Campo non stazionario.
Volevo sapere che tipo di funzione rappresenta un campo non stazionario. Mi riferisco a quei casi (perchè ho solo letto che si chiamano così) in cui le variabili indipendenti siano un vettore e uno scalare (es. posizione e tempo). E' una funzione a più variabili? Come la si può rappresentare? Come la si può leggere matematicamente?
P.S.- Riprendo una vecchia discussione in cui non scrissi molto bene.
P.S.- Riprendo una vecchia discussione in cui non scrissi molto bene.
Risposte
In relatività si usano i quadrivettori, ma guarda ne so talmente poco che preferisco lasciare stare e rimanere in ambito di fisica classica. Ad ogni modo questo non cambia quello che ti ho detto prima. Se mi permetti, devi cercare di vedere le cose in modo un po' meno filosofico di come fai. Ti ripeto che un campo vettoriale non stazionario, matematicamente non è altro che una funzione da $RR^4$ ad $RR^3$. Non importa se 3 delle 4 variabili indiepndenti sono coordinate di un vettore e la quarta è il tempo. Il fatto che a volte sono scritte coi simboli di vettore e non con le componenti, è solo un modo per scrivere la questione in maniera compatta ed immediata, che rispecchia di più il senso fisico delle cose. ma rimangono funzioni da $RR^4$ ad $RR^3$.
Guarda, io provo ad azzardare informazioni. Dunque, io mi pongo in un contesto di meccanica classica. Ho sentito dire (ma non ne sono assolutamente convinto) che Einstein ha introdotto vettori di quattro dimensioni per rappresentare lo spazio-tempo, ossia un unico ente fisico-matematico, a differenza di quanto si era fatto sino ad allora e si continua a fare, penso, oggi, per lo studio dei fenomeni della fisica classica, in cui si utilizza lo spazio e il tempo come grandezze di diversa natura.
Ora, contestualmente a questo, ho visto che esistono funzioni a più variabili, che penso siano diverse dai campi, anche se non ne sono sicuro. Mi spiego meglio. Per quanto seguirò, per semplicità, userò sempre il campo $RR$
Se io associo ad un vettore un secondo vettore, comunque associo ad un singolo elemento di un insieme un singolo elemento di un altro insieme. Quindi in tale senso un campo vettoriale è comunque una funzione in una variabile, anche se essa è una variabile vettoriale (quindi, sia il dominio sia il codominio sono già a loro volta prodotti cartesiano di RR^n).
Allo stesso modo, un campo scalare è una funzione che associa a un elemento di un insieme ($RR^n$), un elemento di un altro insieme ($RR$).
Io invece chiedevo nel caso delle funzioni a più variabili, di cui almeno una sia vettoriale. Mi spiego meglio. Perchè credo di non poter ricondurre questo caso a quello che tu mi hai descritto.
Come esempio ho citato il caso della funzione $f (\vec r, t)$, cioè evidentemente una funzione a più variabili. Leggendo il tuo racconto, dovrei descriverla matematicamente così:
$f : RR^n x RR \to RR^n$
Si tratterebbe a questo punto di fare il prodotto cartesiano tra un insieme che sia già prodotto cartesiano e un altro insieme "semplice".E' qui che mi fermo, che non so andare avanti.
Si può fare? Si fa, nella prassi. Perchè se si potesse fare, allora il mio problema sarebbe risolto, in quanto funzioni a $n$ variabili, potrebbero sempre essere ricondotte nella forma a campi.
Il discorso iniziale sulla meccanica relativistica è stato fatto credendo che in essa già si considerasse l' "unione" tra le due variabili $\vec r$ e $t$ in un' unica variabile chiamata spazio-tempo. Per quanto riguarda invece il caso "meccanicoclassico" che ho presentato io, non sono sicuro di poter ricondurre questa funzione in due variabili, una vettoriale e una scalare, a una funzione in una variabile quadri-dimensionale. Se si potesse fare, che è, lo ripeto, la domanda di questo thread, allora quello che tu hai scritto sarebbe valido in ogni caso, e troverei risposta.
P.S.- Magari in quello che hai già scritto, Giacor, c'è già la risposta. Tuttavia preferisco precisare i miei dubbi per essere sicuro che sia così. Grazie per il tempo dedicatomi, in ogni caso.
