Chiarimenti sul principio di induzione
Ciao a tutti, ho una domanda da porvi. Leggendo il testo di matematica per conto mio, ho affrontato il principio di induzione.
La logica della dimostrazione l'ho capita, ma mi viene una domanda: il libro propone il classico esempio della dimostrazione induttiva riguardo alla somma di un naturale $n$ e i suoi precendenti: $n(n+1)/2$
La dimostrazione però si limita a confermare la regola e non a trovarla, quindi da dove viene fuori? con quale altro sistema si è scoperta? forse la domanda è stupida, o forse non posso saperlo perchè non ho ancora affrontato molti aspetti della matematica.
E infine, l'induzione in quali campi si applica? (combinatoria, geometria, algebra) ecc.
Scusate per le molteplici domande, grazie a tutti in anticipo.
La logica della dimostrazione l'ho capita, ma mi viene una domanda: il libro propone il classico esempio della dimostrazione induttiva riguardo alla somma di un naturale $n$ e i suoi precendenti: $n(n+1)/2$
La dimostrazione però si limita a confermare la regola e non a trovarla, quindi da dove viene fuori? con quale altro sistema si è scoperta? forse la domanda è stupida, o forse non posso saperlo perchè non ho ancora affrontato molti aspetti della matematica.
E infine, l'induzione in quali campi si applica? (combinatoria, geometria, algebra) ecc.
Scusate per le molteplici domande, grazie a tutti in anticipo.
Risposte
"carlo23":
[quote="Dust"]Tipica situazione in cui si manifesta il genio!
Già, nelle nostre scuole si fa di tutto per impedire che accadano simili situazioni... forse sarebbe meglio avere professori che propongono problemi al disopra delle capacità degli studenti... mica sempre, solo ogni tanto
[/quote]Lo credo anch'io! Comunque se lo avessero proposto a me, senza sapere la formula, sarei ancora qui a contare...
"Dust":
Tipica situazione in cui si manifesta il genio!
Già, nelle nostre scuole si fa di tutto per impedire che accadano simili situazioni... forse sarebbe meglio avere professori che propongono problemi al disopra delle capacità degli studenti... mica sempre, solo ogni tanto
"ottusangolo":
Ciao Steven,
io ti posso dire come dimostrò la formula n(n+1)/2 Gauss a soli 10 anni ( o giù di lì ): semplicemente notando che la sonmma del primo termine con l'ultimo,del secondo col penultimo, ecc. è sempre n+1
In effetti il principio di induzione può servire a dimostrare congetture plausibili o a semplificare dim. di teoremi già noti, non gli puoi chiedere di più; nonostante ciò è molto utile ed usato.
Infine una curiosità: è equivalente al ' fatto' che ogni sottoinsieme di N (numeri naturali)
ha minimo(ha cioè un elemento più piccolo di tutti).
Tra l'altro, solo per la cronaca, si dice che Gauss vi riuscì quando il suo maestro diede a lui ed ai suoi compagni il problema di trovare la somma dei primi 1000 numeri. Aspettandosi che nessuno vi riuscisse prima della fine della giornata scolastica il maestro si mise tranquillo a fare le sue cose quando solo pochi minuti dopo il piccolo Gauss arrivò con la soluzione.
Tipica situazione in cui si manifesta il genio!
"laura.todisco":
[quote="ottusangolo"]Ciao Steven,
io ti posso dire come dimostrò la formula n(n+1)/2 Gauss a soli 10 anni ( o giù di lì ).....
Quando ero al primo anno di Matematica, un Prof. ci raccontò di Gauss e di questa formula; sottolineò che aveva circa 7 anni, facendoci sentire dei deficienti; da quel giorno il numero degli iscritti passò da 90 a 45!!!!!!!!!!! MA IO NON HO MOLLATO!!!!!!!! (Pur sentendomi spessissimo deficiente tuttora, dopo più di 20 anni dall'episodio ........
)[/quote]beh questa storiella ce l'ha raccontata anche la nostra prof di matematica l'anno scorso quando abbiamo fatto le successioni
da quel giorno gauss è diventato il mio idolo, veramente un genio...
