Dimostrazione elementare del teorema di weierstrass
Hp: f(x) continua in un intervallo [a,b]
Ipotizziamo per assurdo che la suddetta funzione non ammetta ne massimo ne minimo nell’intervallo [a,b].
Analizziamo il caso che non ammetta massimo (il ragionamento è uguale anche per l’altro caso): se f(x) non ammette un massimo nell’intervallo [a,b] vuol dire che per ogni punto appartenente ad [a,b], esisterà sempre un punto g tale che …f(g - e)
Quindi f(x) deve ammettere un massimo e un minimo.
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Ipotizziamo per assurdo che la suddetta funzione non ammetta ne massimo ne minimo nell’intervallo [a,b].
Analizziamo il caso che non ammetta massimo (il ragionamento è uguale anche per l’altro caso): se f(x) non ammette un massimo nell’intervallo [a,b] vuol dire che per ogni punto appartenente ad [a,b], esisterà sempre un punto g tale che …f(g - e)
Quindi f(x) deve ammettere un massimo e un minimo.
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Risposte
"luluemicia":
Ciao, il mio controesempio è definito in [0;1] (rileggi: f(1)=0 vuol dire che ho definito f anche in 1) che è chiuso e limitato. Questo vuol dire che se supponi per assurdo che non vi sia massimo ed hai lo scopo di contraddire l'ipotesi di continuità, non puoi farlo affermando che la funzione assume valori grandi a piacere. Ricorda che dire che una funzione non ha massimo equivale a dire che il suo codominio non ha massimo. Ciò non implica necessariamente che il codominio è illimitato superiormente; per esempio il codominio (attenzione sto parlando del codominio e non del dominio) può essere [0;1[ (privo di massimo ma limitato superiormente). In fondo, forse, l'errore che commetti è che pensi che se ogni f(x_n) supera f(x_n-1) allora "la funzione tende a infinito"; non è così, pensa ad una qualunque successione crescente con limite finito.
giusto l'errore logico che ho commesso... che scemo a non pensare a una banale successione...
grazie dell'annotazione, allora cercherò altre vie...
ciaoo
Ciao, il mio controesempio è definito in [0;1] (rileggi: f(1)=0 vuol dire che ho definito f anche in 1) che è chiuso e limitato. Questo vuol dire che se supponi per assurdo che non vi sia massimo ed hai lo scopo di contraddire l'ipotesi di continuità, non puoi farlo affermando che la funzione assume valori grandi a piacere. Ricorda che dire che una funzione non ha massimo equivale a dire che il suo codominio non ha massimo. Ciò non implica necessariamente che il codominio è illimitato superiormente; per esempio il codominio (attenzione sto parlando del codominio e non del dominio) può essere [0;1[ (privo di massimo ma limitato superiormente). In fondo, forse, l'errore che commetti è che pensi che se ogni f(x_n) supera f(x_n-1) allora "la funzione tende a infinito"; non è così, pensa ad una qualunque successione crescente con limite finito.
"luluemicia":
Ciao,
no; prendi per esempio f(x)=x in [0;1[ e f(1)=0. Non ha massimo e non è vero che trovi x tale f(x)=M e M è grande a piacere.
(Nota che qui il Th. di Weierstrass non è applicabile perchè f non è continua)
Ciao
infatti il mio intervallo è [a,b] e io devo arrivare a dimostrarlo il th di Weierstrass per assurdo, per questo hp che non è continua, però è necessario che il mio intervallo che guardo è chiuso e limitato!
quindi rimane come dicevo io nel post prima, o sbgalio? chiedo conferma che mi sembri più esperta di me
Ciao,
no; prendi per esempio f(x)=x in [0;1[ e f(1)=0. Non ha massimo e non è vero che trovi x tale f(x)=M e M è grande a piacere.
(Nota che qui il Th. di Weierstrass non è applicabile perchè f non è continua)
Ciao
no; prendi per esempio f(x)=x in [0;1[ e f(1)=0. Non ha massimo e non è vero che trovi x tale f(x)=M e M è grande a piacere.
