Derivate delle inverse delle goniometriche
Il libro "Nuovi Elementi di Matematica vol. C" per
il triennio dei licei scientifici sperimentali,
nel primo capitolo, quello delle derivate,
utilizza due dimostrazioni differenti per
determinare la derivata di arcsen(x) e quella di arctg(x).
Propongo un "mio" metodo (non so di chi altro sia [:D])
che permette di determinare le derivate di tutte le
inverse delle funzioni goniometriche,
conoscendo solo la derivata di arcsen(x)
(e quindi solo la dimostrazione del perché
la derivata di arcsen(x) è 1/sqrt(1 - x^2) ).
Innanzitutto, il mio libro alla fine della dimostrazione
della derivata di arcsen(x), dice "il lettore dimostri
in modo ANALOGO che la derivata di arccos(x) è -1/sqrt(1 - x^2)"
Direi che per dimostrare che la derivata di arccos(x) è -1/sqrt(1 - x^2),
è sufficiente osservare che arccos(x) = pi/2 - arcsen(x) e quindi
derivare pi/2 - arcsen(x). In questo modo si applica semplicemente
la regola di derivazione della somma algebrica di due (o più) funzioni.
Poiché pi/2 è una costante, la sua derivata è zero e quindi la derivata
di arccos(x) è uguale a 0 - 1/sqrt(1 - x^2) = -1/sqrt(1 - x^2)
Per calcolare la derivata di arctg(x) (di cui il libro fa
una "lunga" dimostrazione) si può tener presente
l'uguaglianza arctg(x) = arcsen(x/sqrt(1 + x^2))
(per chi non la conoscesse, è facilmente dimostrabile) e quindi
derivare arcsen(x/sqrt(1 + x^2)) utilizzando la regola
di derivazione delle funzioni composte. Si ottiene facilmente: 1/(1 + x^2)
Per calcolare la derivata di arcctg(x), basta osservare
che arcctg(x) = pi/2 - arctg(x) e quindi la derivata sarà
0 - 1/(1 + x^2) = -1/(1 + x^2)
il triennio dei licei scientifici sperimentali,
nel primo capitolo, quello delle derivate,
utilizza due dimostrazioni differenti per
determinare la derivata di arcsen(x) e quella di arctg(x).
Propongo un "mio" metodo (non so di chi altro sia [:D])
che permette di determinare le derivate di tutte le
inverse delle funzioni goniometriche,
conoscendo solo la derivata di arcsen(x)
(e quindi solo la dimostrazione del perché
la derivata di arcsen(x) è 1/sqrt(1 - x^2) ).
Innanzitutto, il mio libro alla fine della dimostrazione
della derivata di arcsen(x), dice "il lettore dimostri
in modo ANALOGO che la derivata di arccos(x) è -1/sqrt(1 - x^2)"
Direi che per dimostrare che la derivata di arccos(x) è -1/sqrt(1 - x^2),
è sufficiente osservare che arccos(x) = pi/2 - arcsen(x) e quindi
derivare pi/2 - arcsen(x). In questo modo si applica semplicemente
la regola di derivazione della somma algebrica di due (o più) funzioni.
Poiché pi/2 è una costante, la sua derivata è zero e quindi la derivata
di arccos(x) è uguale a 0 - 1/sqrt(1 - x^2) = -1/sqrt(1 - x^2)
Per calcolare la derivata di arctg(x) (di cui il libro fa
una "lunga" dimostrazione) si può tener presente
l'uguaglianza arctg(x) = arcsen(x/sqrt(1 + x^2))
(per chi non la conoscesse, è facilmente dimostrabile) e quindi
derivare arcsen(x/sqrt(1 + x^2)) utilizzando la regola
di derivazione delle funzioni composte. Si ottiene facilmente: 1/(1 + x^2)
Per calcolare la derivata di arcctg(x), basta osservare
che arcctg(x) = pi/2 - arctg(x) e quindi la derivata sarà
0 - 1/(1 + x^2) = -1/(1 + x^2)
Risposte
Non lo sapevo! Grazie per la segnalazione!
