Brouwer vs Hilbert
Come tutti sanno, dal celeberrimo scontro di idee tra Brouwer e Hilbert uscì vincitore il secondo, almeno in termini di "seguaci". Brouwer propose una semplice quanto rivoluzionaria idea: rivedere buona parte della matematica (difficile dire a priori esattamente quali parti) in chiave costruttiva. Per matematica costruttiva, Brouwer, come tutti noi oggi, intendeva una matematica in cui non si enuncia semplicemente l'esistenza di una certà proprietà, entità etc, ma si forniscono anche gli strumenti per costruirla concretamente.
Un tipico esempio è il teorema dimostrato da Hilbert, col quale afferma che ogni spazio vettoriale ha una base. Il guaio, secondo Brouwer, è che esso, in generale, non vedere come costruire questa base. E tutto ciò deriva dal metodo di fare matematica di Hilbert: applicare il principio del terzo escluso e la riduzione all'assurdo anche agli insieme infiniti.
La proposta di Brower è semplicemente di distinguere le proposizioni in cui abbiamo un modo per costruire quel che affermiamo che esista da quelle in cui non ce l'abbiamo. Equivalentemente, in termini di logica, Brouwer dice che dobbiamo distinguere un'affermazione della forma $\exists A(x)$ ("esiste") da una della forma $\neg\neg \exists A(x)$ ("non è escluso che esista"): mentre queste due forme possono in un certo senso essere equivalenti nel caso di insieme finiti, nel caso infinito certamente non vale questa equivalenza. O in altre parole: per non perdere la qualità dell'informazione, dobbiamo rinunciare alla logica classica e adottare principalmente quella intuizionistica.
Dato che queste sono semplici valide argomentazioni logiche, perché per 100 anni non sono mai state prese seriamente in considerazione dalla maggioranza dei matematici? Perché non sviluppare una matematica "alternativa", che sarebbe appunto costruttiva, quindi renderebbe il tutto più intuitivo e più facile concettualmente, conservando la qualità dell'informazione?
Brouwer ha usato questa metafora per spiegare ciò che intendeva: fare matematica senza mai essere consapevoli della matematica costruttiva sarebbe come insegnare agli studenti di fisica solo la fisica classica (Galileo e Newton), senza mai dire che c'è anche la teoria della relatività, o la teoria dei quanti.
Un tipico esempio è il teorema dimostrato da Hilbert, col quale afferma che ogni spazio vettoriale ha una base. Il guaio, secondo Brouwer, è che esso, in generale, non vedere come costruire questa base. E tutto ciò deriva dal metodo di fare matematica di Hilbert: applicare il principio del terzo escluso e la riduzione all'assurdo anche agli insieme infiniti.
La proposta di Brower è semplicemente di distinguere le proposizioni in cui abbiamo un modo per costruire quel che affermiamo che esista da quelle in cui non ce l'abbiamo. Equivalentemente, in termini di logica, Brouwer dice che dobbiamo distinguere un'affermazione della forma $\exists A(x)$ ("esiste") da una della forma $\neg\neg \exists A(x)$ ("non è escluso che esista"): mentre queste due forme possono in un certo senso essere equivalenti nel caso di insieme finiti, nel caso infinito certamente non vale questa equivalenza. O in altre parole: per non perdere la qualità dell'informazione, dobbiamo rinunciare alla logica classica e adottare principalmente quella intuizionistica.
Dato che queste sono semplici valide argomentazioni logiche, perché per 100 anni non sono mai state prese seriamente in considerazione dalla maggioranza dei matematici? Perché non sviluppare una matematica "alternativa", che sarebbe appunto costruttiva, quindi renderebbe il tutto più intuitivo e più facile concettualmente, conservando la qualità dell'informazione?
Brouwer ha usato questa metafora per spiegare ciò che intendeva: fare matematica senza mai essere consapevoli della matematica costruttiva sarebbe come insegnare agli studenti di fisica solo la fisica classica (Galileo e Newton), senza mai dire che c'è anche la teoria della relatività, o la teoria dei quanti.
Risposte
E' chiaro che di parecchie dimostrazione non costruttive si possono trovare versioni costruttive se ci si riduce a casi particolari. Tuttavia spesso e volentieri del caso generale una dimostrazione costruttiva non puo' semplicemente esistere.
Sì, attenzione, però, le prove per assurdo non sono rigettate da Brouwer, altrimenti ben poco rimarrebbe della matematica! Sono solo alcune prove per assurdo ad essere criticate. Più che altro è il terzo escluso ad essere indigesto.
Ecco un'altra prova "alla Hilbert" ma non "alla Brouwer"
Dimostrare che esistono due irrazionali $r,s\in RR$ tali che $r^s$ e' razionale.
Prova. Se $\sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ$, ponendo $r=s=sqrt 2$, abbiamo la tesi. Se $\sqrt 2^(sqrt 2)\notin QQ$, allora poniamo $r=\sqrt 2^(sqrt 2)$ e $s=sqrt 2$, e abbiamo ancora la tesi.
Evidentemente la prova fa uso del principio del terzo escluso, nella forma: $\sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ \vee \not \sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ$. Dunque per Brouwer non va bene. In effetti si dimostra l'esistenza di qualcosa senza esibirla.
Se sapessi rispondere a questa domanda, ora avrei al collo la medaglia... Fields
Quello che intendo e' che sarebbe una gran cosa avere dei risultati che permettessero di esprimere il legame Hilbert-Brouwer. Come trasformare una prova alla Hilbert in una alla Brouwer? In quali casi e' possibile farlo? In poche parole, non fare un Aut-Aut, ma far cooperare fra loro Hilbert e Brouwer.
