Completezza, coerenza e decidibilità della geometria
Mi chiedevo se la geometria euclidea, oppure anche altri tipi di geometrie, sono complete, coerenti e decidibili
Risposte
Sì, grazie, questo concetto l'avevo capito. La mia domanda di ora era più incentrata sulla possibilità di una geometria, considerando comunque i Teoremi di Goedel, in cui fossero accorpate tutti i tipi di geometria in modo da creare un sistema geometrico un po' più "universale" e completo. Comunque vi ringrazio molto per le vostre spiegazione e per la vostra attenzione alle mie domande e curiosità.
I primi assiomi, e gugo ha usato la parola giusta perché sono chiamati proprio di incidenza, sono alla base di ogni geometria, euclidea o non euclidea che sia. Ma il punto è che se uno vuole fare un fondamento rigoroso non può fare a meno della teoria degli insiemi, non si possono enunciare gli assiomi di Euclide senza il linguaggio insiemistico. Una volta che ti rendi conto che la teoria degli insiemi serve hai già perso... perché i naturali li puoi costruire all'interno di essa, e dunque scattano i teoremi di Goedel.
Dipende da quali aspetti vorresti considerare...
Già se vai a vedere le proprietà di incidenza, ad esempio, ti rendi conto che è impossibile far coesistere la geometria ellittica con quella iperbolica e quella euclidea. Infatti, mentre nella geometria euclidea è possibile tracciare un'unica parallela ad ogni assegnata retta parrante per un punto fuori di essa, nella geometria ellittica non è possibile tracciarne alcuna, mentre nella goemetria iperbolica se ne possono tracciare infinite.
Già se vai a vedere le proprietà di incidenza, ad esempio, ti rendi conto che è impossibile far coesistere la geometria ellittica con quella iperbolica e quella euclidea. Infatti, mentre nella geometria euclidea è possibile tracciare un'unica parallela ad ogni assegnata retta parrante per un punto fuori di essa, nella geometria ellittica non è possibile tracciarne alcuna, mentre nella goemetria iperbolica se ne possono tracciare infinite.
può esistere una geometria che raccolga in sè quella euclidea e quelle non euclidee, cioè un sistema geometrico che prenda in considerazione parte di tutti gli aspetti di ogni geometria?
"Il Pitagorico":
ma si potrebbe creare una geometria unica?
Che vuol dire?
ma si potrebbe creare una geometria unica?
Non conosco una fondazione assiomatica rigorosa della geometria che possa fare a meno della teoria degli insiemi, la stessa retta penso che debba essere definita come insieme dei suoi punti. Uno potrebbe anche pensare che punto e retta siano nozioni primitive, ma la relazione di appartenenza va data, e quindi ci si ritrova subito nella teoria degli insiemi. Una volta che uno è nella teoria degli insiemi, siccome la retta è fatta, in generale, da infiniti punti, deve poter trattare anche gli insiemi infiniti, e quindi i numeri naturali. Mi verrebbe quindi da dire che: no, tutta la matematica non può fare a meno dell'aritmetica.
ma la geometria non può fare a meno dell'aritmetica?
I teoremi di Goedel valgono per ogni teoria assiomatica dalla quale è possibile dedurre l'aritmetica di Peano, perché per la dimostrazione degli stessi teoremi bisogna usare le proprietà dei numeri naturali; dunque, siccome la geometria viene costruita sui numeri reali, e i reali sui naturali, anche per la geometria vale la stessa conclusione. Sul fatto che non possa esistere una geometria coerente io spero proprio che non sia vero! I teoremi di Goedel non dimostrano che non esiste una matematica coerente, dimostrano, tra le altre cose, che non è possibile dimostrare la coerenza, restando all'interno della matematica, ma questo non vuol affatto dire che non c'è coerenza. L'incompletezza e l'indecidibilità invece ci sono sicuramente, sempre per Goedel, se c'è coerenza.
Quindi non può esistere una geometria che sia completa, coerente e decidibile, così come la matematica, giusto?
quindi i Teoremi di incompletezza di Goedel prendono in considerazione anche la geometria?
La geometria è relativamente coerente, incompleta e indecidibile nella stessa misura in cui lo è l'intera matematica: la teoria a fondamento della matematica, quella degli insiemi, è anche a fondamento della geometria.
[xdom="giammaria"]Sposto in Generale[/xdom]
allora bisogna spostare l'argomento nei forum dedicati all'università
Il mio precedente intervento poneva l'accento sul fatto che questi non sono argomenti per la scuola superiore!
comunque sto studiando molto la logica e la filosofia perché mi appassionano tantissimo, quindi queste domande sono proprio dei chiodi fissi da quando ho conosciuto i concetti di completezza, coerenza e decidibilità
c'è scritto "Scervelliamoci un po'" 
,
poi io non faccio l'università quindi mi sembrava il luogo più adatto
,poi io non faccio l'università quindi mi sembrava il luogo più adatto
Ma ti pare questa la sezione adatta per toccare argomenti di logica novecentesca? 
Comunque, a mio ricordo la geometria iperbolica è coerente.
Comunque, a mio ricordo la geometria iperbolica è coerente.
Seconda domanda, complessa e forse insensata, ma si potrebbero unificare tutti i tipi di geometria in unico modello?
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