Circa le cosiddette 'forme indeterminate'...
cari amici
in un'altra discussione aperta di recente, la quale era imperniata sul concetto di 'elevamento a potenza' e che ancora non ha certamente dato risposta esaudiente ai quesiti che avevo posto, mi è stata sollevata da taluno una obiezione un poco 'singolare' riguardo al valore numerico da attribuire all'espressione c=a^b quando a=b=0.
Tale 'obiezione' più o meno è stata la seguente: l'espressione 0^0 non ha un preciso valore ma deve intendersi come forma indeterminata. A rendere tale 'obiezione' decisamente poco chiara contribuiva poi il fatto che anche tra coloro che la sostenevano non vi era accordo su che cosa significasse tale termine in quanto vi sono state tre distinte posizioni:
a) una 'forma indeterminata' può assumere qualsiasi valore numerico
b) una 'forma indeterminata' può assumere solo alcuni valori numerici [nel caso presente c=0^0 varrebbe 0 oppure 1 a seconda delle circostanze]
c) una 'forma indeterminata' è una scrittura senza significato e pertanto non le può essere attribuito alcun valore numerico
Ora in contrasto con tutte e tre le presenti definizioni, e se vogliamo in maniera un poco 'provocatoria', vorrei invitare tutti voi a discutere sulla seguente ipotesi alternativa: le cosiddette forme indeterminate in realtà non esitono in quanto una qualsiasi funzione matematica monodroma o è inequivocabilmente definita, ossia le corrisponde uno e un solo ben specifico valore numerico, o è inconsistente, ossia non le corrisponde alcun valore numerico.
Qualcuno può portare un esempio che contraddica questa mia affermazione?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 21/11/2002 11:01:22
in un'altra discussione aperta di recente, la quale era imperniata sul concetto di 'elevamento a potenza' e che ancora non ha certamente dato risposta esaudiente ai quesiti che avevo posto, mi è stata sollevata da taluno una obiezione un poco 'singolare' riguardo al valore numerico da attribuire all'espressione c=a^b quando a=b=0.
Tale 'obiezione' più o meno è stata la seguente: l'espressione 0^0 non ha un preciso valore ma deve intendersi come forma indeterminata. A rendere tale 'obiezione' decisamente poco chiara contribuiva poi il fatto che anche tra coloro che la sostenevano non vi era accordo su che cosa significasse tale termine in quanto vi sono state tre distinte posizioni:
a) una 'forma indeterminata' può assumere qualsiasi valore numerico
b) una 'forma indeterminata' può assumere solo alcuni valori numerici [nel caso presente c=0^0 varrebbe 0 oppure 1 a seconda delle circostanze]
c) una 'forma indeterminata' è una scrittura senza significato e pertanto non le può essere attribuito alcun valore numerico
Ora in contrasto con tutte e tre le presenti definizioni, e se vogliamo in maniera un poco 'provocatoria', vorrei invitare tutti voi a discutere sulla seguente ipotesi alternativa: le cosiddette forme indeterminate in realtà non esitono in quanto una qualsiasi funzione matematica monodroma o è inequivocabilmente definita, ossia le corrisponde uno e un solo ben specifico valore numerico, o è inconsistente, ossia non le corrisponde alcun valore numerico.
Qualcuno può portare un esempio che contraddica questa mia affermazione?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 21/11/2002 11:01:22
Risposte
Caro lupo grigio, anch'io mi scuso per il tono assunto, non era e non è mia intenzione mancare di rispetto ad alcuno.
Riguardo l'uguaglianza 1/(0^0)= (0^0)^(-1) riporto testualmente quanto è scritto nel precedente messaggio.
"La proprietà relativa alla divisione, e in un mio messaggio precedente già ne avevo parlato, non è applicabile se attribuiamo a 0^0 il valore 0 per ovvi motivi (la divisione per zero non è ben definita) e quindi l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 si può sfruttare solo se già a priori si scarta la possibità del valore 0."
Se scrivi a priori 0^0 a denominatore, non c'è ombra di dubbio che escludi in partenza il valore 0, infatti, come già più volte ho detto, la divisione per zero non è ben definita.
Tant'è vero che se si deve risolvere un'equazione frazionaria, la prima cosa che si fa è quella di scartare proprio quei valori dell'incognita che annullano qualche denominatore.
L'espressione 1/(0^0) ha significato solo se si esclude a priori il valore 0, proprio per questo alla fine non lo ritroviamo, non certo a causa di una proprietà delle potenze.
Per maggiore chiarezza vorrei riportare il seguente paradosso:
a=1
a^2=1
a^2-1=0
(a-1)(a+1)=0
da cui, dividendo ambo i membri per a-1, si ottiene,
a+1=0, e quindi,
a=-1. Assurdo.
L'assurdo proviene proprio perchè in uno dei passaggi precedenti è stata eseguita un divisione per zero.
Quando c'è una divisione per zero, si rischia di arrivare a risultati falsi o contraddittori.
Pertanto se in partenza si scrive 0^0 a denominatore, ciò equivale a imporre che 0^0 non debba essere zero. Ma ciò non ha niente a che vedere con le proprietà delle potenze.
Ritornando al mio paradosso, è un po' come se qualcuno lo volesse utilizzare per dimostrare che la scomposizione a^2-1=(a+1)(a-1) non è valida. Chiaramente l'origine dell'assurdo è ben altra!
Angelo
Riguardo l'uguaglianza 1/(0^0)= (0^0)^(-1) riporto testualmente quanto è scritto nel precedente messaggio.
"La proprietà relativa alla divisione, e in un mio messaggio precedente già ne avevo parlato, non è applicabile se attribuiamo a 0^0 il valore 0 per ovvi motivi (la divisione per zero non è ben definita) e quindi l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 si può sfruttare solo se già a priori si scarta la possibità del valore 0."
Se scrivi a priori 0^0 a denominatore, non c'è ombra di dubbio che escludi in partenza il valore 0, infatti, come già più volte ho detto, la divisione per zero non è ben definita.
Tant'è vero che se si deve risolvere un'equazione frazionaria, la prima cosa che si fa è quella di scartare proprio quei valori dell'incognita che annullano qualche denominatore.
L'espressione 1/(0^0) ha significato solo se si esclude a priori il valore 0, proprio per questo alla fine non lo ritroviamo, non certo a causa di una proprietà delle potenze.
Per maggiore chiarezza vorrei riportare il seguente paradosso:
a=1
a^2=1
a^2-1=0
(a-1)(a+1)=0
da cui, dividendo ambo i membri per a-1, si ottiene,
a+1=0, e quindi,
a=-1. Assurdo.
L'assurdo proviene proprio perchè in uno dei passaggi precedenti è stata eseguita un divisione per zero.
Quando c'è una divisione per zero, si rischia di arrivare a risultati falsi o contraddittori.
Pertanto se in partenza si scrive 0^0 a denominatore, ciò equivale a imporre che 0^0 non debba essere zero. Ma ciò non ha niente a che vedere con le proprietà delle potenze.
Ritornando al mio paradosso, è un po' come se qualcuno lo volesse utilizzare per dimostrare che la scomposizione a^2-1=(a+1)(a-1) non è valida. Chiaramente l'origine dell'assurdo è ben altra!
Angelo
caro Angelo
in tutta onestà devo ammettere che la tua 'reprimenda' nei miei confronti è più che giustificata ed è dovuta ad un mio errore, dovuto al fatto che quando ho scritto il mio intervento era mattina presto e ancora non mi ero ben svegliato. L'errore, per il quale naturalmente mi scuso con te e con gli altri lettori dei forum, è quello sottolineato nella frase qui sotto riportata...
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
Correggendo l'errore nella maniera qui di seguito riportata tutto dovrebbe, almeno lo spero con tutto il cuore, tornare a posto...
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che 1/(0^0)= (0^0)^(-1)= 0^[0*(-1)]= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
Scusandomi ancora per lo spiacevolissimo malinteso, sono lieto di porgerti...
cordialissimi saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 10/12/2002 11:15:15
in tutta onestà devo ammettere che la tua 'reprimenda' nei miei confronti è più che giustificata ed è dovuta ad un mio errore, dovuto al fatto che quando ho scritto il mio intervento era mattina presto e ancora non mi ero ben svegliato. L'errore, per il quale naturalmente mi scuso con te e con gli altri lettori dei forum, è quello sottolineato nella frase qui sotto riportata...
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
Correggendo l'errore nella maniera qui di seguito riportata tutto dovrebbe, almeno lo spero con tutto il cuore, tornare a posto...
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che 1/(0^0)= (0^0)^(-1)= 0^[0*(-1)]= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
Scusandomi ancora per lo spiacevolissimo malinteso, sono lieto di porgerti...
cordialissimi saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 10/12/2002 11:15:15
Io penso che non sia corretto attribuire agli altri frasi modificate in modo da stravolgerne il significato. Io invece riporto testualmente la risposta di lupo grigio al mio primo intervento:
"caro Angelo,eccellente l'esempio da te fornito nella prima parte del tuo messaggio. In effetti se c=0^0, per le proprietà base delle potenze deve necessariamante essere c*c=c e questo è verificato solamente se c=1 [che io ritengo essere il valore 'esatto' di 0^0...]o se c=0 [che io ritengo invece il valore 'sbagliato' di 0^0...]. "
Peccato che lupo grigio oltre a modificare le frasi altrui in modo da cambiarne il significato, cambia egli stesso idea al punto che un eccellente esempio che ha il solo difetto di contenere il valore sbagliato 0, è adesso diventato una delle argomentazioni più incredili.
