Combinazioni e Disposizioni con Ripetizioni vincolate

[david15]

E' la prima volta che scrivo in questo forum, anzi è anche la prima volta che leggo questo forum.

Sono un programmatore, non del tutto digiuno di matematica, ma sicuramente ben arruginito (biennio di Fisica una ventina d'anni fa).

Per motivi professionali ogni due settimane mi trovo ad aver a che fare con una nuova infornata di laureati (circa venti) in discipline ingegneristiche-scientifiche, tra questi in media almeno un paio sono laureati in matematica, e a questi, da febbraio, mi ostino a rivolgere, invano, una domanda che, come lettera morta, puntualmente rimane disattesa.

Mi lascia sconcertato, non tanto non ricevere una risposta, quanto l'impressione di parlare delle sfumature di colore del cielo a dei non vedenti dalla nascita !

Anche se la domanda è semplice, non pretendo che lo sia anche la risposta, tuttavia mi aspetterei da un buon conoscitore della materia, tale quale un neo-laureato dovrebbe essere, che sappia se e come quel problema, lo ripeto, semplice, è stato affrontato ed eventualmente risolto.

Non ho intenzione di far polemica sullo stato attuale dell'Università Italiana (per quanto penso traspaia come la penso in merito), e non vorrei sembrare arrogante, anzi mi accosto a questo forum con la speranza di trovare un po' di quell'effervescenza mentale che ho potuto verificare con mano sembra essere merce rara tra le nuove generazioni.

Prima e per descrivere meglio il problema in questione (che per me è nato da un'esigenza pratica, non accademica, di programmazione), ho bisogno di fare una piccola spero non tediosa premessa che sarà nota ai più.

Il numero di combinazioni semplici di N oggetti DISTINTI, presi K alla volta è N!/((N-K)!*K!)

Se oltre agli oggetti che compongono una k_upla, ci interessa anche il loro ordine, tale che due k_uple che contengano gli stessi oggetti, ma disposti in ordine diverso, siano considerate come differenti, allora si parla di disposizioni semplici ed il loro numero è N!/(N-K)!


Ad esempio se ho gli oggetti {A, B, C, D, E} allora ho 10 diverse combinazioni semplici di classe 3, e precisamente :

1) A, B, C
2) A, B, D
3) A, B, E
4) A, C, D
5) A, C, E
6) A, D, E
7) B, C, D
8) B, C, E
9) B, D, E
10) C, D, E

Ma che succede se gli oggetti di partenza NON sono tutti distinti ?

Supponiamo che nell'esempio precedente si effettuino le seguenti sostituzioni :

A := X
B := Y
C := X
D := X
E := Y

In tal modo usando lo stesso schema di sopra, le combinazioni classe 3 dei cinque oggetti {X, Y, X, X, Y} risultano essere :

1) X, Y, X
2) X, Y, X
3) X, Y, Y
4) X, X, X
5) X, X, Y
6) X, X, Y
7) Y, X, X
8) Y, X, Y
9) Y, X, Y
10) X, X, Y

A meno del diverso ordinamento abbiamo solo 3 diverse combinazioni :

X, X, Y [Compare 6 volte, nei casi 1) 2) 5) 6) 7) 10)]
X, Y, Y [Compare 3 volte, nei casi 3) 8) 9)]
X, X, X [Compare 1 volta, nel caso 4)]


Quando espongo questo problema spesso mi viene detto che si tratta di combinazioni con ripetizione (sic), ma non è proprio il caso, se non altro osservando che mentre in quest'ultime qualsiasi oggetto può essere ripetuto fino ad un massimo di K volte, nel problema da me descritto ciascun oggetto è vincolato ad un numero massimo di ripetizioni pari alla sua molteplicità, nel mio caso 2 per Y e 3 per X.

Lo stesso problema (N oggetti NON tutti distinti presi K alla volta) può essere applicato anche alle disposizioni semplici.

Si noti che il problema è stato risolto per le disposizioni di N oggetti NON tutti distinti presi N alla volta, ovvero per le permutazioni (o anagrammi) con ripetizione, per le quali il numero è uguale a N!/(m_1!*m_2!* ... m_i!) (considerando 1<=i<=N oggetti distinti, le cui molteplicità sono comprese tra N e 1 inclusi)

Qualcuno è in grado di darmi qualche suggerimento ?

Grazie

david

[Sk_Anonymous]

caro david
se questo ti può aiutare a non sentirti a disagio ti dirò che, se tu sei lontano vent'anni dagli studi universitari, io lo sono oramai da trenta[!!... ]. Riguardo al giudizio che deve essere dato dello stato attuale delle università italiane posso dirti non solo che tu ed io la pensiamo nello stesso modo ma come noi la pensa anche... l'ONU. Piaccia o no nell'ultima classifica delle cento migliori università del mondo non ve ne è una sola italiana [!!... ]. Che vuoi che ti dica... questo è il risultato della concezione mediovale delle 'baronie' e delle 'servitù' che ancora domina nelle nostre accademie!... Dal momento che piangere non serve e, nel limite del possibile s'intende, occorre darsi da fare per cercare almeno di far comprendere la cosa a chi è un poco duro di orecchi, ti raccomando di continuare a frequentare questo spazio e dare il tuo contributo...

cordiali saluti

lupo grigio