Domanda su una sommatoria
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Originally posted by Crook
Una semplice domanda:
può una sommatoria di reciproci di numeri dispari dare come risultato un numero intero? Ovviamente il numero dei termini sommati deve essere anch'esso dispari.
1/3+1/5+1/7+...+1/d = intero ? dove d è un qualsiasi numero dispari.
Grazie
La risposta credo sia no ecco un abbozzo di dimostrazione.
Se per assurdo esiste un valore dispari d per cui la sommatoria S(d)=1/3+1/5+1/7+...+1/d=n intero, allora sicuramente d>3, dato che 1/3 non è intero, quindi si ha:
5*7*...*d+3*7*...*d+....+3*5*7*...*(d-2)=n*3*5*7*...*(d-2)*d
allora 3 deve dividere il primo addendo, quindi d>=9 ma allora 9 deve dividere il 4° addendo quindi d>=27=3^3, quindi 27 deve dividere il 13=(27-1)/2 addendo quindi d>=3^4 etc...quindi d non può essere finito da cui l'assurdo.
La chiamerei una salita infinita [:D], mi sembra giusta carina vero?
Saluti
Mistral
ERRATA CORRIGE
Dimostrazione carina ma sbagliata [:D]!
Mistral
Risposte
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Originally posted by Crook
Non penso ti sia accorto, Mistral, ma la domanda che ho fatto equivale a chiedervi: "Qualcuno sa dimostrare perchè i numeri perfetti non possono essere dispari?".
Non me ne ero accorto.
Comunque due proposizioni sono equivalenti quando dalla verità/falsità di una di esse deduci la verità/falsità dell'altra e viceversa. Non mi sembra il caso che tu citi (numero perfetto=numero somma dei suoi divisori, mentre la somma dei reciproci dei divisori di un numero è in generale diversa dalla somma parziale della serie dei numeri numeri dispari).
Saluti
Mistral
quote:
sommatoria di reciproci di numeri dispari
1/3+1/3+1/3=1
[:D]
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