Congettura stupida..dare un'occhiata please.
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Risposte
perchè non si legge quello che ha scritto joshua
Allora, ci vuole una ripassata di logica formale e Teoria degli insiemi. Andiamo per gradi: anzitutto denotiamo con V l'insieme vuoto. Allora si ha che se A e' sottoinsieme di V, allora A=V. Infatti sia x in A; allora x sta in V. Ma x app. a V e' falsa, quindi affinche' l'implicazione x appartenente ad A => x sta in V sia vera occorre che x sta in A sia falsa. Quindi A e' vuoto.
Abbiamo quindi dimostrato che V non ha sottoinsiemi propri. Passo successivo: VxV e' una funzione. E' ovviamente una relazione, essendo un prodotto cartesiano di insiemi. Ora prova tu, con lo stesso trucco dell'implicazione, a dimostrare che VxV e' una funzione.
Abbiamo quindi dimostrato che V non ha sottoinsiemi propri. Passo successivo: VxV e' una funzione. E' ovviamente una relazione, essendo un prodotto cartesiano di insiemi. Ora prova tu, con lo stesso trucco dell'implicazione, a dimostrare che VxV e' una funzione.
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Quello che commetti tu e' un errore logico; il punto centrale della questione e' che se un'implicazione A => B e' tale che A risulta falsa, allora l'implicazione e' sicuramente vera. Da questo segue l'esistenza di una funzione che manda l'insieme vuoto nell'insieme vuoto. Questo e' il punto fondamentale della questione, ed e' questa funzione che ti da' l'equipotenza tra il vuoto e il numero naturale 0.
Quanto alla questione sul nuemro di funzioni, il Teorema e' corretto, dal momento che c'e' esattamente una funzione che manda il vuoto nel vuoto, ovvero 0!=1 funzione.
Quanto alla questione sul nuemro di funzioni, il Teorema e' corretto, dal momento che c'e' esattamente una funzione che manda il vuoto nel vuoto, ovvero 0!=1 funzione.
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Ora si può accedere al link!
Ciao!
Ciao!
Anzitutto non riesco ad aprire il file linkato; a parte questo, e' facile dimostrare che se A e' sottoinsieme del vuoto, allora A e' vuoto, quindi il vuoto non ha sottoinsiemi propri. Infatti sia A sottoinsieme dell'insieme vuoto; allora vale l'implicazione x appartenente ad A => x appartenente al vuoto. Essendo x appartenente al vuoto falsa, ed essendo l'implicazione vera, ne segue che x appartenente ad A deve essere falsa. Quindi A non puo' contenere nessun elemento, ovvero A e' l'insieme vuoto. Quindi il vuoto non ha sottoinsiemi propri, quindi e' un insieme finito. Si attacca poi la dimostrazione che e' equipotente al numero naturale 0, che in Teoria degli insiemi, e' definito proprio come l'insieme vuoto, per cui la funzione ovvia che da' la dimostrazione e' la funzione "identica".
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In Teoria assiomatica degli insiemi una funzione da X in Y e' definita come un particolare sottonisieme del prodotto cartesiano tra X e Y. Ne segue che anche se X=Y=vuoto, la definizione di funzione ha senso.
Se tiri in gioco la Teoria assiomatica degli insiemi, devi adottare le definizioni della Teoria stessa; la definizione intuitiva di funzione che hai in mente tu e' solo una riscrittura della vera definizione che vale se gli insiemi in gioco non sono vuoti.
Se tiri in gioco la Teoria assiomatica degli insiemi, devi adottare le definizioni della Teoria stessa; la definizione intuitiva di funzione che hai in mente tu e' solo una riscrittura della vera definizione che vale se gli insiemi in gioco non sono vuoti.
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Grazie Luca dell'esauriente risposta.
Ciao, a presto!
Ciao, a presto!
Anzitutto va ricordato che, per definizione di numero naturale in Teoria assiomatica degli insiemi, il numero 0 e' l'insieme vuoto, il numero 1 e' il singoletto (0), il numero 2 e' l'insieme (0,1), ecc...
Detto questo, l'insieme vuoto non puo' essere infinito, poiche' non ha sottonisiemi propri. Quindi e' un insieme finito, equipotente al numero naturale 0. Infatti sia $f(x)=x$ l'applicazione identica tra il vuoto e lo 0. E' immediato verificare che tale applicazione e' biiettiva; se uno scrive infatti iniettivita' e suriettivita' di f scrive implicazioni A =>B nelle quali A e' sempre falsa, e da cio' segue la verita' delle implicazioni.
Quindi l'insieme vuoto e' un insieme finito di cardinalita' 0.
Detto questo, l'insieme vuoto non puo' essere infinito, poiche' non ha sottonisiemi propri. Quindi e' un insieme finito, equipotente al numero naturale 0. Infatti sia $f(x)=x$ l'applicazione identica tra il vuoto e lo 0. E' immediato verificare che tale applicazione e' biiettiva; se uno scrive infatti iniettivita' e suriettivita' di f scrive implicazioni A =>B nelle quali A e' sempre falsa, e da cio' segue la verita' delle implicazioni.
Quindi l'insieme vuoto e' un insieme finito di cardinalita' 0.
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Si ma $|O/|=0$ è un assioma. E' utilizzato per definire la cardinalità degli altri insiemi, è fondamentale e ritenuto vero da tutti.
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Ma tu hai detto che l'insieme vuoto non è finito. Quindi questo "Sia S(K) l'insieme di tutte le corrispondenze biunivoche,da quanto detto risulta: Card( S(K) )= 0! = 1,il che e' assurdo. " non puoi farlo, in quanto l'insieme deve essere finito!
Infatti se A è un insieme finito, le bieezioni $A rarr A$ si chiamano anche le permutazioni di A. Se A è finito di cardinalità n, ogni applicazione iniettiva $A rarr A$ è una biiezione, e quindi ci sono n! applicazioni biettive di $A rarr A$. Quindi le permutazioni di un insieme di [size=150]cardinalità n[/size] sono n!.
Mi sbaglio?
Infatti se A è un insieme finito, le bieezioni $A rarr A$ si chiamano anche le permutazioni di A. Se A è finito di cardinalità n, ogni applicazione iniettiva $A rarr A$ è una biiezione, e quindi ci sono n! applicazioni biettive di $A rarr A$. Quindi le permutazioni di un insieme di [size=150]cardinalità n[/size] sono n!.
Mi sbaglio?
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Non so se può interessare ma Kronecker ha detto che la cardinalità dell'insieme vuoto è 0, perchè questo insieme non contiene nessun elemento!
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