Continuità
Dire se la funzione reale di variabile reale:
$f(x)=1/x$
è continua (su tutto il campo di definizione).
$f(x)=1/x$
è continua (su tutto il campo di definizione).
Risposte
Mi permetto di rendere più leggibile il post di zorn (semplice errore di battitura, un dollaro di troppo 
):
Comunque, la risposta alla domanda è sì. (scusate ma quando è stato aperto questo post ero in ferie....
)
Paolo
): "zorn":
Dipende dalla topologia.
Nel caso della topologia naturale, è continua in tutto il dominio $RR\{0}$, non ha senso chiedersi della continuità per punti al di fuori del dominio.
Comunque, la risposta alla domanda è sì. (scusate ma quando è stato aperto questo post ero in ferie....
) Paolo
Dipende dalla topologia.
Nel caso della topologia naturale, è continua in tutto il dominio $RR\{0}$$, non ha senso chiedersi della continuità per punti al di fuori del dominio.
Nel caso della topologia naturale, è continua in tutto il dominio $RR\{0}$$, non ha senso chiedersi della continuità per punti al di fuori del dominio.
Comunque, forse mi sono espresso male, io
intendevo dire, per fare un esempio, che una
funzione che sia continua in due intervalli disgiunti,
è continua nell'unione dei due intervalli, pur essendo essi disgiunti.
intendevo dire, per fare un esempio, che una
funzione che sia continua in due intervalli disgiunti,
è continua nell'unione dei due intervalli, pur essendo essi disgiunti.
Perdonate la cantonata presa, ma il 4 settembre ho
l'esame di ricerca operativa e il 5 meccanica
dei solidi 1, non è il massimo questo come periodo
per postare messaggi riguardanti analisi matematica
dal punto di vista teorico...
l'esame di ricerca operativa e il 5 meccanica
dei solidi 1, non è il massimo questo come periodo
per postare messaggi riguardanti analisi matematica
dal punto di vista teorico...
"Maxos":
fireball, se adesso la continuità si mette a non dipendere dalla topologia mi licenzio da uomo, ehehe!
Eh già. Se non erro, se sullo spazio di partenza si mette la topologia discreta, qualsiasi funzione è continua.
Comunque, se non si dice diversamente, si sottintende la topologia (indotta dalla topologia) euclidea.
La risposta alla domanda posta è sì, naturalmente.
Esatto Kroldar
fireball, se adesso la continuità si mette a non dipendere dalla topologia mi licenzio da uomo, ehehe!
Esempio più banale e simile a ciò che dice wedge è usare sia per il dominio che per il codominio la topologia i cui aperti sono intervalli del tipo $(-a,a)$ (ovvero per il dominio la sua restrizione al sottospazio $RR-{0}$), in questo caso addirittura la controimmagine di un aperto non è mai aperta.
In questa topologia addirittura la funzione non ammette limite in alcun punto.
fireball, se adesso la continuità si mette a non dipendere dalla topologia mi licenzio da uomo, ehehe!
Esempio più banale e simile a ciò che dice wedge è usare sia per il dominio che per il codominio la topologia i cui aperti sono intervalli del tipo $(-a,a)$ (ovvero per il dominio la sua restrizione al sottospazio $RR-{0}$), in questo caso addirittura la controimmagine di un aperto non è mai aperta.
In questa topologia addirittura la funzione non ammette limite in alcun punto.
Provo a fare un esempio semplice.
Ipotizziamo che sia $f(x)=1/x: X to Y$ e che $X$ sia dotato della topologia indiscreta e $Y$ della topologia euclidea.
Se prendiamo un aperto limitato del codominio, ad esempio $(1/2,1)$, la sua controimmagine $(1,2)$ nel dominio non è un aperto. Dunque la $f$ definita in questo modo non è continua nell'insieme di definizione.
@wedge
Non capisco perché parli di una topologia in cui ogni aperto contenga $0$.
Ipotizziamo che sia $f(x)=1/x: X to Y$ e che $X$ sia dotato della topologia indiscreta e $Y$ della topologia euclidea.
Se prendiamo un aperto limitato del codominio, ad esempio $(1/2,1)$, la sua controimmagine $(1,2)$ nel dominio non è un aperto. Dunque la $f$ definita in questo modo non è continua nell'insieme di definizione.
@wedge
Non capisco perché parli di una topologia in cui ogni aperto contenga $0$.
La risposta e' si', ovviamente (purche' s'intenda $RR$ munito della topologia usuale).
"fireball":
[quote="Maxos"]La domanda è mal posta, dipende dalla topologia scelta.
Vabbè scusate.
Sicuro che dipenda dalla struttura dell'insieme dove la funzione è continua? Non mi pare... Boh magari mi sbaglio.[/quote]
credo Maxos abbia ragione, se ci inventiamo una topologia per cui ogni aperto comprende 0 la condizione di continuità non è verificata mai.
"Maxos":
La domanda è mal posta, dipende dalla topologia scelta.
Vabbè scusate.
Sicuro che dipenda dalla struttura dell'insieme dove la funzione è continua? Non mi pare... Boh magari mi sbaglio.
la risposta sta proprio nella formulazione della domanda (su tutto il campo di definizione)... cioè con x diverso da 0
A.B
A.B
La risposta alla domanda posta e' si'.
La funzione proposta, in quanto funzione reale di variabile reale, è continua in ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
La domanda è mal posta, dipende dalla topologia scelta.
Vabbè scusate.
Vabbè scusate.
Chiedersi se una funzione è continua o meno significa chiedersi se f : D -> R ,dove D è il dominio di definizione, è continua.
In questo caso il dominio dove la funzione $1/x$ è definita è, come detto giustamente da milady, R\{0}, quindi la funzione è continua lì.
In questo caso il dominio dove la funzione $1/x$ è definita è, come detto giustamente da milady, R\{0}, quindi la funzione è continua lì.
"mircoFN":
Dire se la funzione reale di variabile reale:
$f(x)=1/x$
è continua (su tutto il campo di definizione).
è continua in R/{0}
E' discontinua in $0$
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