Dimostrazioni insensate: 1=2.Dove risiede l'errore?
Girando un po a casaccio su internet mi sono imbattuto sulla pagina nonciclopedia rivolta ai
matematici e alla matematica!
Per chi non la conoscesse nonciclopedia è una sorta di parodia di wikipedia dallo black humor, dove ogni argomento viene volutamente ridicolizzato e portato all'estremo.
Arrivando al punto della questione, questa pagina propone una serie di dimostrazioni totalmente assurde (che in gergo matematico si chiamano sofismi algebrici), e io da assoluto neofita della matematica non ne colgo le inesattezze nei passaggi. Di seguito vi rimando quella che dimostra che "1=2":
Poniamo 3^1=3^1 cosa che sappiamo essere sempre vera.
Poiché 1^2=1 si può sostituire uno dei due esponenti con 1^2 ottenendo:
3^1=3^1^2.
Per la terza proprietà delle potenze (a^b^c=a^bc) si ha:
3^1=3^2.
e quindi prendendo il logaritmo in base tre di ambo i membri si ha 1=2.
Ovviamente è tutto assurdo. Ma dove si trova l'errore!? di seguito vi rimando al link della pagina dove ci sono moltissime altre "dimostrazioni" assurde.
http://nonciclopedia.wikia.com/wiki/Matematica
matematici e alla matematica!
Per chi non la conoscesse nonciclopedia è una sorta di parodia di wikipedia dallo black humor, dove ogni argomento viene volutamente ridicolizzato e portato all'estremo.
Arrivando al punto della questione, questa pagina propone una serie di dimostrazioni totalmente assurde (che in gergo matematico si chiamano sofismi algebrici), e io da assoluto neofita della matematica non ne colgo le inesattezze nei passaggi. Di seguito vi rimando quella che dimostra che "1=2":
Poniamo 3^1=3^1 cosa che sappiamo essere sempre vera.
Poiché 1^2=1 si può sostituire uno dei due esponenti con 1^2 ottenendo:
3^1=3^1^2.
Per la terza proprietà delle potenze (a^b^c=a^bc) si ha:
3^1=3^2.
e quindi prendendo il logaritmo in base tre di ambo i membri si ha 1=2.
Ovviamente è tutto assurdo. Ma dove si trova l'errore!? di seguito vi rimando al link della pagina dove ci sono moltissime altre "dimostrazioni" assurde.
http://nonciclopedia.wikia.com/wiki/Matematica
Risposte
"axpgn":
Chiaramente un coniglio ha lo stesso colore di sé stesso.
Supponiamo che in qualsiasi insieme di $n$ conigli, tutti abbiano lo stesso colore, diciamo bianco e consideriamo un insieme di $n+1$ conigli.
Rimuoviamo un coniglio dall'insieme, l'ipotesi induttiva ci dice che i rimanenti $n$ conigli sono bianchi.
Per vedere che il coniglio rimosso è bianco, rimettiamolo nell'insieme e togliamone un altro; otteniamo un altro insieme di $n$ conigli che per ipotesi induttiva sono tutti bianchi quindi anche il coniglio prima rimosso e poi reinserito.
In conclusione tutti i conigli sono bianchi.
Questo pseudo-ragionamento risale a Polya, ma con animali differenti (gatti, anziché conigli).
"axpgn":
[...] non possiamo aspettarci che le leggi di riproduzione che si applicano a un insieme di conigli si applichino a un insieme di interi.
E chi lo dice che i numeri non si riproducano?
"friction":
Navigatore perché hai cancellato? Era carina e istruttiva... conteneva un errore tanto grave quanto comuneLa riporto, correggimi se la riscrivo male, non mi hai dato molto tempo per leggerla
Suppongo \(a=b\)
\[\begin{split}
&a^2=ab\\
&a^2-b^2=ab-b^2\\
&(a-b)(a+b)=b(a-b)\\
&a+b=b\\
&2a=a \implies 2=1
\end{split} \]
nut, dove sta l'ERRORE?
Io vedo 3 errori.
[list=1][*:wmxih0yh] Hai semplificato per \((a-b)\) che per ipotesi è uguale a \(0\). (l'errore segnalato da tutti)[/*:m:wmxih0yh]
[*:wmxih0yh] Hai semplificato per \(a\) anche se \(a=0\) era la conseguenza logica di \(a+b = b \rightarrow a = (b-b) = 0\). Insomma hai di fatto diviso due volte per \(0\).[/*:m:wmxih0yh]
[*:wmxih0yh] dovevi scrivere ERRORI invece di ERRORE
[/*:m:wmxih0yh][/list:o:wmxih0yh]
Sicuramente molti di voi se non tutti conoscono una qualche dimostrazione via PIM che tutti i conigli sono bianchi (o i cavalli o qualsiasi altro animale).
Per esempio questa:
Chiaramente un coniglio ha lo stesso colore di sé stesso.
Supponiamo che in qualsiasi insieme di $n$ conigli, tutti abbiano lo stesso colore, diciamo bianco e consideriamo un insieme di $n+1$ conigli.
Rimuoviamo un coniglio dall'insieme, l'ipotesi induttiva ci dice che i rimanenti $n$ conigli sono bianchi.
Per vedere che il coniglio rimosso è bianco, rimettiamolo nell'insieme e togliamone un altro; otteniamo un altro insieme di $n$ conigli che per ipotesi induttiva sono tutti bianchi quindi anche il coniglio prima rimosso e poi reinserito.
In conclusione tutti i conigli sono bianchi.
Ora, è difficile capire cosa sia passato per la testa dello studente che ne ha fatto la seguente analisi:
La logica difettosa nel problema dei conigli ha a che fare con il comportamento di conigli e interi.