Ciò che ho detto sin dall'inizio e potete controllare se ho cambiato una sola parola è quanto segue.
"E' opportuno che ogni tentativo di dare significato numerico all'espressione 0^0 sia coerente con tutte le proprietà delle potenze e gli unici valori che non contraddicono alcuna proprietà sono 0 e 1. Inoltre è utile assumere ciascuno di questi due valori come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni (per es.: numero di tutte le funzioni definite in A a valori in B, probabilità che un evento si verifichi in una serie di prove ripetute). "
La proprietà relativa alla divisione, e in un mio messaggio precedente già ne avevo parlato, non è applicabile se attribuiamo a 0^0 il valore 0 per ovvi motivi (la divisione per zero non è ben definita) e quindi l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 si può sfruttare solo se già a priori si scarta la possibità del valore 0.
Ammesso e non concesso che sia lecito utilizzare l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^0, essa ci dice solo che c/c=c, da cui, solo se si suppone a priori c diverso da 0, si conclude che c=1.
Si può sapere da dove proviene il valore c=-1? Non mi pare che (-1)/(-1)=-1 o forse senza accorgermi mi sto arrampicando sugli specchi?
Oltretutto, l'esempio di tutte le funzioni definite in A e a valori in B chiarisce inequivocabilmente come sia utile assumere il valore 0 come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni, così come sia utile porre 0^0=1 affinchè lupo grigio non faccia brutte figure con i francesi.
Io non credo che questo significhi arrampicarsi sugli specchi, mi sono limitato a ribadire delle cose già dette, alcune delle quali lupo grigio era perfino d'accordo anche se adesso ha cambiato idea.
Se poi qualcuno pensa ancora che sia assurdo estendere il concetto di potenza in maniera che continuinio a valere tutte le proprietà delle potenze, ricordo che ogni definizione di potenza con esponente negativo o frazionario o reale o complesso è fatta in coerenza con tutte le proprietà delle potenze.
Ad esempio
1) 2^(-3)=1/8
2) 3^(1/2)=rad(3)
proprio perchè solo così continuino a valere tutte le proprietà delle potenze.
In matematica l'estensione dei concetti avviene proprio in maniera che si conservino le proprietà: la stessa definizione di moltiplicazione tra numeri complessi viene data in maniera più complicata rispetto al semplice prodotto delle componenti, non viene data cioè così,
(a,b)*(c,d)=(ac,bd),
proprio perchè in questo modo non varrebbe più la proprietà distrubuitiva di * rispetto a +, e cosa assurda, incomprensibile per taluni, si preferisce complicare la definizione di moltiplicazione piuttosto che cambiare le proprietà formali.
Riguardo le verità evidenti che quasi nessuno ormai mette in discussione, le cose sono due, o neanche lupo grigio ne è proprio convinto, oppure non avrà difficoltà a confrontarsi con un qualsiasi prof. universitario di algebra o di analisi matematica. Un confronto, credo che possa essergli molto utile e non solo su questo, ma anche sul concetto di limite, sull'utilizzo assurdo che ha fatto delle serie di Taylor per definire una funzione sulla frontiera del suo insieme di definizione. Se coloro che conoscono la matematica più di me e più di te ti daranno ragione, ammetterò io stesso di aver utilizzato argomentazioni incredili, assurde, viceversa, spero proprio che anche tu avrai la stessa correttezza intellettuale di ammettere i tuoi errori.
Angelo
Modificato da - angelo il 09/12/2002 17:12:55
"caro Angelo,eccellente l'esempio da te fornito nella prima parte del tuo messaggio. In effetti se c=0^0, per le proprietà base delle potenze deve necessariamante essere c*c=c e questo è verificato solamente se c=1 [che io ritengo essere il valore 'esatto' di 0^0...]o se c=0 [che io ritengo invece il valore 'sbagliato' di 0^0...]. "
Peccato che lupo grigio oltre a modificare le frasi altrui in modo da cambiarne il significato, cambia egli stesso idea al punto che un eccellente esempio che ha il solo difetto di contenere il valore sbagliato 0, è adesso diventato una delle argomentazioni più incredili.
Ciò che ho detto sin dall'inizio e potete controllare se ho cambiato una sola parola è quanto segue.
"E' opportuno che ogni tentativo di dare significato numerico all'espressione 0^0 sia coerente con tutte le proprietà delle potenze e gli unici valori che non contraddicono alcuna proprietà sono 0 e 1. Inoltre è utile assumere ciascuno di questi due valori come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni (per es.: numero di tutte le funzioni definite in A a valori in B, probabilità che un evento si verifichi in una serie di prove ripetute). "
La proprietà relativa alla divisione, e in un mio messaggio precedente già ne avevo parlato, non è applicabile se attribuiamo a 0^0 il valore 0 per ovvi motivi (la divisione per zero non è ben definita) e quindi l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 si può sfruttare solo se già a priori si scarta la possibità del valore 0.
Ammesso e non concesso che sia lecito utilizzare l'uguaglianza (0^0)/(0^0)= 0^0, essa ci dice solo che c/c=c, da cui, solo se si suppone a priori c diverso da 0, si conclude che c=1.
Si può sapere da dove proviene il valore c=-1? Non mi pare che (-1)/(-1)=-1 o forse senza accorgermi mi sto arrampicando sugli specchi?
Oltretutto, l'esempio di tutte le funzioni definite in A e a valori in B chiarisce inequivocabilmente come sia utile assumere il valore 0 come risultato di 0^0 affinchè alcune formule matematiche risultino valide senza eccezioni, così come sia utile porre 0^0=1 affinchè lupo grigio non faccia brutte figure con i francesi.
Io non credo che questo significhi arrampicarsi sugli specchi, mi sono limitato a ribadire delle cose già dette, alcune delle quali lupo grigio era perfino d'accordo anche se adesso ha cambiato idea.
Se poi qualcuno pensa ancora che sia assurdo estendere il concetto di potenza in maniera che continuinio a valere tutte le proprietà delle potenze, ricordo che ogni definizione di potenza con esponente negativo o frazionario o reale o complesso è fatta in coerenza con tutte le proprietà delle potenze.
Ad esempio
1) 2^(-3)=1/8
2) 3^(1/2)=rad(3)
proprio perchè solo così continuino a valere tutte le proprietà delle potenze.
In matematica l'estensione dei concetti avviene proprio in maniera che si conservino le proprietà: la stessa definizione di moltiplicazione tra numeri complessi viene data in maniera più complicata rispetto al semplice prodotto delle componenti, non viene data cioè così,
(a,b)*(c,d)=(ac,bd),
proprio perchè in questo modo non varrebbe più la proprietà distrubuitiva di * rispetto a +, e cosa assurda, incomprensibile per taluni, si preferisce complicare la definizione di moltiplicazione piuttosto che cambiare le proprietà formali.
Riguardo le verità evidenti che quasi nessuno ormai mette in discussione, le cose sono due, o neanche lupo grigio ne è proprio convinto, oppure non avrà difficoltà a confrontarsi con un qualsiasi prof. universitario di algebra o di analisi matematica. Un confronto, credo che possa essergli molto utile e non solo su questo, ma anche sul concetto di limite, sull'utilizzo assurdo che ha fatto delle serie di Taylor per definire una funzione sulla frontiera del suo insieme di definizione. Se coloro che conoscono la matematica più di me e più di te ti daranno ragione, ammetterò io stesso di aver utilizzato argomentazioni incredili, assurde, viceversa, spero proprio che anche tu avrai la stessa correttezza intellettuale di ammettere i tuoi errori.
Angelo
Modificato da - angelo il 09/12/2002 17:12:55
caro Lorenzo
non immagini la mia soddisfazione quando, dopo alcuni giorni passati lontano da questo forum, ho incontrato un giovane e promettente collega ingegnere [o prossimo a diventarlo] e sono felicissimo di fare la tua conoscenza.
Venendo subito alla questione cruciale da te posta: [… mentre si può tentare di evitare [risolvere] una forma indeterminata in una funzione qualunque come la sinc (*), come possiamo evitare tale forma in un'espressione che e' per definizione proprio una di queste forme indeterminate [cioe' quello che noi vogliamo evitare] come e' 0^0?…], è necessario, prima di dare la risposta, una piccola premessa. Non ho difficoltà ad ammettere che ho aperto questa discussione con il chiaro scopo, in verità un tantino ‘provocatorio’ ma spesso la ‘provocazione’ è utilissima nelle discussioni, di ‘dichiarar guerra’ a quelle che usualmente vengono chiamate ‘forme indeterminate’ . Perché mi dirai tu?… Il perché sarà chiaro dopo che avrò raccontato un fatto personalmente accadutomi che, guarda caso, coinvolge proprio la ‘forma incriminata’ 0^0.