Ad esempio, il teorema dell'Ideale massimale per gli anelli numerabili, prima dimostrato non costruttivamente, e' stato ora dimostrato costruttivamente http://www.math.unipd.it/~silvio/papers ... tCompl.pdf (pag 9)
Ecco un'altra prova "alla Hilbert" ma non "alla Brouwer"
Dimostrare che esistono due irrazionali $r,s\in RR$ tali che $r^s$ e' razionale.
Prova. Se $\sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ$, ponendo $r=s=sqrt 2$, abbiamo la tesi. Se $\sqrt 2^(sqrt 2)\notin QQ$, allora poniamo $r=\sqrt 2^(sqrt 2)$ e $s=sqrt 2$, e abbiamo ancora la tesi.
Evidentemente la prova fa uso del principio del terzo escluso, nella forma: $\sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ \vee \not \sqrt 2^(sqrt 2)\in QQ$. Dunque per Brouwer non va bene. In effetti si dimostra l'esistenza di qualcosa senza esibirla.
"TomSawyer":
Ma allora come si potrebbe costruire una matematica Brouwer + Hilbert, in cui avere prove del genere ma anche necessariamente la possibilità di costruire?
Se sapessi rispondere a questa domanda, ora avrei al collo la medaglia... Fields
Quello che intendo e' che sarebbe una gran cosa avere dei risultati che permettessero di esprimere il legame Hilbert-Brouwer. Come trasformare una prova alla Hilbert in una alla Brouwer? In quali casi e' possibile farlo? In poche parole, non fare un Aut-Aut, ma far cooperare fra loro Hilbert e Brouwer.
Ad esempio, il teorema dell'Ideale massimale per gli anelli numerabili, prima dimostrato non costruttivamente, e' stato ora dimostrato costruttivamente http://www.math.unipd.it/~silvio/papers ... tCompl.pdf (pag 9)
Vero, quella prova è davvero bella, e sarebbe un peccato se in un'altra matematica non ce ne fossero.
Ma allora come si potrebbe costruire una matematica Brouwer + Hilbert, in cui avere prove del genere ma anche necessariamente la possibilità di costruire?
@Maxos
Un esempio delle perplessità dei sostenitori della matematica costruttiva di fronte alla riduzione all'assurdo lo ha scritto proprio fields.
Ma allora come si potrebbe costruire una matematica Brouwer + Hilbert, in cui avere prove del genere ma anche necessariamente la possibilità di costruire?
@Maxos
Un esempio delle perplessità dei sostenitori della matematica costruttiva di fronte alla riduzione all'assurdo lo ha scritto proprio fields.
Per dare un po' di concretezza al discorso, ecco una tipica prova "alla Hilbert" e non "alla Brouwer". La prova è "rubata" dal post di TomSawyer, 2xscacchi, ed è davvero bella.
Secondo me, non dovrebbe essere Hilbert vs Brouwer, ma Hilbert + Brouwer. L'argomentazione sopra riportata è perfettamente legittima, anzi, personalmente adoro argomentazioni di questo tipo, ma probabilmente esse lasciano un po' le cose a livello metafisico. Cosa me ne faccio di sapere che qualcosa esiste se non posso costruirla? E' come dire: Dio esiste, ma non si cura di noi. Fuor di metafora: un oggetto esiste, ma è inaccessibile. Ho un milione di euro, ma la banca che li custodiva ha perso la "chiave" della cassetta impenetrabile dove essi sono custoditi.
"TomSawyer":
L'unica differenza con gli scacchi normali è che in 2xScacchi ogni giocatore fa due mosse legali consecutive, invece che una. Dimostrare che per il bianco esiste una strategia che gli permette almeno di pareggiare.
"TomSawyer":
Prova. Supponiamo per assurdo che non esista una strategia che permetta al bianco almeno di pareggiare. Allora il nero, nonostante ogni tentativo del bianco, vince sempre. Ma allora il bianco fa le sue prime due mosse, che sono: un cavallo avanti e di nuovo nella posizione iniziale. A questo punto il bianco è "diventato" il nero, quindi dovrebbe vincere lui; contraddizione.
Secondo me, non dovrebbe essere Hilbert vs Brouwer, ma Hilbert + Brouwer. L'argomentazione sopra riportata è perfettamente legittima, anzi, personalmente adoro argomentazioni di questo tipo, ma probabilmente esse lasciano un po' le cose a livello metafisico. Cosa me ne faccio di sapere che qualcosa esiste se non posso costruirla? E' come dire: Dio esiste, ma non si cura di noi. Fuor di metafora: un oggetto esiste, ma è inaccessibile. Ho un milione di euro, ma la banca che li custodiva ha perso la "chiave" della cassetta impenetrabile dove essi sono custoditi.
per te non è spesso molto più intuitivo il ragionamento ad absurdum?
per me sì, penso potrai trovare da solo centinaia di esempi
se devo considerare una infinità continua di casi favorevoli, preferisco immaginare l'assurdità di un solo caso contrario
L'atteggiamento di Brouwer è piuttosto di minimizzare i parametri di ingresso, iniziativa lodevole ma su cui non saprei dire altro, lascio la parola ai logici
per me sì, penso potrai trovare da solo centinaia di esempi
se devo considerare una infinità continua di casi favorevoli, preferisco immaginare l'assurdità di un solo caso contrario
L'atteggiamento di Brouwer è piuttosto di minimizzare i parametri di ingresso, iniziativa lodevole ma su cui non saprei dire altro, lascio la parola ai logici
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