Delta di Dirac
Non conosco molto la meccanica quantistica (MQ) però sono affascinato dalla eleganza trattazione che ne fa PAM Dirac ne da nel classico "Principi della Meccanica Quantistica". Li compare la funzione di Dirac così bella per le semplificazioni e la sintesi che consente di fare e allo stesso tempo così complessa da giustificare dal punto di vista teorico. In seguito ho letto un po' di J. Von Neumann " I fondamenti matematici della meccanica quantistica" in cui la funzione di Dirac non viene mai usata. Quest'ultimo scritto è più difficile da leggere anche se abbastanza fattibile, si tratta di conoscere un po' di spazi di Hilbert.
La mia osservazione è la seguente, trovo che sia molto difficile conciliare la matematica dell'approcio di Dirac con quello di di J. Von Neumann senza introdurre la teoria delle distribuzioni, che per certi versi sembra un po' gratuita e sovrabbondante allo scopo.
Cerco di semplificare con una analogia che forse è impropria comunque ci provo. Pensate alla equazione differenziale:
X''+X=0 con condizione iniziale
x'(0)=1 x(0)=0
e alla equazione differenziale:
X''+X=delta(t) con condizione iniziale
x'(0)=0 x(0)=0
entrambe hanno la stessa soluzione la differenza e che nella seconda si ha una forzante impulsiva che provoca una variazione brusca della velocita da 0 ad 1. In questo senso la prima equazione risulta un modo per eludere(evitarne l'uso) con considerazioni fisiche il delta di Dirac imponendo direttamente la velocità dopo l'urto. Mi chiedevo perchè non si riesce a fare lo stesso nella meccanica quantistica. In altre parole è possibile definire il delta di Dirac come il limite di una successione di funzioni ordinarie, però non mi sembra banale innestare questo processo di limite nelle equazioni della MQ per evitare l'uso della funzione di Dirac. Volendo fare un'altra analogia pensate alle successioni di Cauchy che non convergono in Q ma possono essere manipolate algebricamente.
Se qualcuno vuole esprimere il suo parere leggero con attenzione, mi rendo conto che il post è un po' complicato e forse scritto in maniera poco chiara.
Saluti
Mistral
PS. Ho già postato questo intervento in un altro forum spero che il relativo gestore, che frequenta anche questo forum, non se ne abbia a male.
La mia osservazione è la seguente, trovo che sia molto difficile conciliare la matematica dell'approcio di Dirac con quello di di J. Von Neumann senza introdurre la teoria delle distribuzioni, che per certi versi sembra un po' gratuita e sovrabbondante allo scopo.
Cerco di semplificare con una analogia che forse è impropria comunque ci provo. Pensate alla equazione differenziale:
X''+X=0 con condizione iniziale
x'(0)=1 x(0)=0
e alla equazione differenziale:
X''+X=delta(t) con condizione iniziale
x'(0)=0 x(0)=0
entrambe hanno la stessa soluzione la differenza e che nella seconda si ha una forzante impulsiva che provoca una variazione brusca della velocita da 0 ad 1. In questo senso la prima equazione risulta un modo per eludere(evitarne l'uso) con considerazioni fisiche il delta di Dirac imponendo direttamente la velocità dopo l'urto. Mi chiedevo perchè non si riesce a fare lo stesso nella meccanica quantistica. In altre parole è possibile definire il delta di Dirac come il limite di una successione di funzioni ordinarie, però non mi sembra banale innestare questo processo di limite nelle equazioni della MQ per evitare l'uso della funzione di Dirac. Volendo fare un'altra analogia pensate alle successioni di Cauchy che non convergono in Q ma possono essere manipolate algebricamente.
Se qualcuno vuole esprimere il suo parere leggero con attenzione, mi rendo conto che il post è un po' complicato e forse scritto in maniera poco chiara.
Saluti
Mistral
PS. Ho già postato questo intervento in un altro forum spero che il relativo gestore, che frequenta anche questo forum, non se ne abbia a male.