beh..mi dispiace dirtelo...ma la dimostrazione del tuo libro non è altro che l'applicazione di ciò che diceva Mistral...quindi nulla di nuovo o particolrmente strano...
ciao
il vecchio
ciao
il vecchio
Comunque la dimostrazione del mio libro
della derivata di arctg(x) è analoga alla
dimostrazione, che sempre il mio libro fa,
della derivata di arcsen(x).
della derivata di arctg(x) è analoga alla
dimostrazione, che sempre il mio libro fa,
della derivata di arcsen(x).
quote:
Originally posted by Luca77
Non e' mia intenzione smontarti tutto, riconosco che hai trovato una via piu' furba e diretta per il calcolo delle derivate delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche, rispetto all'uso della definizione. Li ho chiamati trucchetti per il semplice motivo che hai usato fatti gia' noti, non scoperti da te. Sai, forse parlo troppo per "deformazione professionale": io non sopporto (non parlo di te, e' chiaro) quelle persone che cercano di dimostrare qualcosa che e' gia' stato dimostrato. Riconosco che a volte un'altra via puo' aiutare per altre dimostrazioni, ma dimostrare in piu' modi un Teorema gia' dimostrato aiuta poco il progresso della Matematica. Ripeto, probabilmente sto parlando, anzi, scrivendo per deformazione professionale, ma secondo me lo spirito del ricercatore non deve essere quello di buttarsi alla ricerca di dimostrazioni alternative, bensi' quello di buttarsi in una regione incognita. Non ha senso che faccia questi discorsi a un ragazzo di 18/19 anni, ma e' quello che penso.
Rimane comunque il fatto che quello che hai elaborato e' una pregevole dimostrazione alternativa di una serie di formule.
OK Luca, ora è più chiaro. Grazie!
y = arctg(x) ==> x = tg(y)
Si ricava da queste equazioni che, per ogni x reale:
tg(arctg(x)) = x
Se queste funzioni coincidono, coincideranno
anche le rispettive derivate.
La derivata della funzione a primo
membro si può calcolare con la regola di derivazione
delle funzioni composte. Si ha:
D tg(arctg(x)) = (1 + tg²(arctg(x)))*D arctg(x)
La derivata di x è 1.
Uguagliando si ha:
(1 + tg²(arctg(x)))*D arctg(x) = 1
Poiché tg²(arctg(x)) = x² per il fatto che tg(arctg(x)) = x,
si ottiene finalmente:
(1 + x²)* D arctg(x) = 1
da cui:
D arctg(x) = 1/(1 + x²)
Si ricava da queste equazioni che, per ogni x reale:
tg(arctg(x)) = x
Se queste funzioni coincidono, coincideranno
anche le rispettive derivate.
La derivata della funzione a primo
membro si può calcolare con la regola di derivazione
delle funzioni composte. Si ha:
D tg(arctg(x)) = (1 + tg²(arctg(x)))*D arctg(x)
La derivata di x è 1.
Uguagliando si ha:
(1 + tg²(arctg(x)))*D arctg(x) = 1
Poiché tg²(arctg(x)) = x² per il fatto che tg(arctg(x)) = x,
si ottiene finalmente:
(1 + x²)* D arctg(x) = 1
da cui:
D arctg(x) = 1/(1 + x²)
A questo punto siamo curiosi di sapere che metodo usi il tuo libro per trovare la formula della derivazione della funzione y= arctg(x) !
Camillo
Camillo
Il mio libro non usa la regola di derivazione della
funzione inversa: anzi questa regola viene spiegata
e dimostrata sul mio libro DOPO aver spiegato e dimostrato
le derivate delle inverse delle funzioni goniometriche arcsen(x) e arctg(x)
funzione inversa: anzi questa regola viene spiegata
e dimostrata sul mio libro DOPO aver spiegato e dimostrato
le derivate delle inverse delle funzioni goniometriche arcsen(x) e arctg(x)
quote:
Originally posted by fireball
Il libro "Nuovi Elementi di Matematica vol. C" per
il triennio dei licei scientifici sperimentali,
nel primo capitolo, quello delle derivate,
utilizza due dimostrazioni differenti per
determinare la derivata di arcsen(x) e quella di arctg(x).