Era accaduto che un programma che avevo creato per simulare una soluzione algoritmica per il sistema di telefonia cellulare GSM [andiamo indietro di quindici anni ed allora il GSM, oggi di diffusione planetaria si può dire, era ancora in fase di sviluppo prototipale] era stato più volte collaudato e si era sempre dimostrato ‘ok’ e pertanto in esso riponevo la più completa fiducia… finchè un bel giorno, proprio quando ho dovuto usarlo per dimostrare a dei ‘colleghi’ francesi la validità della mia soluzione rispetto alla loro, è successo che, caricando certi dati di ingresso che non avevo mai testato in precedenza, ha fornito risultati del tutto assurdi che mi hanno messo in serio imbarazzo con i miei interlocutori. Infuriato per la brutta figura fatta proprio con i francesi [che non ho mai potuto soffrire in vita mia] sono andato a cercare il ‘baco’ e alla fine [dopo più di una settimana!…] l’ho trovato ed era semplicemente da non credere. Ad un cero punto del programma vi era una istruzione del tipo ‘c=a**b’ che avevo messo lì senza verificare che non fosse per caso a=b =0 e, guardandola mi è venuto un terribile sospetto e mi sono detto : vuoi vedere che!?… Ho quindi battuto sulla tastiera del computer 0^0 e… incredibile ma vero… mi è comparso 0!… Inutile dire che sono subito andato a modificare quella istruzione in modo che all’occorrenza di a=b=0 desse come risultato 1 e il programma così modificato ha fornito i risultati aspettati che confermavano in l’esattezza delle mie affermazioni. La cosa però non doveva finire lì ed è stato così che ho contattato il rappresentante della Hewlett Packard [la casa costruttrice di quel computer] chiedendo spiegazione per quell’evidente ‘baco’ e lui, alquanto perplesso all’inizio, dopo aver sentito i ‘tecnici’ della casa madre, mi ha comunicato che in effetti di tale ‘baco’ si era a conoscenza e di lì a poco avrebbero fornito agli utenti che ne avessero fatto richiesta una versione ‘corretta’ del sistema operativo per cui battendo sulla tastiera 0^0 saltasse fuori 1…
Qual è la ‘morale’ di questa bella storiella caro Lorenzo?… la morale è molto semplice, ed è che anche nei campi della matematica più consolidati si deve combattere contro atavici pregiudizi, duri a morire più di quelli delle streghe!… cosa ci vuole ad ammettere una cosa del tutto evidente, e cioè che vi è uno e un solo numero c=a^b per qualunque valori di a e b non negativi e che, per a=b=0, c=1?…
Per controbattere questa evidente verità [se vuoi, caro Lorenzo, puoi divertirti a verificare che se sulla calcolatrice di Window batti 0^0 ti compare il numero 1] qualcuno ha cercato le argomentazioni più incredibili come la seguente:
… dal momento che devono valere le proprietà formali dell’elevamento a potenza allora posso scrivere (0^0)*(0^0)= 0^0 e pertanto è c*c=c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c*c=c sono 0 o 1, se ne deduce che 0^0 può valere sia 0 sia 1, come più ci fa comodo a seconda dei casi…
Evidentemente deve aver pensato qualcosa del genere anche quel tecnico dalla H.P. che aveva combinato quel bel pasticcio narrato prima. Ammesso [e non concesso] che possa valere il ragionamento esposto qua sopra, non è difficile tuttavia ‘smentirlo’ in questo modo:
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
A questo punto, caro Lorenzo, uno potrebbe pensare che… beh ce che altro vogliono?… e invece vedrai che adesso si arrampicheranno su chi sa quali specchi pur di non ammettere quello che da tempo nessuno [o quasi] mette più in discussione…ehhhhhh!!!…
cordialissimi saluti Lorenzo!…
lupo grigio
non immagini la mia soddisfazione quando, dopo alcuni giorni passati lontano da questo forum, ho incontrato un giovane e promettente collega ingegnere [o prossimo a diventarlo] e sono felicissimo di fare la tua conoscenza.
Venendo subito alla questione cruciale da te posta: [… mentre si può tentare di evitare [risolvere] una forma indeterminata in una funzione qualunque come la sinc (*), come possiamo evitare tale forma in un'espressione che e' per definizione proprio una di queste forme indeterminate [cioe' quello che noi vogliamo evitare] come e' 0^0?…], è necessario, prima di dare la risposta, una piccola premessa. Non ho difficoltà ad ammettere che ho aperto questa discussione con il chiaro scopo, in verità un tantino ‘provocatorio’ ma spesso la ‘provocazione’ è utilissima nelle discussioni, di ‘dichiarar guerra’ a quelle che usualmente vengono chiamate ‘forme indeterminate’ . Perché mi dirai tu?… Il perché sarà chiaro dopo che avrò raccontato un fatto personalmente accadutomi che, guarda caso, coinvolge proprio la ‘forma incriminata’ 0^0.
Era accaduto che un programma che avevo creato per simulare una soluzione algoritmica per il sistema di telefonia cellulare GSM [andiamo indietro di quindici anni ed allora il GSM, oggi di diffusione planetaria si può dire, era ancora in fase di sviluppo prototipale] era stato più volte collaudato e si era sempre dimostrato ‘ok’ e pertanto in esso riponevo la più completa fiducia… finchè un bel giorno, proprio quando ho dovuto usarlo per dimostrare a dei ‘colleghi’ francesi la validità della mia soluzione rispetto alla loro, è successo che, caricando certi dati di ingresso che non avevo mai testato in precedenza, ha fornito risultati del tutto assurdi che mi hanno messo in serio imbarazzo con i miei interlocutori. Infuriato per la brutta figura fatta proprio con i francesi [che non ho mai potuto soffrire in vita mia] sono andato a cercare il ‘baco’ e alla fine [dopo più di una settimana!…] l’ho trovato ed era semplicemente da non credere. Ad un cero punto del programma vi era una istruzione del tipo ‘c=a**b’ che avevo messo lì senza verificare che non fosse per caso a=b =0 e, guardandola mi è venuto un terribile sospetto e mi sono detto : vuoi vedere che!?… Ho quindi battuto sulla tastiera del computer 0^0 e… incredibile ma vero… mi è comparso 0!… Inutile dire che sono subito andato a modificare quella istruzione in modo che all’occorrenza di a=b=0 desse come risultato 1 e il programma così modificato ha fornito i risultati aspettati che confermavano in l’esattezza delle mie affermazioni. La cosa però non doveva finire lì ed è stato così che ho contattato il rappresentante della Hewlett Packard [la casa costruttrice di quel computer] chiedendo spiegazione per quell’evidente ‘baco’ e lui, alquanto perplesso all’inizio, dopo aver sentito i ‘tecnici’ della casa madre, mi ha comunicato che in effetti di tale ‘baco’ si era a conoscenza e di lì a poco avrebbero fornito agli utenti che ne avessero fatto richiesta una versione ‘corretta’ del sistema operativo per cui battendo sulla tastiera 0^0 saltasse fuori 1…
Qual è la ‘morale’ di questa bella storiella caro Lorenzo?… la morale è molto semplice, ed è che anche nei campi della matematica più consolidati si deve combattere contro atavici pregiudizi, duri a morire più di quelli delle streghe!… cosa ci vuole ad ammettere una cosa del tutto evidente, e cioè che vi è uno e un solo numero c=a^b per qualunque valori di a e b non negativi e che, per a=b=0, c=1?…
Per controbattere questa evidente verità [se vuoi, caro Lorenzo, puoi divertirti a verificare che se sulla calcolatrice di Window batti 0^0 ti compare il numero 1] qualcuno ha cercato le argomentazioni più incredibili come la seguente:
… dal momento che devono valere le proprietà formali dell’elevamento a potenza allora posso scrivere (0^0)*(0^0)= 0^0 e pertanto è c*c=c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c*c=c sono 0 o 1, se ne deduce che 0^0 può valere sia 0 sia 1, come più ci fa comodo a seconda dei casi…
Evidentemente deve aver pensato qualcosa del genere anche quel tecnico dalla H.P. che aveva combinato quel bel pasticcio narrato prima. Ammesso [e non concesso] che possa valere il ragionamento esposto qua sopra, non è difficile tuttavia ‘smentirlo’ in questo modo:
… dal momento che devono valere tutte le proprietà formali dell’elevamento a potenza io posso scrivere che (0^0)/(0^0)= 0^(0-0)= 0^0 e pertanto è c=1/c. Dal momento che i soli valori di c per cui è c=1/c sono 1 oppure –1, in unione con l’altra condizione per cui deve essere c*c=c, che è possibile solo per c uguale a 0 oppure 1, si deduce necessariamente che il solo valore di c=0^0 che soddisfa entrambe le proprietà formali ricordate è c=1…
A questo punto, caro Lorenzo, uno potrebbe pensare che… beh ce che altro vogliono?… e invece vedrai che adesso si arrampicheranno su chi sa quali specchi pur di non ammettere quello che da tempo nessuno [o quasi] mette più in discussione…ehhhhhh!!!…
cordialissimi saluti Lorenzo!…
lupo grigio
Penso che tu abbia ragione Marcellus.
Forti del fatto che dal punto di vista fisico (pratico) il valore che una funzione ,che in questo caso ci indentifica un segnale, assume in un determinato punto e' irrilevante non esistendo apparecchiature che ci permettano di campionarlo in un istante di tempo esatto cioe' con infinite cifre decimali, definiamo nel caso della sinc(t) una funzione dal punto di vista pratico equivalente e cioè:
( sinc(t) t<>0
( 1 t=0
ma dal punto di vista teorico/matematico diversa dall'originale per l'estensione del dominio di definizione (di un punto, lo 0).
In questo modo si salva la pagnotta di lupo grigio e il rigore matematico
Penso si possa fare la stessa cosa con 0^0 se ci sia più comodo trattarlo come 1 in una particolare applicazione pratica, tuttavia formalmente l'espressione rimane indeterminata.
Saluti,
L.
