Chiedo a tutti un parere

[carlo232]

Secondo voi è notevole il risultato

$sum_(n=0)^infty t^n/(n!^2) = 1/pi int_0^pi cosh(2sqrt(t)cosx)dx$

vedete il fatto è che sono riuscito a dimostrarlo ma non so se è un risultato interessante o meno.

Ciao, grazie a tutti

[carlo232]

Sempre a proposito di $((2n),(n))$, ho trovato la seguente formula (tramite una dimostrazione che però devo ancora rigorizzare), la posto magari qualcuno la trova utile:

$pi/sqrt(8)=(sum_(n=0)^infty (-1)^n/(4^n(4n+1))((2n),(n)))/(sum_(n=0)^infty (-1)^n/(16^n)((2n),(n))^2)$

Ciao, ciao! :D

[david_e1]

Sbaglio o e' una tecnica simile a quella usata per:

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6925

?

Dovresti provare a generalizzarla perche' sembra molto utile. Ad esempio facendo il calcolo per la generica funzione:

$ f ( cos(x) ) $

Poi sviluppandola in serie come sopra e tirando fuori la serie di Fourier.

[carlo232]

"Kroldar":secondo me è un buon risultato... anzi mi farebbe anche piacere sapere come ci sei arrivato dato che quel fattoriale al quadrato dà molto fastidio... magari la tua formula può avere anche pratica attuazione in qualche problema dove compare quel fattoriale elevato alla seconda al denominatore. complimenti

dalle formule di Eulero per $cosx$ e dalla formula per la potenza di un binomio ricavi facilmente che per $n$ intero si ha

1)$cos^(2n)x=1/4^n((2n),(n))+ 1/4^n sum_(j=0)^(n-1) ((2n),(j))cos(2n-2j)x$

quindi considerando lo sviluppo in serie di Taylor di $coshy$

$coshy=sum_(n=0)^infty y^(2n)/((2n)!)$

sostituendo $y=2sqrt(t)cosx$ abbiamo

$cosh(2sqrt(t)cosx)=sum_(n=0)^infty (4^n t^n cos^(2n))/((2n)!) = sum_(n=0)^infty t^n/((2n)!) ((2n),(n)) + sum_(n=1)^infty c_n cos nx$

dove all'ultimo membro hai applicato la 1 e i coefficienti $c_n$ sono effettivamente calcolabili (ma non è necessario).
applicando lo sviluppo in serie di Fourier si ha

$cosh(2sqrt(t)cosx)=c_0/2 + sum_(n=1)^infty c_n cos nx$

quindi

$c_0=2sum_(n=0)^infty t^n/((2n)!) ((2n),(n)) $

da cui con Fourier

$1/(2pi) int_-pi^pi cosh(2sqrt(t)cosx)dx = sum_(n=0)^infty t^n/((2n)!) ((2n),(n)) $

il risultato segue dal fatto che la funzione è pari quindi

$1/(2pi) int_-pi^pi cosh(2sqrt(t)cosx)dx = 1/pi int_0^pi cosh(2sqrt(t)cosx)dx $

e che

$t^n/((2n)! )((2n),(n)) =t^n/(n!^2)$

[carlo232]

"Kroldar":secondo me è un buon risultato... anzi mi farebbe anche piacere sapere come ci sei arrivato dato che quel fattoriale al quadrato dà molto fastidio... magari la tua formula può avere anche pratica attuazione in qualche problema dove compare quel fattoriale elevato alla seconda al denominatore. complimenti

Grazie, spero anche io che possa essere applicata nella soluzione di qualche problema con fattoriali quadrati (che come hai detto sono molto difficili da trattare).

Per quanto riguarda la dimostrazione la posto al più presto, ne ho discusso con lupo grigio in "Università--> Integrale ostico" la sua dimostrazione è comunque leggermente diversa dalla mia anche se lo spirito è lo stesso.

[carlo232]

"eafkuor":no sono assolutamente in grado di dirti se e' un risultato interessante, ma a giudicare dall' eleganza direi di si

Grazie!

[eafkuor1]

no sono assolutamente in grado di dirti se e' un risultato interessante, ma a giudicare dall' eleganza direi di si

[Kroldar]

secondo me è un buon risultato... anzi mi farebbe anche piacere sapere come ci sei arrivato dato che quel fattoriale al quadrato dà molto fastidio... magari la tua formula può avere anche pratica attuazione in qualche problema dove compare quel fattoriale elevato alla seconda al denominatore. complimenti