Domanda generale sulla teoria delle PDE e sull'analisi
Ciao a tutti.
Sto seguendo un corso chiamato "Equazioni della fisica matematica" sulla teoria classica delle PDE, in particolare sulle equazioni di Poisson, di Laplace, del calore e delle onde. Aggiungo in spoiler il programma dettagliato.
Ormai abbiamo finito di parlare dell'equazione di Poisson e dovremmo cominciare quella del calore.
Per fortuna il corso è ben tenuto ed il professore spiega bene. Qual è il problema direte voi?
Il problema è che questo corso sta risultando noiosissimo, una marea enorme di conti, derivazioni ed integrazioni per parti senza fine.
Capiamoci, non sto mettendo in dubbio l'utilità di queste equazioni, volevo solo chiedervi se tutta la teoria delle PDE è così noiosa.
Devo precisare, inoltre, che a me l'analisi piace, mi è piaciuta da subito, ma mi è piaciuta l'analisi in più variabili e l'analisi funzionale (che già trovo stupenda per quei pochi argomenti che abbiamo affrontato finora nel relativo corso), non gli argomenti di questo corso che sto seguendo ora.
Ho come l'impressione che non ci sia un briciolo di teoria unitaria, che si faccia una fatica immensa per risolvere una particolare equazione con dei metodi particolari e con degli stratagemmi specifici per ognuna, stratagemmi che implicano una marea enorme di conti.
Dato che so perfettamente che ciò che sto studiando è solo l'inizio della teoria classica e che poi c'è quella moderna con le soluzioni deboli di cui non so praticamente niente, volevo chiedervi se il resto della teoria delle PDE è tutto così e se, ma spero e penso di no, l'analisi si riduce alle PDE. Lo chiedo perché se fosse così allora potrei benissimo cominciare a preferire l'algebra per corsi futuri piuttosto che l'analisi.
Cioè mi sembra di aver capito che, almeno in Italia, gli analisti si focalizzino sulle PDE e l'analisi funzionale venga relegata un po' in secondo piano.
Scusate per lo sproloquio e per la confusione che ho in testa e grazie in anticipo per qualsiasi delucidazione.
P.S. Come libro stiamo seguendo l'Evans, "Partial Differential Equations".
P.S. 2 Ero indeciso se postare qui o nella sezione di analisi. Se qualche moderatore lo ritenesse opportuno non si preoccupi a spostare.
Sto seguendo un corso chiamato "Equazioni della fisica matematica" sulla teoria classica delle PDE, in particolare sulle equazioni di Poisson, di Laplace, del calore e delle onde. Aggiungo in spoiler il programma dettagliato.
Ormai abbiamo finito di parlare dell'equazione di Poisson e dovremmo cominciare quella del calore.
Per fortuna il corso è ben tenuto ed il professore spiega bene. Qual è il problema direte voi?
Il problema è che questo corso sta risultando noiosissimo, una marea enorme di conti, derivazioni ed integrazioni per parti senza fine.
Capiamoci, non sto mettendo in dubbio l'utilità di queste equazioni, volevo solo chiedervi se tutta la teoria delle PDE è così noiosa.
Devo precisare, inoltre, che a me l'analisi piace, mi è piaciuta da subito, ma mi è piaciuta l'analisi in più variabili e l'analisi funzionale (che già trovo stupenda per quei pochi argomenti che abbiamo affrontato finora nel relativo corso), non gli argomenti di questo corso che sto seguendo ora.
Ho come l'impressione che non ci sia un briciolo di teoria unitaria, che si faccia una fatica immensa per risolvere una particolare equazione con dei metodi particolari e con degli stratagemmi specifici per ognuna, stratagemmi che implicano una marea enorme di conti.