Risposte
Volevo sottolineare il punto forte della Teoria delle distribuzioni, e cioe' che una distribuzione e' sempre un oggetto derivabile, contrariamente alle funzioni. Ma non e' detto che la derivata di una distribuzione identificata ad una funzione sia ancora una distribuzione identificabile con una funzione, e l'esempio della funzione di Heaviside di cui sopra lo dimostra.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Io da quando ho cominciato a leggere qualcosa sulla meccanica quantistica non me no sono più staccato...
Per quanto riguarda la delta di Dirac... Solo qualche curiosità:
Una distribuzione è un funzionale, ovvero è definita attraverso la sua "azione" su una funzione. Ad esempio una distribuzione T può essere definita così:=INT[-inf,+inf] T*f. L'integrale è esteso al dominio di f ed f s'intende a supporto limitato in questa descrizione semplificata. Non entro nel dettaglio di ciò.
La distribuzione delta (D) è definita così: = f(0)
La derivata T' di una distribuzione è definita così:
= -
Ora, sia T=H dove H è la funzione GRADINO DI HEAVISIDE. Allora:
= -INT[0,inf]f' = -(f(inf)-f(0))= f(0) =
Si conclude
H' = D
cioè la delta di dirac si può vedere come derivata della funzione gradino nel senso delle distribuzioni.
Per quanto riguarda la delta di Dirac... Solo qualche curiosità:
Una distribuzione è un funzionale, ovvero è definita attraverso la sua "azione" su una funzione. Ad esempio una distribuzione T può essere definita così:
La distribuzione delta (D) è definita così:
La derivata T' di una distribuzione è definita così:
Ora, sia T=H dove H è la funzione GRADINO DI HEAVISIDE. Allora:
Si conclude
H' = D
cioè la delta di dirac si può vedere come derivata della funzione gradino nel senso delle distribuzioni.
Effettivamente il primo problema di cauchy da te proposto elude il problema, ma questo è fattibile solo in casi semplici come questo, nei quali la delta di Dirac compare da sola e non associata (magari mediante la convoluzione come in teoria del controllo) ad altre funzioni.
In casi più complessi non è possibile prevedere quale sarà la "velocità" nell'istante successivo all'evento impulsivo, in quanto potrebbe essere proprio questo l'oggetto del problema.
La mia conoscenza della delta è abbastanza superficiale, comunque ho potuto notare quanto il suo uso semplifichi la trattazione di svariati problemi.
Effettivamente l'introduzione dell'intera teoria delle distribuzioni per dare solide fondamenta a tale oggetto matematico è eccessiva. Ci si può comunque limitare ad un approccio di tipo logico a tale branca della matematica, comprendendone i soli fondamenti e evitando tutta la trattazione formale.
Vi dirò che, nonostante sia abbastanza all'asciutto di meccanica quantistica, questo agomento stà cominciano ad interessarmi....
P.S. Senza introdurre la teoria delle distribuzioni il secondo problema di Cauchy non ha "formalmente" senso, in quanto stiamo paragonando due enti di natura diversa.
In casi più complessi non è possibile prevedere quale sarà la "velocità" nell'istante successivo all'evento impulsivo, in quanto potrebbe essere proprio questo l'oggetto del problema.
La mia conoscenza della delta è abbastanza superficiale, comunque ho potuto notare quanto il suo uso semplifichi la trattazione di svariati problemi.
Effettivamente l'introduzione dell'intera teoria delle distribuzioni per dare solide fondamenta a tale oggetto matematico è eccessiva. Ci si può comunque limitare ad un approccio di tipo logico a tale branca della matematica, comprendendone i soli fondamenti e evitando tutta la trattazione formale.
Vi dirò che, nonostante sia abbastanza all'asciutto di meccanica quantistica, questo agomento stà cominciano ad interessarmi....
P.S. Senza introdurre la teoria delle distribuzioni il secondo problema di Cauchy non ha "formalmente" senso, in quanto stiamo paragonando due enti di natura diversa.
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