Curiosità sui quadrati dei numeri

[Pupos1]

Facendo attenzione ai quadrati di alcuni numeri, ho notato ke la differenza tra il quadrato di un numero e il quadrato del suo precedente, è esattamente la somma dei due numeri.

Es. 13x13 = 169 - 14x14 = 196

196 - 169 = 27 = 13 + 14.

E così per tutti inumeri.
Esiste una teoria su questo??

[valerio cavolaccio]

si anche io da piccolo alle elementari scoprii questo proprietà dei quadrati successivi. per poi andando avanti con l'algebra si dimostra facilmente:
prendendo un numero n e il suo successivo n+1 dovremmo ottenere che (n+1)^2-n^2 =n+ n+1
infatti si svolgono i calcoli e si ottiene: n^2+2n+1-n^2=2n+1 che vale appunto (n+n+1)

[fransis2]

magari un modo più divertente di vederlo, ma del tutto equivalente a quello detto da fioravante è disegnare tanti quadrati ognuno interno all'altro che hanno tutti un vertice in comune e ogni quadrato con lato di lunghezza 1,2,3,4,....non so se mi sono spiegato bene. Se ti fai questo disegno noterai che dato un quadrato, l'area del quadrato successivo sarà l'area del quadrato di partenza + 2 la lunghezza del lato (l'area dei 2 rettangolini che si formano adiacenti ai 2 spigoli) e l'area del quadratino che si forma in alto a destra. Proprio 2n+1. La cosa bella di questo è che ogni quadrato è la somma di un certo numero di dispari consecutii e facendo un certo la somma di un certo numero di dispari consecutivi ottieni tutti i quadrati nell'ordine. Capisci questo perchè?

[Fioravante Patrone1]

Si e' un risultato conosciuto. Piu' che una teoria, si tratta di usare un po' di algebra.

Il fatto e' che $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$
E $2n + 1 = n + (n +1)$

E' una regolarita' che capita di notare, se uno fa un po' di calcoli. Anche a me era capitato, prima di studiare algebra.

[adaBTTLS1]

il quadrato dell'n-esimo numero naturale è uguale alla somma dei primi n numeri dispari... se ti vuoi divertire a verificare che è la stessa cosa... ciao.