(Nota che qui il Th. di Weierstrass non è applicabile perchè f non è continua)
Ciao
"luluemicia":
Ciao
Non puoi affermare che f(x_n)=M comunque scelto M grande a piacere; il fatto che la successione delle f(x_n) sia crescente non ti assicura ciò!
Ciao
scusa ma non me l'assicura il fatto che non c'è un massimo, come detto nelle ipotesi?
Ciao
Non puoi affermare che f(x_n)=M comunque scelto M grande a piacere; il fatto che la successione delle f(x_n) sia crescente non ti assicura ciò!
Ciao
Non puoi affermare che f(x_n)=M comunque scelto M grande a piacere; il fatto che la successione delle f(x_n) sia crescente non ti assicura ciò!
Ciao
giusto, ora l'ho sistemata un pò... indico con $x^n$ i vari punti presi in considerazione.
la dimostrazione si basa che se la funzione non ha massimo, allora deve avere una discontinuità, da cui si completa la dimostrazione per assurdo.
procediamo.
data una funzione $y=f(x)$, con $f(x):RR->RR$, si ha che se la funzione è continua in un intervallo [a,b], allora assumerà un massimo e un minimo assoluti nell'intervallo.
dim:
Hp per assurdo che la funzione non ammetta un massimo nell'intervallo [a,b].
Questo vuol dire che per ogni $x'in[a,b]$ c'è $x''in[a,b]$ t.c. $f(x'')>f(x') $.
inoltre, visto che deve non deve ammetetre massimo, ci sarà, $AAx''in[a,b]$ un $x'''in[a,b]$ t.c. $f(x''')>f(x'')$.
Andando avanti in questa logica, possiamo affermare allora che $AAx^nin[a,b]$ esisterà sempre un $x^(n+1)in[a,b]$ t.c. $f(x^(n+1))>f(x^n).
Possiamo liberamente porre ora $f(x^n)=M$ dove M è un valore grande a piacere, allora possiamo affermare che esisterà un punto $x^(n+1)in[a,b]$ t.c. $f(x^(n+1))>M$, per quanto detto prima.
Inoltre, essendo che la funzione $f(x):RR->RR$, comporta che, se prendiamo un $x^nin[a,b]$ t.c. $f(x^n)in(M,+oo)$, allora, essendo la funzione continua per ipotesi e definita in $RR$, esietrà sempre un intorno completo di $x^n$, con $x^nin[a,b]$.
Da qui si deduce che esisterà quindi un $x^nin[a,b]$ che sarà punto di accumulazione per quanto detto nelle quattro righe precedenti.
quindi potremmo scrivere che $lim_(xtox^n)f(x)=+oo$ (o -oo, dipende dai casi), segue che $x=x^n$ è un punto dove la funzione ha una discontinuità, ma la funzione deve essere continua per ipotesi, assurdo.
Ora è scritta meglio, nè?
la dimostrazione si basa che se la funzione non ha massimo, allora deve avere una discontinuità, da cui si completa la dimostrazione per assurdo.
procediamo.
data una funzione $y=f(x)$, con $f(x):RR->RR$, si ha che se la funzione è continua in un intervallo [a,b], allora assumerà un massimo e un minimo assoluti nell'intervallo.
dim:
Hp per assurdo che la funzione non ammetta un massimo nell'intervallo [a,b].
Questo vuol dire che per ogni $x'in[a,b]$ c'è $x''in[a,b]$ t.c. $f(x'')>f(x') $.
inoltre, visto che deve non deve ammetetre massimo, ci sarà, $AAx''in[a,b]$ un $x'''in[a,b]$ t.c. $f(x''')>f(x'')$.
Andando avanti in questa logica, possiamo affermare allora che $AAx^nin[a,b]$ esisterà sempre un $x^(n+1)in[a,b]$ t.c. $f(x^(n+1))>f(x^n).
Possiamo liberamente porre ora $f(x^n)=M$ dove M è un valore grande a piacere, allora possiamo affermare che esisterà un punto $x^(n+1)in[a,b]$ t.c. $f(x^(n+1))>M$, per quanto detto prima.
