ora, se $alpha$ è razionale e $beta$ è irrazionale allora l'insieme $A+B$ non è dotato di minimo e perciò $alpha+beta$ è irrazionale.