Curiosità

[Dorian1]

E' risaputo che molti numeri primi si possono scrivere in forma $2^n-1$ : per esempio, con $n=3$ s'ottiene il numero primo $7$...
Ma è altrettanto noto che per degli $n in NN$ la formula da valori che non sono primi (p.e.: $n=4$)...
Ecco la mia domanda: si è dimostrato che tali numeri primi sono in quantità infinita...?

[Levacci]

Colpito e affondato , ciao.

[fedeb2]

$n=ab$
$2^n-1=2^(ab)-1=2^(a^b)-1=(2^a-1)(2^(b-a)+...2^(ab-a-1))$
quindi se n non è primo il tutto è fattorizzabile

mi ci sono avvicinato???

[Dorian1]

Come immaginavo... Poichè si dimostra facilmente, tramite induzione su $n$, che se $2^(n+1)-1$ è primo allora $2^n*(2^(n+1)-1)$ è perfetto, "basterebbe" mostrare che esistono infiniti primi di Mersenne per dimostrare che pure i numeri perfetti sono infiniti...
Giusto???

[Levacci]

Ecco la mia domanda: si è dimostrato che tali numeri primi sono in quantità infinita...?

No, che i primi di mersenne siano infiniti è solo una congettura. Il problema resta aperto. Già che ci sono lascio un gift per chi è alle prime armi: dimostrare che se $M_n$ è primo allora lo è anche $n$. Naturalmente l'implicazione inversa non vale.