Inoltre, essendo che la funzione $f(x):RR->RR$, comporta che, se prendiamo un $x^nin[a,b]$ t.c. $f(x^n)in(M,+oo)$, allora, essendo la funzione continua per ipotesi e definita in $RR$, esietrà sempre un intorno completo di $x^n$, con $x^nin[a,b]$.
Da qui si deduce che esisterà quindi un $x^nin[a,b]$ che sarà punto di accumulazione per quanto detto nelle quattro righe precedenti.
quindi potremmo scrivere che $lim_(xtox^n)f(x)=+oo$ (o -oo, dipende dai casi), segue che $x=x^n$ è un punto dove la funzione ha una discontinuità, ma la funzione deve essere continua per ipotesi, assurdo.
Ora è scritta meglio, nè?
"fu^2":
però l'ho postata apposta per essere distrutto se no che gusto c'è
bene!
dai, scherzavo, naturalmente
più che funzionare o no, la dimostrazione non è ancora scritta
devi precisare meglio la procedura che intendi usare
fallo, che è un ottimo allenamento
intanto noi (?), i custodi del sapere matematico, veglieremo come le sacerdotesse del tempio, che non vi siano empietà
Il primo punto da sistemare è:
"esisterà sempre un punto g tale che …f(g - e)
L'unica cosa che so, se assumo che $f$ non assume massimo, è che per ogni $x' \in [a,b]$ c'è $x'' \in [a,b]$ t.c. $f(x'') > f(x')$.
Dovresti far vedere come da questo ottieni quanto detto fra virgolette. Evitando anche la dicitura "numero positivo piccolo a piacere" ma semplicemente dicendo "per ogni $e$" o "esiste $e$ t.c." (scegli tu quale è appropriata).
"Fioravante Patrone":
[quote="fu^2"]
vi piace?
"fu^2":
a parte le notazioni sull'hp, la dimostrazione in quanto tale che vi sembra?
vuoi davvero la mia opinione?
[/quote]beh preferisco essere smontato a 360 che nn sentire dire niente...
è scritta un pò male nella forma forse... spero hai capito bene tutto
però l'ho postata apposta per essere distrutto se no che gusto c'è
?
"fu^2":
vi piace?
"fu^2":
a parte le notazioni sull'hp, la dimostrazione in quanto tale che vi sembra?
vuoi davvero la mia opinione?
ancora un'altra cosa: anche se e è piccolo a piacere (ma positivo), comunque la successione g+ne tende ad infinito e quindi esce fuori da [a;b] e, dunque, non puoi calcolarci la f o comunque, anche se ciò fosse possibile, non ne avresti alcuna informazione daLL'IPOTESI.
Ciao fu^2, puoi, per favore spiegare meglio la parte in cui a partire da un qualunque punto a cui non dai nome ricavi l'esistenza di g ed e ........
a parte le notazioni sull'hp, la dimostrazione in quanto tale che vi sembra?
"alfabeto":
Forse la mia istruzione è vecchia ma le [..] non dovrebbero rappresentare un un intervallo chiuso ( Zwirner; Ghizzetti), perchè Tripper parla di intervallo aperto? Cosa mi sono perso?
A. B.
no avevo scritto male e tipper mi ha corretto l'ipotesi che per sbaglio avevo scritto una roba in più...
certo [..] è chiuso e limitato
Certo, l'intervallo deve essere chiuso e limitato.
Forse la mia istruzione è vecchia ma le [..] non dovrebbero rappresentare un un intervallo chiuso ( Zwirner; Ghizzetti), perchè Tripper parla di intervallo aperto? Cosa mi sono perso?
A. B.
A. B.
giusto, mi sono sbagliato nelle ipotesi... comunque è un'ipotesi superflua in quanto per la dimostrazione necessita solo che essa sia continua... ho scritto per errore...
ora edito
ora edito
Non ho letto la dimostrazione, ma le ipotesi del teorema di Weierstrass non richiedono che la funzione sia derivabile nell'intervallo aperto.
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