Coniche

[gandalph2004]

stavo studiando le coniche...
so come riconoscere di quale conica si tratta dalla sua equazione ma come si calcolano il centro, distanza focale...etc etc per ognuna di esse ???

Gandalph ringrazia anticipatamente

[gandalph2004]

citazione:

---

Ho delle formule per te.
L'equazione della conica sia:
a11*x^2+2*a12*xy+a22*y^2+2*a13*x+2*a23*y+a33=0
Allora:

1)Centro (per le coniche a centro cioe' non parabole)
il centro si trova come intersezione delle rette:
[a11*x+a12*y+a13=0, a12*x+a22*y+a23=0]

2)Le equazioni degli assi sono :
(a11+m*a12)x+(a12+m*a22)y+(a13+m*a23)=0
dove m si ricava dall'equazione:
a12*m^2+(a11-a22)*m -a12=0.
Nel caso della parabola si otterra' un solo asse.
Intersecando la conica con gli assi si otterranno
i vertici della conica quindi anche le lunghezze degli assi.

3)Fuochi
Per avere i fuochi (e quindi la distanza focale) conosco un
procedimento in verita'un po' lunghetto .
Si comincia col considerare l'equazione:
f(x,y)+(ax+by+c)^2=0 (f(x,y)=equazione della conica)
e si cercano in essa le eventuali circonferenze di raggio nullo
Se esistono allora i centri di queste circonferenze, ridotte in
effetti ad un punto, sono proprio i fuochi richiesti.
Faccio un esempio.
Sia 3x^2+4y^2+8y+1=0 la conica;applicando il procedimento si ha:
(1) (a^2+3)x^2+(4+b^2)y^2+2abxy+2acx+(8+2bc)y+(c^2+1)=0
Le circonferenze si ottengono se risulta:
a^2+3=4+b^2 e 2ab=0 ,le cui soluzioni sono:
a=0 b=+i o b=-i (da scartare)
b=0 a=1 (o a=-1).
Per b=0 e a=1 dalla (1) si ricava:
4x^2+4y^2+2cx+8y+(c^2+1)=0
il raggio e':
r=1/4*sqrt(3-3c^2/4) che e' nullo per c1=-2 e c2=+2.
Per tali valori il centro della circonferenza e':
F1(-1/2,-1) o F2(1/2,-1) che sono i fuochi della conica.

4)equazione complessiva degli asintoti di un'iperbole.
f(x,y)-A/A33=0
dove A e' il determinante della matrice associata alla conica
e A33 e' l'aggiunto del termine a33.
Risolvendo l'equazione rispetto ad y ( o ad x) si ottengono
le equazioni dei due asintoti.
karl.







Modificato da - karl il 03/01/2004 18:23:01

Modificato da - karl il 03/01/2004 18:51:14

---

Karl, ti ringrazio...il tuo aiuto mi è stato molto utile

Gandalph2004

[fireball1]

Guarda questo ed anche questo, appartengono a Matematicamente.it, e mi sembrano molto ben fatti.



Modificato da - fireball il 03/01/2004 18:58:43

[Sk_Anonymous]

Ho delle formule per te.
L'equazione della conica sia:
a11*x^2+2*a12*xy+a22*y^2+2*a13*x+2*a23*y+a33=0
Allora:

1)Centro (per le coniche a centro cioe' non parabole)
il centro si trova come intersezione delle rette:
[a11*x+a12*y+a13=0, a12*x+a22*y+a23=0]

2)Le equazioni degli assi sono :
(a11+m*a12)x+(a12+m*a22)y+(a13+m*a23)=0
dove m si ricava dall'equazione:
a12*m^2+(a11-a22)*m -a12=0.
Nel caso della parabola si otterra' un solo asse.
Intersecando la conica con gli assi si otterranno
i vertici della conica quindi anche le lunghezze degli assi.

3)Fuochi
Per avere i fuochi (e quindi la distanza focale) conosco un
procedimento in verita'un po' lunghetto .
Si comincia col considerare l'equazione:
f(x,y)+(ax+by+c)^2=0 (f(x,y)=equazione della conica)
e si cercano in essa le eventuali circonferenze di raggio nullo
Se esistono allora i centri di queste circonferenze, ridotte in
effetti ad un punto, sono proprio i fuochi richiesti.
Faccio un esempio.
Sia 3x^2+4y^2+8y+1=0 la conica;applicando il procedimento si ha:
(1) (a^2+3)x^2+(4+b^2)y^2+2abxy+2acx+(8+2bc)y+(c^2+1)=0
Le circonferenze si ottengono se risulta:
a^2+3=4+b^2 e 2ab=0 ,le cui soluzioni sono:
a=0 b=+i o b=-i (da scartare)
b=0 a=1 (o a=-1).
Per b=0 e a=1 dalla (1) si ricava:
4x^2+4y^2+2cx+8y+(c^2+1)=0
il raggio e':
r=1/4*sqrt(3-3c^2/4) che e' nullo per c1=-2 e c2=+2.
Per tali valori il centro della circonferenza e':
F1(-1/2,-1) o F2(1/2,-1) che sono i fuochi della conica.

4)equazione complessiva degli asintoti di un'iperbole.
f(x,y)-A/A33=0
dove A e' il determinante della matrice associata alla conica
e A33 e' l'aggiunto del termine a33.
Risolvendo l'equazione rispetto ad y ( o ad x) si ottengono
le equazioni dei due asintoti.
karl.







Modificato da - karl il 03/01/2004 18:23:01

Modificato da - karl il 03/01/2004 18:51:14

[WonderP1]

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WonderP.