Forti del fatto che dal punto di vista fisico (pratico) il valore che una funzione ,che in questo caso ci indentifica un segnale, assume in un determinato punto e' irrilevante non esistendo apparecchiature che ci permettano di campionarlo in un istante di tempo esatto cioe' con infinite cifre decimali, definiamo nel caso della sinc(t) una funzione dal punto di vista pratico equivalente e cioè:
( sinc(t) t<>0
( 1 t=0
ma dal punto di vista teorico/matematico diversa dall'originale per l'estensione del dominio di definizione (di un punto, lo 0).
In questo modo si salva la pagnotta di lupo grigio e il rigore matematico
Penso si possa fare la stessa cosa con 0^0 se ci sia più comodo trattarlo come 1 in una particolare applicazione pratica, tuttavia formalmente l'espressione rimane indeterminata.
Saluti,
L.
Carissimi,
>l'esempio che tu hai fatto della sinc e'uno dei tanti esempi di >risoluzione di una forma indeterminata
Forse alla fine è solo una questione di approccio. L'affermazione che ho riportato fatta da Lorenzo mi ha colpito perchè forse è la soluzione di tutte le incomprensioni.
Forse un atteggiamento ingenieristico (Lorenzo e Lupo grigio sono ingenieri?) porta a trattare le forme indederminate come anomalie che "vanno risolte" e quindi escogitano delle strategie per estendere il valore di talune funzioni nei punti critici.
Con un approccio di tipo più matematico invece non ha senso questa cosa. Non esistono "risoluzioni di forme indeterminate". Le forme indeterminate sono lì e vengono trattate per quello che sono.
Cercando di semplificare trattando solo funzioni molto molto semplici, propongo il caso:
f(x)=1 per x<>0
Se non ho capito male Lupo grigio e Lorenzo tendono a affermare che in questo caso si avrebbe f(0)=1 mentre io e Angelo [in qualche modo più formali, ma questo non è un giudizio "etico",ovviamente] affermiamo che f() non è definita in 0 e non ha nemmeno senso "definirla" forzatamente.
Cosa ne dite?
Ciao, Marc.
P.S.
In questo caso la Taylor associata a f(x) [diciamo partendo da x=1] è T=1.
Io e Angelo affermiamo : "ecco un caso in cui la Taylor differisce dalla sua f"
Lupo Grigio e Lorenzo invece : "Ecco eliminata la stanezza, f(0)=1"
Spero che nessuno si offenda se ho attribuito pensieri ad altri, in ogni caso, scusatemi per questa "inammisibile" operazione.
Modificato da - marcellus zebra il 06/12/2002 10:14:13
Modificato da - marcellus zebra il 06/12/2002 10:15:10
>l'esempio che tu hai fatto della sinc e'uno dei tanti esempi di >risoluzione di una forma indeterminata
Forse alla fine è solo una questione di approccio. L'affermazione che ho riportato fatta da Lorenzo mi ha colpito perchè forse è la soluzione di tutte le incomprensioni.
Forse un atteggiamento ingenieristico (Lorenzo e Lupo grigio sono ingenieri?) porta a trattare le forme indederminate come anomalie che "vanno risolte" e quindi escogitano delle strategie per estendere il valore di talune funzioni nei punti critici.
Con un approccio di tipo più matematico invece non ha senso questa cosa. Non esistono "risoluzioni di forme indeterminate". Le forme indeterminate sono lì e vengono trattate per quello che sono.
Cercando di semplificare trattando solo funzioni molto molto semplici, propongo il caso:
f(x)=1 per x<>0
Se non ho capito male Lupo grigio e Lorenzo tendono a affermare che in questo caso si avrebbe f(0)=1 mentre io e Angelo [in qualche modo più formali, ma questo non è un giudizio "etico",ovviamente
] affermiamo che f() non è definita in 0 e non ha nemmeno senso "definirla" forzatamente.Cosa ne dite?
Ciao, Marc.
P.S.
In questo caso la Taylor associata a f(x) [diciamo partendo da x=1] è T=1.
Io e Angelo affermiamo : "ecco un caso in cui la Taylor differisce dalla sua f"
Lupo Grigio e Lorenzo invece : "Ecco eliminata la stanezza, f(0)=1"
Spero che nessuno si offenda se ho attribuito pensieri ad altri, in ogni caso, scusatemi per questa "inammisibile" operazione.
Modificato da - marcellus zebra il 06/12/2002 10:14:13
Modificato da - marcellus zebra il 06/12/2002 10:15:10
Ciao Lupo grigio,
per quanto ne so' io, l'esempio che tu hai fatto della sinc e'uno dei tanti esempi di risoluzione di una forma indeterminata
lim(t->oo) sin(t)/t=1 come giustamente hai dimostrato tu con Fourier, come si puo' dimostrare mediante il teorema "dei carabinieri", e come si puo' intuire sapendo che l'andamento di sin(t) approssima la bisettrice nell'intorno di 0 (secondo Taylor).
Tuttavia mentre si puo' tentare di evitare (risolvere) una forma indeterminata in una funzione qualunque come la sinc, come possiamo evitare tale forma in un'espressione che e' per definizione proprio una di queste forme indeterminate (cioe' quello che noi vogliamo evitare) come e' 0^0 ?
Cordiali saluti da un futuro collega (speriamo!)
L.
per quanto ne so' io, l'esempio che tu hai fatto della sinc e'uno dei tanti esempi di risoluzione di una forma indeterminata
lim(t->oo) sin(t)/t=1 come giustamente hai dimostrato tu con Fourier, come si puo' dimostrare mediante il teorema "dei carabinieri", e come si puo' intuire sapendo che l'andamento di sin(t) approssima la bisettrice nell'intorno di 0 (secondo Taylor).
Tuttavia mentre si puo' tentare di evitare (risolvere) una forma indeterminata in una funzione qualunque come la sinc, come possiamo evitare tale forma in un'espressione che e' per definizione proprio una di queste forme indeterminate (cioe' quello che noi vogliamo evitare) come e' 0^0 ?
Cordiali saluti da un futuro collega (speriamo!)
L.
cari amici
uno dei motivi, se non il più importante, per i quali ho aperto questo spazio di discussione riguarda una funzione che per chi come me lavora nel campo delle comunicazioni ha una particolare importanza. Si tratta della funzione sinc(*) definita [nei libri] usualmente come:
f(t)= sinc(t)= sin t/t -00
Naturalmente anche per questa funzione si pone il problema del valore da essa assunto per t=0 in quanto l’applicazione pura e semplice della definizione posta in [1] porterebbe alla ‘forma indeterminata’ 0/0 e a tutte le difficoltà formali che, come abbiamo avuto modo ampiamente di vedere, sono fatalmente legate a questo modo di impostare le cose. Viceversa alcune applicazioni di varie discipline scientifiche richiedono necessariamente che la funzione sinc(t) sia univocamente definita per ogni valore di t, come si può vedere dall’esempio che segue, nel quale ho indicato con ‘I [a
Supponiamo di avere una funzione f(t) della variabile t definita nell’intervallo –00trasformata di Fourier di f(t) e si indica con F(w) , se esiste, l’integrale:
F(w) = I [-00
dove con j si è indicata la cosidetta ‚unità immaginaria, ossia j= (-1)^1/2 [mi si vorrà perdonare spero il fatto che io segua la convenzione degli ingegneri ed non indichi con ‘i’ tale numero].
La funzione f(t) si dice di banda wo se per la sua trasformata di Fourier F(w) vale la relazione
|F(w)| = 0 per |w| >= wo [3]
Per questa classe di funzioni vale un importantissimo teorema, dovuto a Nyquist: una funzione f(t) –00 < t < +00 di banda wo è univocamente determinata se sono noti i valori che essa assume per ogni t= n T con n intero -00 < n < +00 e T= pi/wo ed è
f(t) = S [-00 < n < +00] f(nT) sinc [wo*(t-nT)] [4]
Per capire l’importanza applicativa di questo treorema basterà dire che su di esso si basano la moderne tecniche di trasmissione digitali. Ovviamente perché la [4] abbia senso occorre necessariamente che la funzione sinc(t) sia definita per qualunque valore di t, compreso il valore t=0.
Per ovviare alla ‘forma indeterminata’ espressa dalla definizione [1] per t=0 si può procedere come fatto in precedenza attraverso lo sviluppo in serie di Taylor. Considerato lo svipluppo:
sin t = t - t^3/3! + t^5/5! - t^7/7! + … + (-1)^(2n-1)* t^(2n-1)/(2n-1)!+… [5]
si ottiene facilmente per la funzione sinc(t) lo sviluppo:
sinc(t)=sin t/t = 1 – t^2*/3! + t^4/5! – t^6/7! + … + (-1)^(2n-1) * t^2n/(2n-1)! [6]
Come la serie [5] anche la serie [6] si dimostra facilmente essere convergente per ogni valore di t ed in partivcolare per t=0 dove è:
sinc(0)=1 [7]
Così di un’altra ‘forma indeterminata’ è stata dimostrata la inconsistenza… o almeno credo. Però ragazzi attenzione!… Questa volta non è come nel caso 0^0, dalla validità della [7] dipende la mia pagnotta!…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 05/12/2002 17:32:38
Modificato da - lupo grigio il 09/12/2002 10:29:31
uno dei motivi, se non il più importante, per i quali ho aperto questo spazio di discussione riguarda una funzione che per chi come me lavora nel campo delle comunicazioni ha una particolare importanza. Si tratta della funzione sinc(*) definita [nei libri] usualmente come:
f(t)= sinc(t)= sin t/t -00
Naturalmente anche per questa funzione si pone il problema del valore da essa assunto per t=0 in quanto l’applicazione pura e semplice della definizione posta in [1] porterebbe alla ‘forma indeterminata’ 0/0 e a tutte le difficoltà formali che, come abbiamo avuto modo ampiamente di vedere, sono fatalmente legate a questo modo di impostare le cose. Viceversa alcune applicazioni di varie discipline scientifiche richiedono necessariamente che la funzione sinc(t) sia univocamente definita per ogni valore di t, come si può vedere dall’esempio che segue, nel quale ho indicato con ‘I [a
Supponiamo di avere una funzione f(t) della variabile t definita nell’intervallo –00
F(w) = I [-00
dove con j si è indicata la cosidetta ‚unità immaginaria, ossia j= (-1)^1/2 [mi si vorrà perdonare spero il fatto che io segua la convenzione degli ingegneri ed non indichi con ‘i’ tale numero].
