Divergenze lentissime

[desko]

Leggendo un articolo del penultimo numero del magazine ho scoperto due cose quasi sconvolgenti:

se calcolo la serie armonica usando solo i numeri primi e non tutti i naturali trovo che continua a divergere;
la funzione $y=log(log(x))$ tende all'infinito al tendere di x all'infinito[/list:u:zta2xtgx]
Per provare ho calcolato la serie con tutti i primi minori di $10^8$, ottenendo soltanto 3.175; l'altra prova è stata log(log(realmax)) con MatLab, ottenendo soltanto 6.5650 (realmax = $1.7977*10^308$)
E allora mi chiedo: ma siamo sicuri che divergano? esiste qualcosa che diverge più lentamente ancora?
Per esempio, se usassi solo i numeri primi gemelli?, o se calcolassi il logaritmo tre volte invece che due soltanto?
Grazie

[Fioravante Patrone1]

Intendevo sottolineare quanto è già stato notato: il fatto che qualcosa vada all'infinito non esclude che ci vada in modo insopportabilmente lento.

Per cui, un algoritmo che richiede un tempo polinomiale sarà meglio, definitivamente (cioè da un certo n in poi) di uno esponenziale. Però se non sappiamo che n possiamo prendere, o se questo n è il numero di cui hai calcolato un logaritmo iterato...

[desko]

Per vedere se è vero che il doppio logartimo diverge ho abbandonato MatLab e sono passato a Mathematica.
Con questa formula:

N[10^9*Log[10] + Log[Log[10]]]

credo di aver calcolato la funzione in $10^(10^(10^9))$
ottenendo $2.30259*10^9$

"Fioravante Patrone":Tradotto in altri termini: trovare un algoritmo polinomiale non è detto che sia la fine dei guai.

Non riesco ad afferrare il concetto.

[Fioravante Patrone1]

Tradotto in altri termini: trovare un algoritmo polinomiale non è detto che sia la fine dei guai.

[desko]

"Gugo82":
Beh, $f(x)=log(log(logx))$ diverge ancora più lentamente. In generale se indichi con $log^([n])$ la funzione composta da $n$ copie del logaritmo, trovi che $f(x)=log^([n])x$ diverge ma in maniera tanto tanto lenta...

Mi stai dicendo che posso metterci tutti i log che voglio e continuerà a divergere?
Mi sembra una cosa quasi incredibile.
Quindi sappiamo (cosa che sospettavo) che non esiste una funzione che va all'infinito più lenta di tutte le altre.
Immagino una soluzione simile anche per la questione della serie.

[gugo82]

"desko":Leggendo un articolo del penultimo numero del magazine ho scoperto due cose quasi sconvolgenti:

se calcolo la serie armonica usando solo i numeri primi e non tutti i naturali trovo che continua a divergere;
la funzione $y=log(log(x))$ tende all'infinito al tendere di x all'infinito[/list:u:2a6rbt8r]
Per provare ho calcolato la serie con tutti i primi minori di $10^8$, ottenendo soltanto 3.175; l'altra prova è stata log(log(realmax)) con MatLab, ottenendo soltanto 6.5650 (realmax = $1.7977*10^308$)
E allora mi chiedo: ma siamo sicuri che divergano? esiste qualcosa che diverge più lentamente ancora?
Per esempio, se usassi solo i numeri primi gemelli?, o se calcolassi il logaritmo tre volte invece che due soltanto?
Grazie

Beh, $f(x)=log(log(logx))$ diverge ancora più lentamente. In generale se indichi con $log^([n])$ la funzione composta da $n$ copie del logaritmo, trovi che $f(x)=log^([n])x$ diverge ma in maniera tanto tanto lenta...
Questo è il bello della Matematica: a guardare solo i casi particolari ed a fare conti a caso, sembra che succeda qualcosa... Invece una dimostrazione rigorosa ti fa capire che succede tutt'altro (ed alcune volte porta a risultati del tutto inaspettati).