Definizioni diverse
Vorrei porre una domanda generale.
A volte si trovano nei libri definizioni diverse della stessa cosa...
Quel che mi chiedo è se tali definizioni debbano corrispondere o meno ad uno stesso concetto.
Faccio un esempio banale: è possibile definire un "triangolo isoscele" (geometria euclidea ovviamente) come "un triangolo avente due lati congruenti" oppure come "un triangolo avente due angoli congruenti". Si può dimostrare infatti che le due definizioni si equivalgono, giacchè una implica l'altra, e viceversa.
Domanda: è sempre così? Cioè due definizioni della stessa cosa devono equivalersi?
A volte si trovano nei libri definizioni diverse della stessa cosa...
Quel che mi chiedo è se tali definizioni debbano corrispondere o meno ad uno stesso concetto.
Faccio un esempio banale: è possibile definire un "triangolo isoscele" (geometria euclidea ovviamente) come "un triangolo avente due lati congruenti" oppure come "un triangolo avente due angoli congruenti". Si può dimostrare infatti che le due definizioni si equivalgono, giacchè una implica l'altra, e viceversa.
Domanda: è sempre così? Cioè due definizioni della stessa cosa devono equivalersi?
Risposte
O cavolo... Che figura... Un angolo piatto... 
"Eudale":
dando per definizione che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo giro...
O cavolo qualcuno aveva gia risposto... 
Si è possibile... Due definizioni infatti sono equivalenti quando è possibile ricavare una dall'altra e viceversa... E' molto bello cercare sempre di ricavare stesse definizioni in altro modo e porta sempre a molti vantaggi come nello studio delle geometrie non euclidee 
Nella geometria euclidea il V postulato può essere espresso un moltissimi modi come per esempio dando per definizione che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo giro...
Nella geometria euclidea il V postulato può essere espresso un moltissimi modi come per esempio dando per definizione che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo giro...
Ok! Grazie!
Sì: in matematica si è liberi di adottare definizioni purché i suoi assiomi non portino a contraddizioni, il che per un importante teorema di logica equivale a dire che vi sono oggetti con quella proprietà (quindi rispondenti alla definizione).
Dopodiché si può (ri)definire un oggetto in qualsiasi modo equivalente ad esso.
Per esempio, potrei anche definire compatti di $RR^n$ quei sottinsiemi chiusi e limitati, che in virtù del teorema di Heine-Borel coincidono con i compatti nel senso tradizionale della topologia.
Per non parlare dei sottogruppi normali di un gruppo, ce ne sono tante di definizioni equivalenti e ognuno si basa sul suo gusto.
Dopodiché si può (ri)definire un oggetto in qualsiasi modo equivalente ad esso.
Per esempio, potrei anche definire compatti di $RR^n$ quei sottinsiemi chiusi e limitati, che in virtù del teorema di Heine-Borel coincidono con i compatti nel senso tradizionale della topologia.
Per non parlare dei sottogruppi normali di un gruppo, ce ne sono tante di definizioni equivalenti e ognuno si basa sul suo gusto.
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