Dato che so perfettamente che ciò che sto studiando è solo l'inizio della teoria classica e che poi c'è quella moderna con le soluzioni deboli di cui non so praticamente niente, volevo chiedervi se il resto della teoria delle PDE è tutto così e se, ma spero e penso di no, l'analisi si riduce alle PDE. Lo chiedo perché se fosse così allora potrei benissimo cominciare a preferire l'algebra per corsi futuri piuttosto che l'analisi.
Cioè mi sembra di aver capito che, almeno in Italia, gli analisti si focalizzino sulle PDE e l'analisi funzionale venga relegata un po' in secondo piano.
Scusate per lo sproloquio e per la confusione che ho in testa e grazie in anticipo per qualsiasi delucidazione.
P.S. Come libro stiamo seguendo l'Evans, "Partial Differential Equations".
P.S. 2 Ero indeciso se postare qui o nella sezione di analisi. Se qualche moderatore lo ritenesse opportuno non si preoccupi a spostare.
Risposte
Intanto ringrazio tutti per le risposte e per i consigli bibliografici.
Poi devo ringraziare in particolare Gugo: almeno qualcuno ha avuto le mie stesse impressioni e non devo sentirmi un alieno io alle prese con quella "noia soporifera mortale"!
P.S. @Gugo: anche se è completamente OT, qual è il tuo ambito di ricerca tanto per curiosità?
Poi devo ringraziare in particolare Gugo: almeno qualcuno ha avuto le mie stesse impressioni e non devo sentirmi un alieno io alle prese con quella "noia soporifera mortale"!
P.S. @Gugo: anche se è completamente OT, qual è il tuo ambito di ricerca tanto per curiosità?
Concordo con Steven sul libro di Sandro Salsa che unisce metodi tradizionali e metodi più moderni.
Se poi è integrato da
S.Salsa -G.Verzini
Equazioni a derivate parziali -Complementi ed esercizi
ancora meglio.
Se poi è integrato da
S.Salsa -G.Verzini
Equazioni a derivate parziali -Complementi ed esercizi
ancora meglio.
Io sto studiando questi argomenti proprio nel corso di "Fisica Matematica".
Certamente molto massiccio, visto anche che il nostro prof è davvero bravo ma molto veloce, quindi se rimani indietro di qualche lezione fai bene a sbrigarti a rimediare.
Nel corso faremo anche qualcosa di Meccanica Quantistica.
Io penso dipenda anche da chi ti fa il corso.
Nel nostro caso il docente è un fisico, anche se molto "matematico", ma l'impronta fisica si vede.
Apprezzo moltissimo che dia un'interpretazione fisica a quel risultato che magari segue da 4 integrazioni per parti e all'inizio non si capisce cosa possa significare.
In ultimo, io sto studiando dal libro di Sandro Salsa, Equazioni A Derivate Parziali: Metodi, Modelli E Applicazioni e mi sta soddisfacendo parecchio. Contiene inoltre più di un paragrafo che può tornare utile a chi sta seguendo corsi non attinenti alle pde (spazi di Hilbert, Banach ad esempio).
Su google libri si possono consultare alcune pagine.
Certamente molto massiccio, visto anche che il nostro prof è davvero bravo ma molto veloce, quindi se rimani indietro di qualche lezione fai bene a sbrigarti a rimediare.
Nel corso faremo anche qualcosa di Meccanica Quantistica.
Io penso dipenda anche da chi ti fa il corso.
Nel nostro caso il docente è un fisico, anche se molto "matematico", ma l'impronta fisica si vede.
Apprezzo moltissimo che dia un'interpretazione fisica a quel risultato che magari segue da 4 integrazioni per parti e all'inizio non si capisce cosa possa significare.
In ultimo, io sto studiando dal libro di Sandro Salsa, Equazioni A Derivate Parziali: Metodi, Modelli E Applicazioni e mi sta soddisfacendo parecchio. Contiene inoltre più di un paragrafo che può tornare utile a chi sta seguendo corsi non attinenti alle pde (spazi di Hilbert, Banach ad esempio).
Su google libri si possono consultare alcune pagine.
