Chi è il fenomeno?

[Piera4]

Stasera mi sono imbattuto nel forum delle olimpiadi di matematica e ho letto il seguente problema:

Un triangolo viene suddiviso dalle tre sue mediane in sei piccoli triangoli. Dimostrare che i circocentri di ciascuno di questi triangoli appartengono ad una stessa circonferenza.

Stranamente (si fa per dire) nessuno per ora lo ha risolto...
Per questo lo propongo anche qui, non me la sento di proporlo nel forum giochi-matematici perchè è troppo difficile.
Io conosco ( ho letto sia ben chiaro) la soluzione del problema e se qualcuno è interessato la posso anche postare.

[ottusangolo]

Complimenti e mille gazie per la chiarezza con cui hai organizzato il tutto e per la generosa fatica a cui ti sei sottoposto!

[Piera4]

La soluzione che hai proposto è identica a quella che conosco. Questo problema è stato dato sull'American Mathematical Monthly.
Ringrazio archimede per aver postato la soluzione
con il relativo disegno.

[Sk_Anonymous]

Premetto che non e' farina del mio sacco e che mi sono limitato
ad organizzare alla men peggio la complessa soluzione.
Nella figura ( che occorre studiare attentamente per capirci qualcosa)
ABC e' il triangolo ;AE,BF,CD le mediane;G il baricentro;O1,O2,O3
O4,O5,O6 sono i circocentri dei sei triangolini ottenuti tracciando
gli assi di due lati di ciascun triangolino;BM e' tracciato parallelo
alla mediana AE. Vi sono poi vari angoli segnati con simboli
diversi in modo che allo stesso simbolo corrispondano angoli congruenti.
Cominciamo.
L'area del parallelogramma O1LO4H e':
S(O1LO4H)=LO1*SR=LO4*VT--->$(LO1)/(LO4)=(VT)/(SR)=(1/2*CD)/(1/2*AE)=(CD)/(AE)$
I triangoli LO5O6 ed MBG sono simili per avere i lati a due a due perpendicolari e quindi:
$(LO5)/(LO6)=(MG)/(MB)$
I triangoli MBD e GAD sono congruenti (facile da dimostrare) e quindi:
MD=DG-->MG=2*DG=$2/3CD$
MB=AG=$2/3AE$
Dunque
$(LO5)/(LO6)=(2//3CD)/(2//3AE)=(CD)/(AE)$
percui:$(LO5)/(LO6)=(LO1)/(LO4)$
Oppure:
$LO4*LO5=LO1*LO6$
Per il teorema inverso delle secanti ad una circonferenza, cio' significa
che i 4 punti (O1,O4,O5,O6) appartengono ad una medesima circonferenza
che chiameremo C1.In maniera analoga si dimostra che i punti (O1,O2,O5,O6)
stanno su di una circonferenza che chiameremo C2 ed i punti (O3,O4,O5,O6) stanno su una terza circonferenza C3.
Osserviamo ora che C1 e C2 coincidono per avere in comune i punti (O1,O5,O6) ed egualmente coincidono C1 e C3 per avere in comune i punti (O4,O5,O6)
In definitiva le 3 circonferenza sono una sola circonferenza alla quale appartengono
i sei circocentri.
Archimede