Collezioni che non sono insiemi

[Talete 14]

Ho letto gli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi ma non ho capito due cose:
1) Cosa differenzia gli insiemi dalle collezioni che non sono insiemi?
2) Perchè un insieme infinito deve per forza contenere l'insieme vuoto?
Grazie a chi vorrà rispondermi.

[Megan00b]

1) Una collezione che non è un insieme in realtà "non esiste" nel senso che nella teoria assioamtica degli insiemi tutto ciò di cui si parla sono insiemi. Infatti tutti gli assiomi sono del tipo: "Esiste un insieme blablabla" oppue "Esiste l'insieme che blablabla".
Quelle di cui parli sono delle intuizioni nostre che non possono essere considerate insiemi nella ZF pena creare un paradosso. Gli esempio classici sono l'insieme universale e l'insieme di Russell che intuitivamente chiamiamo insiemi ma che insiemi non sono. Cosa sono? Sono "estensioni di proprietà". Cioè se hai una proprietà $phi(x)$ puoi considerare la totalità degli elementi x tali che $phi(x)$. Ad esempio per la classe universale la proprietà è $phi(x)='x=x'$. Tuttavia se esistesse un insieme V tale che V sia l'estensione della proprietà $phi$, cioè $V={x|phi(x)}$ si verrebbe a creare un paradosso. In gergo si usa dire che certe classi (o collezioni) sono "troppo grandi" per essere insiemi. Questo in riferimento al seguente fatto storico:
poco prima della scrittura della ZF era "di moda" l'assioma di astrazione di Freege. Esso dice "Per ogni proprietà $phi$ esiste l'insieme estensione di $phi$". In realtà questo assioma è troppo forte è porta subito a contraddizioni perchè come hai visto anche formule molto "semplici" fanno disastri.
Venne allora rimpiazzato dall'assioma di comprensione o di separazione della ZF: "Per ogni proprietà $phi$ e ogni insieme A esiste l'insieme ${x in A| phi(x)}$. In altre parole non esiste l'estensione di ogni proprietà in senso assoluto ma solo in quanto sottoinsieme di un insieme che già esiste. In ancora altre parole, una volta fissati gli assiomi della teoria puoi costruire nuovi insiemi solo "ritagliandoli" da quelli che già hai.
2)Invece la proprietà $phi(x)='x!=x'$ ha un'estensione ben precisa (assicurata dal primo assioma della ZF) e si tratta dell'insieme vuoto.
Se pensi alla definizione di sottoinsieme:
$A sube B harr AAx (x in A rarr x in B)$ ogni elemento dell'insieme vuoto verifica questa proprietà per ogni insieme B. Dunque il vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.