La funzione f(t) si dice di banda wo se per la sua trasformata di Fourier F(w) vale la relazione
|F(w)| = 0 per |w| >= wo [3]
Per questa classe di funzioni vale un importantissimo teorema, dovuto a Nyquist: una funzione f(t) –00 < t < +00 di banda wo è univocamente determinata se sono noti i valori che essa assume per ogni t= n T con n intero -00 < n < +00 e T= pi/wo ed è
f(t) = S [-00 < n < +00] f(nT) sinc [wo*(t-nT)] [4]
Per capire l’importanza applicativa di questo treorema basterà dire che su di esso si basano la moderne tecniche di trasmissione digitali. Ovviamente perché la [4] abbia senso occorre necessariamente che la funzione sinc(t) sia definita per qualunque valore di t, compreso il valore t=0.
Per ovviare alla ‘forma indeterminata’ espressa dalla definizione [1] per t=0 si può procedere come fatto in precedenza attraverso lo sviluppo in serie di Taylor. Considerato lo svipluppo:
sin t = t - t^3/3! + t^5/5! - t^7/7! + … + (-1)^(2n-1)* t^(2n-1)/(2n-1)!+… [5]
si ottiene facilmente per la funzione sinc(t) lo sviluppo:
sinc(t)=sin t/t = 1 – t^2*/3! + t^4/5! – t^6/7! + … + (-1)^(2n-1) * t^2n/(2n-1)! [6]
Come la serie [5] anche la serie [6] si dimostra facilmente essere convergente per ogni valore di t ed in partivcolare per t=0 dove è:
sinc(0)=1 [7]
Così di un’altra ‘forma indeterminata’ è stata dimostrata la inconsistenza… o almeno credo. Però ragazzi attenzione!… Questa volta non è come nel caso 0^0, dalla validità della [7] dipende la mia pagnotta!…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 05/12/2002 17:32:38
Modificato da - lupo grigio il 09/12/2002 10:29:31
Caro Angelo,
io ho deciso di abbandonare questa discussione poichè mi pare un po' vuota ma, pur essendo certo che non hai bisogno di conferme, vorrei che sapessi che ti appoggio per il rigore, la chiarezza, la tenacia [e la giustezza!] delle tue argomentazioni.
Ciao, Marc.
io ho deciso di abbandonare questa discussione poichè mi pare un po' vuota ma, pur essendo certo che non hai bisogno di conferme, vorrei che sapessi che ti appoggio per il rigore, la chiarezza, la tenacia [e la giustezza!] delle tue argomentazioni.
Ciao, Marc.
Ho dimostrato il seguente teorema riguardo lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione reale a due variabili reali.
Se f(x,y):A -> R con A aperto non vuoto di R2,se f è di classe C(infinito) in A, se Po(xo,yo)appartiene ad A, se P(x1,y1)appartiene alla frontiera di A, se il segmento PoP escluso P è contenuto in A, se f(x,y) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale (xo,yo) e se la serie di Taylor di punto iniziale (xo,yo) e punto finale (x1,y1) converge, allora la sua somma coincide con limite di f(x,y) per (x,y)-->(x1,y1) lungo la restrizione determinata dal segmento PoP.
Alla luce di questo teorema, quando lupo grigio dimostra che la serie:
f(x,y)= y*lnx= f(x,y)=y*lnx= h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [1]
,nella quale è h=x-1 e k=y-1,
converge per h=k=-1, non prova affatto che f(0,0)=0, ma solo che il limite di f(x,y) per (x,y)-->(0,0) lungo la restrizione data dal segmento di estremi (0,0) e (1,1) vale 0.
In altre parole con lo sviluppo in serie di taylor, lupo grigio, ha solo provato che:
lim y*ln(x)=0 per (x,y)-->(0,0) con la condizione y=x.
Angelo
Modificato da - angelo il 03/12/2002 11:30:00
Se f(x,y):A -> R con A aperto non vuoto di R2,se f è di classe C(infinito) in A, se Po(xo,yo)appartiene ad A, se P(x1,y1)appartiene alla frontiera di A, se il segmento PoP escluso P è contenuto in A, se f(x,y) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale (xo,yo) e se la serie di Taylor di punto iniziale (xo,yo) e punto finale (x1,y1) converge, allora la sua somma coincide con limite di f(x,y) per (x,y)-->(x1,y1) lungo la restrizione determinata dal segmento PoP.
Alla luce di questo teorema, quando lupo grigio dimostra che la serie:
f(x,y)= y*lnx= f(x,y)=y*lnx= h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [1]
,nella quale è h=x-1 e k=y-1,
converge per h=k=-1, non prova affatto che f(0,0)=0, ma solo che il limite di f(x,y) per (x,y)-->(0,0) lungo la restrizione data dal segmento di estremi (0,0) e (1,1) vale 0.
In altre parole con lo sviluppo in serie di taylor, lupo grigio, ha solo provato che:
lim y*ln(x)=0 per (x,y)-->(0,0) con la condizione y=x.
Angelo
Modificato da - angelo il 03/12/2002 11:30:00
Ho letto il sito indicato nell'ultimo post e faccio le seguenti osservazioni:
1) nelle pagine del sito con D si indica non un insieme aperto, ma un qualsiasi sottoinsieme di R2;
2) la definizione data di limite è decisamente informale;
3) a pag.10 non si dice che (xo,yo) debba essere interno a D, ma si dice che (xo,yo) appartenga a D e quindi potrebbe essere un punto della sua frontiera;
4) a pag.11 c'è scritto che se (x,y) tende a (xo,yo) "dentro" D ma mai lo raggiunge, allora f(x,y) tende a L;
5) nell'affermazione di pag.12 è sottointeso cò che è detto nella definizione informale e cioè che (x,y) tende a (xo,yo) "dentro" D.
Pertanto il punto (xo,yo) può benissimo essere un punto di frontiera, in quanto anche in questo caso (x,y) può tendere a (xo,yo) "dentro D" in ogni direzione ed in ogni modo (è sottointesa la condizione che (x,y) non esca da D).
Anche prendendo alla lettera quanto scritto nelle pagine del sito, non si arriva alla conclusione che non ha senso porsi il problema del limite per i punti di frontiera.
Inoltre è doveroso dire che il contenuto del sito è davvero superficiale e gli argomenti sono trattati in modo semplicistico ed informale: probabilmente il sito si rivolge a persone inesperte che sono al primo approccio con argomenti di analisi matematica.
Io trovato le seguenti imperfezioni nelle pagine che ho letto:
1) piuttosto che dire che (xo,yo) sia un punto di accumulazione per D (unica cosa veramente importante) si dice che (xo,yo) appartiene a D;
2) è appena accennato che (x,y) si debba avvicinare a (xo,yo) in modo che rimanga punto di D;
3) non è data alcuna definizione formale che chiarisca il vero significato delle parole scritte a pagina 12 (parole che sono state fraintese).
Voglio dare una definizione formale di limite per una funzione reale f(x,y) definita in un sottoinsieme D di R2.
Se (xo,yo) è un punto di accumulazione di D, si dice che il limite della funzione f(x,y) per (x,y)-->(xo,yo) è L se:
per ogni epslon>0 esiste delta>0 tale che per ogni (x,y) appartenente a D-{(xo,yo)} con dist((x,y),(xo,yo))
Secondo lupo grigio non avrebbe senso calcolare
lim sen( rad(1-x^2-y^2) ) / rad(1-x^2-y^2) per (x,y)-->(1,0).
In realtà invece tale limite esiste e vale 1.
Io credo che invece di consultare materiale semplicistico, occorrerebbe prendere un libro di analisi matematica e controllare se la definizione da me data e il mio modo di intendere il limite sia adeguato o meno. Se qualcuno dovesse trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica le mie affermazioni, ne ridiscutiamo.
Angelo
1) nelle pagine del sito con D si indica non un insieme aperto, ma un qualsiasi sottoinsieme di R2;
2) la definizione data di limite è decisamente informale;
3) a pag.10 non si dice che (xo,yo) debba essere interno a D, ma si dice che (xo,yo) appartenga a D e quindi potrebbe essere un punto della sua frontiera;
4) a pag.11 c'è scritto che se (x,y) tende a (xo,yo) "dentro" D ma mai lo raggiunge, allora f(x,y) tende a L;
5) nell'affermazione di pag.12 è sottointeso cò che è detto nella definizione informale e cioè che (x,y) tende a (xo,yo) "dentro" D.