Ad esempio, un insieme di conigli non è isomorfo a un insieme di interi perché il loro comportamento è diverso.
Un insieme di interi è statico mentre un insieme di conigli è dinamico, i.e., gli interi non si riproducono mentre i conigli lo fanno.
Poiché i due insiemi non sono isomorfi, non possiamo aspettarci che le stesse leggi si applichino a entrambi gli insiemi.
Poiché sappiamo che la legge di induzione si applica a un insieme di interi, non possiamo aspettarci che la stessa legge si applichi a un insieme di conigli che non è isomorfo.
Allo stesso modo, non possiamo aspettarci che le leggi di riproduzione che si applicano a un insieme di conigli si applichino a un insieme di interi.
Cordialmente, Alex
Per esempio questa:
Chiaramente un coniglio ha lo stesso colore di sé stesso.
Supponiamo che in qualsiasi insieme di $n$ conigli, tutti abbiano lo stesso colore, diciamo bianco e consideriamo un insieme di $n+1$ conigli.
Rimuoviamo un coniglio dall'insieme, l'ipotesi induttiva ci dice che i rimanenti $n$ conigli sono bianchi.
Per vedere che il coniglio rimosso è bianco, rimettiamolo nell'insieme e togliamone un altro; otteniamo un altro insieme di $n$ conigli che per ipotesi induttiva sono tutti bianchi quindi anche il coniglio prima rimosso e poi reinserito.
In conclusione tutti i conigli sono bianchi.
Ora, è difficile capire cosa sia passato per la testa dello studente che ne ha fatto la seguente analisi:
La logica difettosa nel problema dei conigli ha a che fare con il comportamento di conigli e interi.
Ad esempio, un insieme di conigli non è isomorfo a un insieme di interi perché il loro comportamento è diverso.
Un insieme di interi è statico mentre un insieme di conigli è dinamico, i.e., gli interi non si riproducono mentre i conigli lo fanno.
Poiché i due insiemi non sono isomorfi, non possiamo aspettarci che le stesse leggi si applichino a entrambi gli insiemi.
Poiché sappiamo che la legge di induzione si applica a un insieme di interi, non possiamo aspettarci che la stessa legge si applichi a un insieme di conigli che non è isomorfo.
Allo stesso modo, non possiamo aspettarci che le leggi di riproduzione che si applicano a un insieme di conigli si applichino a un insieme di interi.
Cordialmente, Alex
Grandissimo! Conosci qualche altro "sofisma algebrico"??
"nutshell93":
supponendo a=b si ha che (a-b)=0 ergo non si può dividere per quel binomio
Sì esatto, non puoi dividere per \(0\), o meglio, poiché non esiste in \(\mathbb{(R, +, \cdot)}\) l'inverso dell'elemento neutro per la legge di composizione \(+\) (cioè l'elemento \(0\in\mathbb{R}\)), non è definito il prodotto per l'inverso di \(0\) ovvero la divisione per \(0\). \((\mathbb{R},+,\cdot)\) è un esempio di struttura algebrica detta campo o corpo commutativo. Mi fa strano chiamare \(a\pm b\) binomio... forse in questo caso è meglio chiamarlo "numero reale", anche se in via di principio non credo sia sbagliato chiamarlo binomio
supponendo a=b si ha che (a-b)=0 ergo non si può dividere per quel binomio 
Navigatore perché hai cancellato? Era carina e istruttiva... conteneva un errore tanto grave quanto comune La riporto, correggimi se la riscrivo male, non mi hai dato molto tempo per leggerla
Suppongo \(a=b\)
\[\begin{split}
&a^2=ab\\
&a^2-b^2=ab-b^2\\
&(a-b)(a+b)=b(a-b)\\
&a+b=b\\
&2a=a \implies 2=1
\end{split} \]
nut, dove sta l'ERRORE?
La riporto, correggimi se la riscrivo male, non mi hai dato molto tempo per leggerla Suppongo \(a=b\)
\[\begin{split}
&a^2=ab\\
&a^2-b^2=ab-b^2\\
&(a-b)(a+b)=b(a-b)\\
&a+b=b\\
&2a=a \implies 2=1
\end{split} \]
nut, dove sta l'ERRORE?
Per invalidare una congettura è sufficiente mostrare un controesempio, e non è detto che sia banale trovarne uno
Per essere considerata falsa come proprietà basta trovare anche una sola eccezione, oppure c'è un metodo rigoroso come nelle dimostrazioni per induzione?
i.\(\quad(a^b)^c=a^{bc}=a^{cb}=(a^c)^b\)
ii.\(\quad a^ {(b^c)}\ne a^{bc}\)
[/list:u:85k2krmg]
La proprietà corretta i. ti dice che se tu fai prima \(\alpha:=\underbrace{a\times\dots\times a}_{\text{b volte}}\) e poi \(\underbrace{\alpha\times\dots\times\alpha}_{\text{c volte}}\) oppure viceversa prima \(\alpha':=\underbrace{a\times\dots\times a}_{\text{c volte}}\) e poi \(\underbrace{\alpha'\times\dots\times\alpha'}_{\text{b volte}}\) ottieni la stessa cosa, ossia \(\underbrace{a\times\dots\times a}_{\text{\(b\times c\) volte}}\)[nota]Beh chiaramente questa interpretazione ha senso con \(b,c\in\mathbb{N}\), ma le proprietà delle potenze si generalizzano a \(b,c\in\mathbb{R}\) con opportune richieste.[/nota]. La proprietà ii. è evidentemente scorretta, anche se graficamente le due proprietà sono simili, infatti \(b=2,c=3\rightsquigarrow a^8\ne a^6\)
Nel tuo esempio
\[
3^1=3^{(1^2)}\ne3^2
\]
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