Ora, contestualmente a questo, ho visto che esistono funzioni a più variabili, che penso siano diverse dai campi, anche se non ne sono sicuro. Mi spiego meglio. Per quanto seguirò, per semplicità, userò sempre il campo $RR$
Se io associo ad un vettore un secondo vettore, comunque associo ad un singolo elemento di un insieme un singolo elemento di un altro insieme. Quindi in tale senso un campo vettoriale è comunque una funzione in una variabile, anche se essa è una variabile vettoriale (quindi, sia il dominio sia il codominio sono già a loro volta prodotti cartesiano di RR^n).
Allo stesso modo, un campo scalare è una funzione che associa a un elemento di un insieme ($RR^n$), un elemento di un altro insieme ($RR$).
Io invece chiedevo nel caso delle funzioni a più variabili, di cui almeno una sia vettoriale. Mi spiego meglio. Perchè credo di non poter ricondurre questo caso a quello che tu mi hai descritto.
Come esempio ho citato il caso della funzione $f (\vec r, t)$, cioè evidentemente una funzione a più variabili. Leggendo il tuo racconto, dovrei descriverla matematicamente così:
$f : RR^n x RR \to RR^n$
Si tratterebbe a questo punto di fare il prodotto cartesiano tra un insieme che sia già prodotto cartesiano e un altro insieme "semplice".E' qui che mi fermo, che non so andare avanti.
Si può fare? Si fa, nella prassi. Perchè se si potesse fare, allora il mio problema sarebbe risolto, in quanto funzioni a $n$ variabili, potrebbero sempre essere ricondotte nella forma a campi.
Il discorso iniziale sulla meccanica relativistica è stato fatto credendo che in essa già si considerasse l' "unione" tra le due variabili $\vec r$ e $t$ in un' unica variabile chiamata spazio-tempo. Per quanto riguarda invece il caso "meccanicoclassico" che ho presentato io, non sono sicuro di poter ricondurre questa funzione in due variabili, una vettoriale e una scalare, a una funzione in una variabile quadri-dimensionale. Se si potesse fare, che è, lo ripeto, la domanda di questo thread, allora quello che tu hai scritto sarebbe valido in ogni caso, e troverei risposta.
P.S.- Magari in quello che hai già scritto, Giacor, c'è già la risposta. Tuttavia preferisco precisare i miei dubbi per essere sicuro che sia così. Grazie per il tempo dedicatomi, in ogni caso.
se il campo che consideri è un campo scalare (come ad esempio la temperatura) lo puoi vedere come una funzione da che piglia in pasto 4 numeri, x, y, z, t (e quindi un vettore a 4 dimensioni) e te ne restituisce uno solo, ad esempio T (quindi uno scalare, da cui il nome del campo). Matematicamente si dice che è una funzione da $R^4$ ad $R$. Se il campo invece è vettoriale (ad esempio il campo elettrico) è una funzione che piglia in pasto sempre lo stesso vettore (x,y,z,t), ma ti restituisce 3 numeri (e quindi un vettore a 3 dimensioni), ad esempio $E_x, E_y, E_z$. matematicamente è una funzione da $R^4$ ad $R^3$ e siccome il risultato è un vettore, si chiama campo vettoriale.
rappresentarli è una grana un po' più grossa. con un campo scalare te la puoi cavare associando al valore del campo un colore, e poi fare un immagine animata che segua lo scorrere del tempo. per un campo vettoriale invece è comodo il metodo delle linee di campo, anche qui con un immagine animata che fa vedere la loro evoluzione nel tempo
cosa intendi per leggere matematicamente? Che forma hanno? In questo caso un campo scalare sarà della forma $T=T(x,y,z,t)$. uno vettoriale invece sarà dato dall'accostamento di 3 funzioni: $E_x=E_x (x,y,z,t), E_y=E_y (x,y,z,t), E_z=E_z (x,y,z,t)$.
rappresentarli è una grana un po' più grossa. con un campo scalare te la puoi cavare associando al valore del campo un colore, e poi fare un immagine animata che segua lo scorrere del tempo. per un campo vettoriale invece è comodo il metodo delle linee di campo, anche qui con un immagine animata che fa vedere la loro evoluzione nel tempo
cosa intendi per leggere matematicamente? Che forma hanno? In questo caso un campo scalare sarà della forma $T=T(x,y,z,t)$. uno vettoriale invece sarà dato dall'accostamento di 3 funzioni: $E_x=E_x (x,y,z,t), E_y=E_y (x,y,z,t), E_z=E_z (x,y,z,t)$.
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