Pertanto il punto (xo,yo) può benissimo essere un punto di frontiera, in quanto anche in questo caso (x,y) può tendere a (xo,yo) "dentro D" in ogni direzione ed in ogni modo (è sottointesa la condizione che (x,y) non esca da D).
Anche prendendo alla lettera quanto scritto nelle pagine del sito, non si arriva alla conclusione che non ha senso porsi il problema del limite per i punti di frontiera.
Inoltre è doveroso dire che il contenuto del sito è davvero superficiale e gli argomenti sono trattati in modo semplicistico ed informale: probabilmente il sito si rivolge a persone inesperte che sono al primo approccio con argomenti di analisi matematica.
Io trovato le seguenti imperfezioni nelle pagine che ho letto:
1) piuttosto che dire che (xo,yo) sia un punto di accumulazione per D (unica cosa veramente importante) si dice che (xo,yo) appartiene a D;
2) è appena accennato che (x,y) si debba avvicinare a (xo,yo) in modo che rimanga punto di D;
3) non è data alcuna definizione formale che chiarisca il vero significato delle parole scritte a pagina 12 (parole che sono state fraintese).
Voglio dare una definizione formale di limite per una funzione reale f(x,y) definita in un sottoinsieme D di R2.
Se (xo,yo) è un punto di accumulazione di D, si dice che il limite della funzione f(x,y) per (x,y)-->(xo,yo) è L se:
per ogni epslon>0 esiste delta>0 tale che per ogni (x,y) appartenente a D-{(xo,yo)} con dist((x,y),(xo,yo))
Secondo lupo grigio non avrebbe senso calcolare
lim sen( rad(1-x^2-y^2) ) / rad(1-x^2-y^2) per (x,y)-->(1,0).
In realtà invece tale limite esiste e vale 1.
Io credo che invece di consultare materiale semplicistico, occorrerebbe prendere un libro di analisi matematica e controllare se la definizione da me data e il mio modo di intendere il limite sia adeguato o meno. Se qualcuno dovesse trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica le mie affermazioni, ne ridiscutiamo.
Angelo
originally posted by Angelo:
...il problema del calcolo del limite si propone anche per tutti i punti di frontiera di A. Invito chiunque a trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica questa mia affermazione...
caro Angelo
una trattazione semplice e corretta del problema della determinaqzione dei limiti di una fuznione di due variabili la puoi trovare in http://www.math.nus.edu.sg/~matlhy/trans5.pdf alle pagine 10,11 e 12. Dal momento che il documento è scritto in inglese riporto qui la traduzione in italiano:
pag. 10
3. Limiti
Sia f:D -> R una funzione di due variabili e sia (xo,yo) un punto del suo dominio.
Diciamo che (x,y) -> (xo,yo) se si può determinare un punto (x,y) in modo che l’espressione d^2 = (x-xo)^2 + (y-yo)^2 > 0 possa essere resa arbitrariamente piccola.
pag. 11
Definizione di limite: un numero reale l si definisce limite di f(x,y) se per (x’y)-> (xo,yo) f(x,y)-> l e scriviamo lim f(x,y) per (x,y) -> (xo,yo) = l
Da notare che il limite può non esistere
pag.12
Perché sia valida la definizione di limite (x,y) deve poter tendere a (xo,yo) in qualsiasi modo e da qualsiasi direzione.
L'osservazione contenuta a pag. 12 è della massima importanza poichè nel caso di una funzione di due variabili è ben specificato che condizione necessaria perchè il limite sia definibile in un punto (xo,yo) è che (x,y) possa tendere a (xo,yo) con qualsiasi traiettoria, anche quella a forma di spirale mostrata nel terzo esempio. Da ciò ci si può rendere conto facilmente del perchè non si può definire il limite di una funzione di due variabili in un punto (xo,yo) che è posto sulla frontiera del dominio della funzione.
cordiali saluti!...
lupo grigio
P.S. Caro Angelo, ti sono estremamente grato di avere proposto come esempio di 'forma indeterminata' il comportamento della funzione sin x/x per x->0, giacchè si tratta di un esempio importantissimo sul quale si tornerà tra non molto.
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 16:39:05
...il problema del calcolo del limite si propone anche per tutti i punti di frontiera di A. Invito chiunque a trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica questa mia affermazione...
caro Angelo
una trattazione semplice e corretta del problema della determinaqzione dei limiti di una fuznione di due variabili la puoi trovare in http://www.math.nus.edu.sg/~matlhy/trans5.pdf alle pagine 10,11 e 12. Dal momento che il documento è scritto in inglese riporto qui la traduzione in italiano:
pag. 10
3. Limiti
Sia f:D -> R una funzione di due variabili e sia (xo,yo) un punto del suo dominio.
Diciamo che (x,y) -> (xo,yo) se si può determinare un punto (x,y) in modo che l’espressione d^2 = (x-xo)^2 + (y-yo)^2 > 0 possa essere resa arbitrariamente piccola.
pag. 11
Definizione di limite: un numero reale l si definisce limite di f(x,y) se per (x’y)-> (xo,yo) f(x,y)-> l e scriviamo lim f(x,y) per (x,y) -> (xo,yo) = l
Da notare che il limite può non esistere
pag.12
Perché sia valida la definizione di limite (x,y) deve poter tendere a (xo,yo) in qualsiasi modo e da qualsiasi direzione.
L'osservazione contenuta a pag. 12 è della massima importanza poichè nel caso di una funzione di due variabili è ben specificato che condizione necessaria perchè il limite sia definibile in un punto (xo,yo) è che (x,y) possa tendere a (xo,yo) con qualsiasi traiettoria, anche quella a forma di spirale mostrata nel terzo esempio. Da ciò ci si può rendere conto facilmente del perchè non si può definire il limite di una funzione di due variabili in un punto (xo,yo) che è posto sulla frontiera del dominio della funzione.
cordiali saluti!...
lupo grigio
P.S. Caro Angelo, ti sono estremamente grato di avere proposto come esempio di 'forma indeterminata' il comportamento della funzione sin x/x per x->0, giacchè si tratta di un esempio importantissimo sul quale si tornerà tra non molto.
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 16:39:05
Caro lupo grigio, la definizione di limite riguarda non tanto i punti in cui è definita la funzione, ma piuttosto i punti di accumulazione dell'insieme di esistenza.
Tant'è vero che ha senso calcolare lim (sen x)/x per x-->0 malgrado in 0 la funzione non sia definita: per parlare di limite l'importante è che x tenda a un punto di accumulazione per l'insieme di esistenza. Chi può contraddire questo?
Tu stesso scrivi:
"una funzione f(x,y) sia definita in un campo A di cui faccia parte il punto (xo,yo). Si dice che f(x,y) ammette limite l per (x,y) che tende a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un e>0 si può determinare un d>0 tale che per tutti i punti di un intorno di centro (xo,yo) e raggio d e diversi da (xo,yo) sia |f(x,y)-l|< e".
Ti sei mai chiesto perchè nella tua stessa definizione dici <>? Visto che (xo,yo) fa sempre parte di A perchè escluderlo come soluzione della disequazione |f(x,y)-l|< e? Se si esclude è proprio perchè (xo,yo) potrebbe non appartenere ad A e quindi non avrebbe senso f(xo,yo).
Il problema del calcolo del limite si propone anche per tutti i punti di frontiera di A. Invito chiunque a trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica questa mia affermazione.
Angelo
Tant'è vero che ha senso calcolare lim (sen x)/x per x-->0 malgrado in 0 la funzione non sia definita: per parlare di limite l'importante è che x tenda a un punto di accumulazione per l'insieme di esistenza. Chi può contraddire questo?
Tu stesso scrivi:
"una funzione f(x,y) sia definita in un campo A di cui faccia parte il punto (xo,yo). Si dice che f(x,y) ammette limite l per (x,y) che tende a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un e>0 si può determinare un d>0 tale che per tutti i punti di un intorno di centro (xo,yo) e raggio d e diversi da (xo,yo) sia |f(x,y)-l|< e".
Ti sei mai chiesto perchè nella tua stessa definizione dici <
Il problema del calcolo del limite si propone anche per tutti i punti di frontiera di A. Invito chiunque a trovare un solo libro di analisi matematica che contraddica questa mia affermazione.
Angelo
Nessuno che abbia frequentato un corso di analisi matematica dovrebbe avere dubbi sul fatto che non esiste un'unica definizione di somma di serie, io personalmente ne conosco tre e probabilmente ne esistono altre.
La serie 1-1+1-1+1-1+.... è indeterminata se la somma si definisce come il limite della successione delle somme parziali, ma la stessa serie ha come somma 1/2 se si definisce la somma come il limite della media aritmetica delle somme parziali. Tutto dipende dalla definizione di somma che si adopera. Anzi la seconda definizione è più generale della prima, perchè ogni serie convergente rispetto alla prima def. è pure convergente rispetto alla seconda def. e inoltre le due somme coincidono (ma non vale il viceversa).
Trattare il caso f(x,y)=x^y non è affatto un'inutile complicazione, anzi è una complicazione assolutamente necessaria perchè l'esponente e la base devono rimanere tra loro indipendenti, altrimenti si arriverebbe a conclusioni dipendenti dal legame funzionale tra base ed esponente, mentre 0^0 deve essere lo stesso a prescindere da tale legame. Se a posto del legame x=y, si considera uno dei legami funzionali suggeriti da Marc, ci accorgeremmo di pervenire ad un altro valore di 0^0 e quindi il valore di 0^0 sarebbe inficiato del particolare legame tra base ed esponente! Nessuno che voglia attribuire un significato a 0^0 potrebbe accettare qualcosa del genere. Quindi spero che sia chiaro che tra base ed esponente non ci deve essere alcuna relazione funzionale.
