Domanda

[gionas88-votailprof]

Ciao a tutti!

Volevo proporvi una domanda.
Se un teorema è dimostrato per infiniti casi possibili (e questi casi possibili sono tutti dati dalla stessa formula) esiste qualche modo per dimostrare che sia vero per tutti?
Mi spiego meglio:
ho un teorema T da dimostrare.
vi sono x variabili che possono rendere vero il teorema.
Sono tutte date dalla stessa formula.
Dimostrando che T sia vero per infiniti valori delle variabili esiste qualche procedimento che mi dimostri che sia vero per tutti? (anche se è solo riferito ad un caso particolare)

Grazie.
Giovanni.

[_admin]

Si chiama dimostrazione per induzione. In questo caso la variabile da cui dipende la dimostrazione degli infiniti teoremi deve essere un numero naturale. Quindi infiniti teoremi numerabili.


Antonio Bernardo

[gionas88-votailprof]

Il problema lo conoscevo gia', invece la dimostrazione no.
Penso di essermi fatto un'idea.

Grazie.
Giovanni.

[WonderP1]

Un caso famoso è quello della somma dei primi n numeri
1 + 2 + … + n = (1/2)n(n +1).
La dimostrazione più rapida è quella di Gauss, che secondo un aneddoto, da studente diede subito la risposta, per 1 + 2 + … + 100, osservando che le somme del primo e dell'ultimo, del secondo e del penultimo, e così via, sono uguali.
La dimostrazione per induzione della formula di Gauss, chiamata P(n), è la seguente:
(base) Per n = 1 si ha 1 = (1/2)1(1+1) e il secondo membro si riduce a 1.
(passo induttivo) Ammesso per ipotesi induttiva P(n) cioè che

1 + 2 + … + n = (1/2)n(n +1)

si ha che

1 + 2 + … + n + (n +1) = (1/2)n(n +1) + (n +1)

basta vedere, sviluppando, che (1/2)n(n+1) + (n+1) = (1/2)(n +1)(n +2), e quindi si ha P(n +1).

Se ci fossero altri chiarimenti chiedi pure.

WonderP.

[gionas88-votailprof]

Mi potresti indicare qualche teorema dimostrato in quel modo?
A parte questo non ci sono altri metodi?

Giovanni.

[WonderP1]

Mmh… Non puoi dimostrare che se una cosa è stata vera infinite volte lo sarà anche la prossima, “il sole è sorto tutti i giorni fino ad oggi, quindi sorgerà anche domani” perché questo, come dice Kant, è un giudizio analitico a posteriori, cioè vediamo i risultati e cerchiamo di prevedere, per una dimostrazione serve un giudizio analitico a priori.
Una dimostrazione può però essere fatta nel seguente modo:
dimostri che se il teorema è valido per n lo è anche per n+1 (n generico ma non fissato)
ed il teorema vale per n=1, allora il teorema è valido per ogni n > 1 (ma non puoi dire nulla nel caso di n < 1)

Ho risposto in qualche modo al tuo problema?

WonderP.