....
Non so che metodo usi il tuo libro, ma penso che il metodo migliore sia quello che usa la regola:
g'(y)=1/f'(x)
dove g è la funzione inversa di f, cioè g(f(x))=x e f(g(y))=y.
A questo punto ad esempio per y=f(x)=sin x hai che la derivata è f'(x)=cos x e applicando la formula hai:
arcsin'y=1/cos x
se ora usi il fatto che (sin x)^2+(cos x)^2=1 e scegli che parte di sin x vuoi invertire hai la tua formula. Normalmente si definisce arcsin come l'inverso della porzione tra -pi.greco/2 e +pi.grego/2 quindi il coseno è sempre positivo, da cui:
acsin'y=1/sqrt(1-(sinx)^2)=1/sqrt(1-y^2).
Anche per tutte le altre funzioni inverse si può usare questo procedimento e non mi sembra così lungo.
Saluti
Mistral
Non e' mia intenzione smontarti tutto, riconosco che hai trovato una via piu' furba e diretta per il calcolo delle derivate delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche, rispetto all'uso della definizione. Li ho chiamati trucchetti per il semplice motivo che hai usato fatti gia' noti, non scoperti da te. Sai, forse parlo troppo per "deformazione professionale": io non sopporto (non parlo di te, e' chiaro) quelle persone che cercano di dimostrare qualcosa che e' gia' stato dimostrato. Riconosco che a volte un'altra via puo' aiutare per altre dimostrazioni, ma dimostrare in piu' modi un Teorema gia' dimostrato aiuta poco il progresso della Matematica. Ripeto, probabilmente sto parlando, anzi, scrivendo per deformazione professionale, ma secondo me lo spirito del ricercatore non deve essere quello di buttarsi alla ricerca di dimostrazioni alternative, bensi' quello di buttarsi in una regione incognita. Non ha senso che faccia questi discorsi a un ragazzo di 18/19 anni, ma e' quello che penso.
Rimane comunque il fatto che quello che hai elaborato e' una pregevole dimostrazione alternativa di una serie di formule.
Luca77
http://www.llussardi.it
Rimane comunque il fatto che quello che hai elaborato e' una pregevole dimostrazione alternativa di una serie di formule.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca, comunque ridurre a "trucchetti" le mie elaborazioni mi sembra un po' troppo!
Più che trucchi, sono metodi che ho scoperto io! [:)]
Più che trucchi, sono metodi che ho scoperto io! [:)]
Grazie Paola! [;)]
Che gallo! Userò queste dimostrazioni in modo improprio durante le interrogazioni [:D] spacciandole per mie... Scherzo [;)] belle osservazioni!
Paola
Paola
Capisco... Grazie per essere intervenuto, Luca!
Sai, questi trucchetti e' pur vero che semplificano drasticamente i conti, ma credo che la dimostrazione che riporta il testo sia piu' "istruttiva" per uno studente liceale, in quanto calcola la derivata con il solo uso della definizione. Una volta che uno ha acquisito la padronanza nel calcolo diretto di derivate, nei teoremi di derivazione e nell'invertibilita' delle funzioni, allora si puo' divertire a trovare scorciatoie, come hai fatto tu. Comunque e' una cosa che ti capitera' ancora: trovare dimostrazioni lunghe di Teoremi che magari, con un paio di osservazioni acute, ma non immediate, si possono dimostrare in modo piu' veloce. Spesso pero' dalla dimostrazione alternativa non traspare l'idea del perche' quel risultato debba essere vero, e quindi uno, a scopo didattico, preferisce ripiegare sulla dimostrazione piu' lunga.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
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