"laura.todisco":
Quando ero al primo anno di Matematica, un Prof. ci raccontò di Gauss e di questa formula; sottolineò che aveva circa 7 anni, facendoci sentire dei deficienti; da quel giorno il numero degli iscritti passò da 90 a 45!!!!!!!!!!! MA IO NON HO MOLLATO!!!!!!!! (Pur sentendomi spessissimo deficiente tuttora, dopo più di 20 anni dall'episodio ........
Rispetto a Gauss ci sono pochi che possono permettersi di sentirsi alla pari
E infine, l'induzione in quali campi si applica? (combinatoria, geometria, algebra)
In ogni dove penso: io l'ho visto dappertutto. Che tutte le pecore sono bianche per esempio si dimostra per induzione
"ottusangolo":
Ciao Steven,
io ti posso dire come dimostrò la formula n(n+1)/2 Gauss a soli 10 anni ( o giù di lì ).....
Quando ero al primo anno di Matematica, un Prof. ci raccontò di Gauss e di questa formula; sottolineò che aveva circa 7 anni, facendoci sentire dei deficienti; da quel giorno il numero degli iscritti passò da 90 a 45!!!!!!!!!!! MA IO NON HO MOLLATO!!!!!!!! (Pur sentendomi spessissimo deficiente tuttora, dopo più di 20 anni dall'episodio ........
)
Molto bene, grazie siete stati gentili come al solito. Ciao a tutti
Il limite del principio d'induzione è che non serve a scoprire nuovi risultati, ma "solo" a confermare (o smentire) risultati intuiti precedentemente.
"gilmor":
[quote="+Steven+"]Cosa studi di bello all'università?
sono iscritta a matematica,1°anno[/quote]
Che ne pensi della tua scelta? Potresti dirmi in due righe che ne pensi, se è una scelta impegnativa, interessante ecc?
Te lo chiedo perchè anche io sto prendendo in considerazione questa scelta di studio all'università. Grazie in anticipo, buona fortuna con gli studi. Ciao
+Steven+
un principio non si dimostra. Non ti ripeto ciò che puoi trovare in: http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_induzione
un principio non si dimostra. Non ti ripeto ciò che puoi trovare in: http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_induzione
"+Steven+":
Cosa studi di bello all'università?
sono iscritta a matematica,1°anno
Ciao Steven,
io ti posso dire come dimostrò la formula n(n+1)/2 Gauss a soli 10 anni ( o giù di lì ): semplicemente notando che la sonmma del primo termine con l'ultimo,del secondo col penultimo, ecc. è sempre n+1
In effetti il principio di induzione può servire a dimostrare congetture plausibili o a semplificare dim. di teoremi già noti, non gli puoi chiedere di più; nonostante ciò è molto utile ed usato.
Infine una curiosità: è equivalente al ' fatto' che ogni sottoinsieme di N (numeri naturali)
ha minimo(ha cioè un elemento più piccolo di tutti).
io ti posso dire come dimostrò la formula n(n+1)/2 Gauss a soli 10 anni ( o giù di lì ): semplicemente notando che la sonmma del primo termine con l'ultimo,del secondo col penultimo, ecc. è sempre n+1
In effetti il principio di induzione può servire a dimostrare congetture plausibili o a semplificare dim. di teoremi già noti, non gli puoi chiedere di più; nonostante ciò è molto utile ed usato.
Infine una curiosità: è equivalente al ' fatto' che ogni sottoinsieme di N (numeri naturali)
ha minimo(ha cioè un elemento più piccolo di tutti).
Cosa studi di bello all'università?
Anche nel libro vengono fatti numerosi esempi sul principio di induzione, ma in tutti e questi esempi viene cofermata la regola.... Il mio libro parte da 1 per i naturali, quindi dice che se P(1) è vera anche P(n+1) è vera... poi fa esempi per far vedere questo... ma appunto viene solo confermato... anche a lezione è stato fatto così, nessuno ci ha mai trovato la regola.
Riguardo agli altri campi su cui il principio di induzione è applicato, ci avevano detto che è utile in informatica.... geometria non credo.... noi lo studiamo in analisi 1 e anche in algebra 1 però...
Riguardo agli altri campi su cui il principio di induzione è applicato, ci avevano detto che è utile in informatica.... geometria non credo.... noi lo studiamo in analisi 1 e anche in algebra 1 però...
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