Beh, quella parte base della teoria delle PDE è piena di conti e quella che hai tu è la stessissima impressione che ebbi io all'epoca (studiando dallo stesso libro, tra l'altro).
La roba che citi è per la maggior parte contenuta in un unico capitolo del libro, il 2, quindi andrebbe sbrigata velocemente per passare ad argomenti più hard ma più generali* che sono trattati ad un buon livello nel testo di Evans (che ho recentemente acquistato dall'AMS Bookstore dopo "averlo perso" a Cortona!
), ma nei capitoli successivi.
Illustrare i problemi di base di PDE è senz'altro utilissimo, però se si fanno solo contazzi il tutto diventa una noia soporifera mortale; invece sarebbe molto più utile fare molte più cose dai capitoli successivi (tipo almeno i capitoli 5-6 e 8-9, che sono fondamentali)...
Però se è un corso della triennale, fare solo il capitolo 2 e qualcosa del 3-4 è una scelta quasi obbligata.
Per quanto riguarda le tecniche, invece, ti confermo che hai avuto l'impressione giusta: non esiste una teoria unitaria, ma ci sono metodi diversi che vanno applicati in situazioni diverse.
Questo deriva dal fatto che i vari tipi di equazioni (ellittico, parabolico, iperbolico, lineare e nonlineare) hanno caratteristiche del tutto diverse; anzi, per dirla meglio, PDE ellittiche e paraboliche sono abbastanza simili (solo che i risultati per le paraboliche, seppur simili a quelli per le ellittiche, si ottengono con una marea di conti in più), ma le iperboliche sono proprio un mondo a parte. Quindi necessariamente i metodi da usare debbono essere diversi.
Mi ricordo tempo fa discussi una questione del genere con una mia collega che studia la teoria KAM (cfr. qui; praticamente si tratta di problemi di stabilità per soluzioni di sistemi differenziali), che è per me quasi un tabù...
__________
* Ad esempio le tecniche di spazi di Hilbert, il Calcolo delle Variazioni, i metodi di Analisi Nonlineare, etc...
La roba che citi è per la maggior parte contenuta in un unico capitolo del libro, il 2, quindi andrebbe sbrigata velocemente per passare ad argomenti più hard ma più generali* che sono trattati ad un buon livello nel testo di Evans (che ho recentemente acquistato dall'AMS Bookstore dopo "averlo perso" a Cortona!
), ma nei capitoli successivi.Illustrare i problemi di base di PDE è senz'altro utilissimo, però se si fanno solo contazzi il tutto diventa una noia soporifera mortale; invece sarebbe molto più utile fare molte più cose dai capitoli successivi (tipo almeno i capitoli 5-6 e 8-9, che sono fondamentali)...
Però se è un corso della triennale, fare solo il capitolo 2 e qualcosa del 3-4 è una scelta quasi obbligata.
Per quanto riguarda le tecniche, invece, ti confermo che hai avuto l'impressione giusta: non esiste una teoria unitaria, ma ci sono metodi diversi che vanno applicati in situazioni diverse.
Questo deriva dal fatto che i vari tipi di equazioni (ellittico, parabolico, iperbolico, lineare e nonlineare) hanno caratteristiche del tutto diverse; anzi, per dirla meglio, PDE ellittiche e paraboliche sono abbastanza simili (solo che i risultati per le paraboliche, seppur simili a quelli per le ellittiche, si ottengono con una marea di conti in più), ma le iperboliche sono proprio un mondo a parte. Quindi necessariamente i metodi da usare debbono essere diversi.
Mi ricordo tempo fa discussi una questione del genere con una mia collega che studia la teoria KAM (cfr. qui; praticamente si tratta di problemi di stabilità per soluzioni di sistemi differenziali), che è per me quasi un tabù...
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* Ad esempio le tecniche di spazi di Hilbert, il Calcolo delle Variazioni, i metodi di Analisi Nonlineare, etc...
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