Occorre allora ritornare allo sviluppo in serie di f(x,y)=y*ln(x) in serie di Taylor con punto iniziale (1,1).
Certamente (0,0) è un punto di frontiera dell'insieme di convergenza e per i punti di frontiera la convergenza della serie potrebbe essere verso un valore diverso da quello assunto dalla funzione. Solamente all'interno dell'insieme di convergenza la serie di Taylor ha sicuramente come somma il valore assunto dalla funzione.
Anche se la serie di Taylor converge a 0, non significa che 0*ln(0)=0. D'altra parte, siccome ogni serie di potenze converge uniformemente in ogni dominio contenuto nell'insieme di convergenza, è lecito passare a limite per (h,k) --> (-1,-1) in
y*lnx= f(1,1) + h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [2],
, da cui si otterrebbe l'assurdo che lim y*ln(x)=0.
Angelo
La serie 1-1+1-1+1-1+.... è indeterminata se la somma si definisce come il limite della successione delle somme parziali, ma la stessa serie ha come somma 1/2 se si definisce la somma come il limite della media aritmetica delle somme parziali. Tutto dipende dalla definizione di somma che si adopera. Anzi la seconda definizione è più generale della prima, perchè ogni serie convergente rispetto alla prima def. è pure convergente rispetto alla seconda def. e inoltre le due somme coincidono (ma non vale il viceversa).
Trattare il caso f(x,y)=x^y non è affatto un'inutile complicazione, anzi è una complicazione assolutamente necessaria perchè l'esponente e la base devono rimanere tra loro indipendenti, altrimenti si arriverebbe a conclusioni dipendenti dal legame funzionale tra base ed esponente, mentre 0^0 deve essere lo stesso a prescindere da tale legame. Se a posto del legame x=y, si considera uno dei legami funzionali suggeriti da Marc, ci accorgeremmo di pervenire ad un altro valore di 0^0 e quindi il valore di 0^0 sarebbe inficiato del particolare legame tra base ed esponente! Nessuno che voglia attribuire un significato a 0^0 potrebbe accettare qualcosa del genere. Quindi spero che sia chiaro che tra base ed esponente non ci deve essere alcuna relazione funzionale.
Occorre allora ritornare allo sviluppo in serie di f(x,y)=y*ln(x) in serie di Taylor con punto iniziale (1,1).
Certamente (0,0) è un punto di frontiera dell'insieme di convergenza e per i punti di frontiera la convergenza della serie potrebbe essere verso un valore diverso da quello assunto dalla funzione. Solamente all'interno dell'insieme di convergenza la serie di Taylor ha sicuramente come somma il valore assunto dalla funzione.
Anche se la serie di Taylor converge a 0, non significa che 0*ln(0)=0. D'altra parte, siccome ogni serie di potenze converge uniformemente in ogni dominio contenuto nell'insieme di convergenza, è lecito passare a limite per (h,k) --> (-1,-1) in
y*lnx= f(1,1) + h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [2],
, da cui si otterrebbe l'assurdo che lim y*ln(x)=0.
Angelo
Caro Lupo Grigio,
Le tue argomentazioni sono a dir poco sconcertanti!!
Non si può usate Taylor per definire retroattivamente delle proprietà delle funzioni!!!
Molto, molto molto molto semplicemente ln(x) non è definita per x=0 QUINDI ogni funzione in N variabili che contenga ln(x) non è definita per x=0 !!!!!!!!!!!!!!!!
Se poi vuoi estendere il valore di tale funzione è un fatto ben distinto!
f(x)=x/x non è definita in zero! Anche se è naturalmente estendibile al caso x=0 !!!!
Francamente non avevo capito che fossimo a questo livello di discussione. Con queste premesse va da se che il punto 2) non è nemmeno proponibile. Non siamo nemmeno d'accordo su cosa sia una funzione, figuriamoci se è il caso di tirare in ballo i limiti!
Ciao, Marc
Modificato da - marcellus zebra il 28/11/2002 15:03:28
Le tue argomentazioni sono a dir poco sconcertanti!!
Non si può usate Taylor per definire retroattivamente delle proprietà delle funzioni!!!
Molto, molto molto molto semplicemente ln(x) non è definita per x=0 QUINDI ogni funzione in N variabili che contenga ln(x) non è definita per x=0 !!!!!!!!!!!!!!!!
Se poi vuoi estendere il valore di tale funzione è un fatto ben distinto!
f(x)=x/x non è definita in zero! Anche se è naturalmente estendibile al caso x=0 !!!!
Francamente non avevo capito che fossimo a questo livello di discussione. Con queste premesse va da se che il punto 2) non è nemmeno proponibile. Non siamo nemmeno d'accordo su cosa sia una funzione, figuriamoci se è il caso di tirare in ballo i limiti!
Ciao, Marc
Modificato da - marcellus zebra il 28/11/2002 15:03:28
caro Marc
per conto mio il miglior modo per chiudere la questione riguardo ai quesiti da te posti in questo specifico caso nei punti 1) e 2) è dimostrare che:
a)l’affermazione contenuta in 1) è errata
b)il quesito posto in 2) non è proponibile
Per fare questo è indispensabile ricordare alcune definizioni relative alle funzioni di due variabili x e y, riferendoci al piano (x,y)…
definizione 1: intorno di un punto
Chiamiamo intorno di un punto (xo,yo) l’insieme di tutti i punti (x,y) che soddisfano la disuguaglianza (x-xo)^2+(y-yo)^2< d^2 con d >0
definizione 2: campo
Chiamiamo campo l’insieme di punti del piano (x,y) per ciascuno dei quali esiste almeno un d>0 tale che i punti in un intorno di raggio d centrato in quel punto cadono tutti punti appartenenti all’insieme
definizione 3: frontiera del campo
Chiamiamo frontiera di un campo A l’insieme dei punti per i quali per ogni d>0 in un intorno di raggio d centrato in quei punti cadono sia punti che appartengono al campo sia punti che non gli appartengono
definizione 4: funzione di due variabili
Una variabile z=f(x,y) di dice funzione delle due variabili x e y in un campo A quando ad ogni punto (x,y) di A corrisponde uno e uno solo valore di z. E’ importante sottolineare che la presente definizione richiede che f(x,y) sia univocamente definita per ogni punto di A ma non afferma nulla per quanto riguarda i punti appartenenti alla frontiera di A, per i quali f(x,y) può essere o no definita
definizione 5: limite di una funzione di due variabili
Una funzione f(x,y) sia definita in un campo A di cui faccia parte il punto (xo,yo). Si dice che f(x,y) ammette limite l per (x,y) che tende a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un e>0 si può determinare un d>0 tale che per tutti i punti di un intorno di centro (xo,yo) e raggio d e diversi da (xo,yo) sia |f(x,y)-l|< e
Ciò affermato veniamo a considerare la nostra funzione f(x,y)= y*lnx, della quale è stato ricavato in precedenza lo sviluppo in serie di Taylor che riportiamo ancora una volta qui di seguito:
f(x,y)= y*lnx= f(x,y)=y*lnx= h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [1]
nella quale è h=x-1 e k=y-1.
In primo luogo stabiliamo per f(x,y) il campo di definizione A, che risulta essere l’insieme dei punti di (x,y) per i quali la serie [1] è convergente. Si trova senza difficoltà che il campo di definizione A corrisponde ai punti di (x,y) per i quali è x>0, ossia al semipiano destro del piano (x,y), e che la frontiera di A corrisponde alla retta x=0.
In secondo luogo veniamo ai punti 1) e 2) da te evidenziati, sottolineando per prima cosa che il punto (0,0) è un punto della frontiera di A.
I valori di f(x,y)= y*lnx sulla frontiera possono essere determinati, se esistono, ponendo nella [1] h=-1 [ossia x=0] e osservando il comportamento della serie stessa. Si trova così che la serie [1] è divergente per ogni valore di k ad eccezione di k=-1 [ossia y=0]. ]Per h=k=-1 la serie [1] è convergente e la sua somma vale 0. Per questa ragione l’affermazione 1), secondo la quale f(x,y)=y*lnx non è definita in (0,0) deve ritenersi errata.Tale funzione infatti nel punto (0,0),e solo in questo punto sulla frontiera di A, è definita univocamente ed è f(0,0)=0.
Venendo al quesito da te posto al punto 2) si può affermare con certezza che, poiché il punto (0,0) appartiene alla frontiera del campo A nel quale è definita f(x,y), in base alla definizione 5 per tale punto il problema di determinare il limite di f(x,y) non può nemmeno essere proposto.
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:34:58
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:39:39
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:41:00
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 15:52:53
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 15:55:15
per conto mio il miglior modo per chiudere la questione riguardo ai quesiti da te posti in questo specifico caso nei punti 1) e 2) è dimostrare che:
a)l’affermazione contenuta in 1) è errata
b)il quesito posto in 2) non è proponibile
Per fare questo è indispensabile ricordare alcune definizioni relative alle funzioni di due variabili x e y, riferendoci al piano (x,y)…
definizione 1: intorno di un punto
Chiamiamo intorno di un punto (xo,yo) l’insieme di tutti i punti (x,y) che soddisfano la disuguaglianza (x-xo)^2+(y-yo)^2< d^2 con d >0
definizione 2: campo
Chiamiamo campo l’insieme di punti del piano (x,y) per ciascuno dei quali esiste almeno un d>0 tale che i punti in un intorno di raggio d centrato in quel punto cadono tutti punti appartenenti all’insieme
definizione 3: frontiera del campo
Chiamiamo frontiera di un campo A l’insieme dei punti per i quali per ogni d>0 in un intorno di raggio d centrato in quei punti cadono sia punti che appartengono al campo sia punti che non gli appartengono
definizione 4: funzione di due variabili
Una variabile z=f(x,y) di dice funzione delle due variabili x e y in un campo A quando ad ogni punto (x,y) di A corrisponde uno e uno solo valore di z. E’ importante sottolineare che la presente definizione richiede che f(x,y) sia univocamente definita per ogni punto di A ma non afferma nulla per quanto riguarda i punti appartenenti alla frontiera di A, per i quali f(x,y) può essere o no definita
definizione 5: limite di una funzione di due variabili
Una funzione f(x,y) sia definita in un campo A di cui faccia parte il punto (xo,yo). Si dice che f(x,y) ammette limite l per (x,y) che tende a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un e>0 si può determinare un d>0 tale che per tutti i punti di un intorno di centro (xo,yo) e raggio d e diversi da (xo,yo) sia |f(x,y)-l|< e
Ciò affermato veniamo a considerare la nostra funzione f(x,y)= y*lnx, della quale è stato ricavato in precedenza lo sviluppo in serie di Taylor che riportiamo ancora una volta qui di seguito:
f(x,y)= y*lnx= f(x,y)=y*lnx= h - 1/2!*[h^2-2*h*k]+1/3 !* [2 !*h^3-3*1 !*h^2*k]-...+ (-1)^(n-1)/n!* [(n-1)!*h^n-n*(n-2)!*h^(n-1)*k]+... [1]
nella quale è h=x-1 e k=y-1.
In primo luogo stabiliamo per f(x,y) il campo di definizione A, che risulta essere l’insieme dei punti di (x,y) per i quali la serie [1] è convergente. Si trova senza difficoltà che il campo di definizione A corrisponde ai punti di (x,y) per i quali è x>0, ossia al semipiano destro del piano (x,y), e che la frontiera di A corrisponde alla retta x=0.
In secondo luogo veniamo ai punti 1) e 2) da te evidenziati, sottolineando per prima cosa che il punto (0,0) è un punto della frontiera di A.
I valori di f(x,y)= y*lnx sulla frontiera possono essere determinati, se esistono, ponendo nella [1] h=-1 [ossia x=0] e osservando il comportamento della serie stessa. Si trova così che la serie [1] è divergente per ogni valore di k ad eccezione di k=-1 [ossia y=0]. ]Per h=k=-1 la serie [1] è convergente e la sua somma vale 0. Per questa ragione l’affermazione 1), secondo la quale f(x,y)=y*lnx non è definita in (0,0) deve ritenersi errata.Tale funzione infatti nel punto (0,0),e solo in questo punto sulla frontiera di A, è definita univocamente ed è f(0,0)=0.
Venendo al quesito da te posto al punto 2) si può affermare con certezza che, poiché il punto (0,0) appartiene alla frontiera del campo A nel quale è definita f(x,y), in base alla definizione 5 per tale punto il problema di determinare il limite di f(x,y) non può nemmeno essere proposto.
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:34:58
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:39:39
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 14:41:00
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 15:52:53
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 15:55:15
Caro Lupo Grigio,
La tua affermazione è:
-- f(x,y)=y*lnx vale unicamente 0 per x=y=0
Ora, per fare le cose bene e [forse] chiudere la questione:
1) f(x,y) non è definita in (0,0)
2) Se il limite per (x,y)-->(0,0) di f(x,y)=0 allora [per definizione] per ogni M esiste epsilon tale che in un intorno di diametro epsilon di (0,0) |f(x,y)|
Vorrei che tu esibissi l'epsilon adatto per M=1000.
Ciao, Marc.
La tua affermazione è:
-- f(x,y)=y*lnx vale unicamente 0 per x=y=0
Ora, per fare le cose bene e [forse] chiudere la questione:
1) f(x,y) non è definita in (0,0)
2) Se il limite per (x,y)-->(0,0) di f(x,y)=0 allora [per definizione] per ogni M esiste epsilon tale che in un intorno di diametro epsilon di (0,0) |f(x,y)|
Vorrei che tu esibissi l'epsilon adatto per M=1000.
Ciao, Marc.
caro Marc
è del tutto evidente la 'banale falsità', da te giustamente sottolineata, dell'affermazione...
f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
... quando in precedenza ho fatto grandi sforzi per dimostrare invece che è:
f(x,y)=y*lnx vale unicamente 0 per x=y=0
L'equivoco penso sia nato dalla mia erronea affermazione riportata qui sotto e di cui chiedo scusa a te a altri lettori:
... mi sono accinto ad analizzare il caso di sviluppo in serie di una funzione di due variabili f(x,y) per dimostrare semplicemente che la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 1 per x=0, anche se ovviamente il primo caso, pur arrivando a conclusioni del tutto identiche, rappresenta una notevole quanto inutile complicazione rispetto al secondo...
E' evidente che al posto delle parti sottolineate si deve intendere:
...la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 0 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 0 per x=0...
Chiedo nuovamente scusa per l'errore...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 10:32:18
è del tutto evidente la 'banale falsità', da te giustamente sottolineata, dell'affermazione...
f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
... quando in precedenza ho fatto grandi sforzi per dimostrare invece che è:
f(x,y)=y*lnx vale unicamente 0 per x=y=0
L'equivoco penso sia nato dalla mia erronea affermazione riportata qui sotto e di cui chiedo scusa a te a altri lettori:
... mi sono accinto ad analizzare il caso di sviluppo in serie di una funzione di due variabili f(x,y) per dimostrare semplicemente che la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 1 per x=0, anche se ovviamente il primo caso, pur arrivando a conclusioni del tutto identiche, rappresenta una notevole quanto inutile complicazione rispetto al secondo...
E' evidente che al posto delle parti sottolineate si deve intendere:
...la funzione f(x,y)=y*lnx vale univocamente 0 per x=y=0 esattamente come la funzione f(x)=x*lnx vale univocamente 0 per x=0...
Chiedo nuovamente scusa per l'errore...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 28/11/2002 10:32:18
Caro Lupo Grigio,
"incazzarsi" è il sistema più inutile per affrontare questioni matematiche.
Comunque...
>f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
Senza usare tecniche di nessun tipo, la tua affermazione è banalmente falsa per il solo fatto che f(x,0)=0 e di punti del tipo (x,0) ce ne sono sempre in un intorno di (0,0).
Quindi f(x,y) se proprio dovesse tendere a qualcosa dovrebbe tendere a 0, ma f(x,1/(lnx))=1 e, come prima di punti di questo tipo ce ne sono vicini a 0 a piacere.
Quindi non esiste il limite per (x,y)-->(0,0) di f(x,y)
Non vorrei fare il maestrino, ma vorrei ricordare un aneddoto:
il mio docente universitario bocciò uno studente che aveva dimostrato (correttamente!!) un certo teorema perchè l'aveva fatto seguendo una strada complicata e totalmente inutile quando la risposta stava lì, sotto il naso di tutti.
Ciao, Marc.
"incazzarsi" è il sistema più inutile per affrontare questioni matematiche.
Comunque...
>f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
Senza usare tecniche di nessun tipo, la tua affermazione è banalmente falsa per il solo fatto che f(x,0)=0 e di punti del tipo (x,0) ce ne sono sempre in un intorno di (0,0).
Quindi f(x,y) se proprio dovesse tendere a qualcosa dovrebbe tendere a 0, ma f(x,1/(lnx))=1 e, come prima di punti di questo tipo ce ne sono vicini a 0 a piacere.
Quindi non esiste il limite per (x,y)-->(0,0) di f(x,y)
Non vorrei fare il maestrino, ma vorrei ricordare un aneddoto:
il mio docente universitario bocciò uno studente che aveva dimostrato (correttamente!!) un certo teorema perchè l'aveva fatto seguendo una strada complicata e totalmente inutile quando la risposta stava lì, sotto il naso di tutti.
Ciao, Marc.
Caro Lupo Grigio,
"incazzarsi" è il sistema più inutile per affrontare questioni matematiche.
Comunque...
>f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
e^(-n) per n abbastanza grande sta vicino a 0 a piacere
-A/n per n abbastanza grande sta vicino a 0 a piacere
f(e^(-n),-A/n)=A
Quindi in ogni intorno di 0,0 esiste un punto (x,y) tale che
f(x,y)=A
per esempio:
f(e^-1000,-1/100)=10 eppure siamo ben vicini allo 0 !!!
Non farti venire l'ulcera , ciao, Marc.
"incazzarsi" è il sistema più inutile per affrontare questioni matematiche.
Comunque...
>f(x,y)=y*lnx vale univocamente 1 per x=y=0
e^(-n) per n abbastanza grande sta vicino a 0 a piacere
-A/n per n abbastanza grande sta vicino a 0 a piacere
f(e^(-n),-A/n)=A
Quindi in ogni intorno di 0,0 esiste un punto (x,y) tale che
f(x,y)=A
per esempio:
f(e^-1000,-1/100)=10 eppure siamo ben vicini allo 0 !!!
Non farti venire l'ulcera , ciao, Marc.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo