Base irrazionale
mi chiedevo se si possono scrivere i numeri in base 2,3,4,5,... numeri naturali, si può generalizzare la cosa estendendo il "dominio" delle basi ai numeri reali tipo come si potrebbe scrivere 2 in base $sqrt(2)$ o in base $1/2$,
oppure creare una funzione in cui compaiono le basi? tipo $f(3)=57_{8}$?
oppure creare una funzione in cui compaiono le basi? tipo $f(3)=57_{8}$?
Risposte
scusate, dite che non c'è nessuna applicazione, io pensavo alla teoria dei numeri...oppure a algoritmi cifrati le cui chiavi sono basi irrazionali o trascendenti difficilissime da scoprire e anche da pensare! che mi dite?

"Luca.Lussardi":
L'idea di una base che non sia un numero naturale è una cosa che è già stata pensata da parecchi, ma non porta a nessuna conclusione "utile", almeno per ora; in Matematica sono tantissime le cose che uno può fare, ma solo quelle che poi risultano utili e interessanti proseguono e hanno uno sviluppo, per le altre non c'è futuro.
Ed è un peccato: l'utilità di un risultato matematico può emergere anche molto tempo dopo la sua formulazione; penso alle coniche, che prima di Keplero non avevano una gran utilità, eppure Apollonio&co, ci si erano dedicati e se non lo avessero fatto forse Keplero si sarebbe impantanato.
[quote=Luca.Lussardi]Sottolineo infine, visto che è stato sollevato, che il concetto di dimensione frazionaria per uno spazio vettoriale non ha senso: uno spazio vettoriale o ha dimensione finita, che è un numero intero positivo, o ha dimensione infinita. I frattali sono sì oggetti di "dimensione" non intera, ma non sono spazi vettoriali, e la nozione di dimensione di un insieme frattale non è una definizione algebrica, bensì legata alla misura di Hausdorff degli insiemi stessi.c
Sì, sì, non volevo lasciare intendere una cosa diversa da questa, i due concetti sono completamente diversi come definizione ed ambito, ma quando la "dimensione frattale" è intera, allora coincide con l'usuale nozione di dimensione. Tutto qua.
Ma si era solo per scherzare

Non era mia intenzione smontare nulla, anzi, si fa comunque della Matematica in quello che avete fatto, e va quindi apprezzato.
La mia risposta era solo volta a chiarire il fatto che non si tratta di idee originali, già in molti ci hanno pensato ed il fatto che non si trovi da nessuna parte una trattazione dell'argomento, è indice del fatto che non si tratta di una teoria con conseguenze interessanti.
La mia risposta era solo volta a chiarire il fatto che non si tratta di idee originali, già in molti ci hanno pensato ed il fatto che non si trovi da nessuna parte una trattazione dell'argomento, è indice del fatto che non si tratta di una teoria con conseguenze interessanti.
Hai smontato i nostri sogni 
Ma in effetti il tuo ragionamento non fa una piega

Ma in effetti il tuo ragionamento non fa una piega

L'idea di una base che non sia un numero naturale è una cosa che è già stata pensata da parecchi, ma non porta a nessuna conclusione "utile", almeno per ora; in Matematica sono tantissime le cose che uno può fare, ma solo quelle che poi risultano utili e interessanti proseguono e hanno uno sviluppo, per le altre non c'è futuro.
Si tenga conto inoltre che i sistemi di numerazione sono solamente dei modi tra loro diversi di scrivere uno stesso numero; le proprietà dei numeri rimangono le stesse da un sistema all'altro, e sono quelle che interessano alla Matematica, non come si scrive il numero, che cifre utilizzare.
Sottolineo infine, visto che è stato sollevato, che il concetto di dimensione frazionaria per uno spazio vettoriale non ha senso: uno spazio vettoriale o ha dimensione finita, che è un numero intero positivo, o ha dimensione infinita. I frattali sono sì oggetti di "dimensione" non intera, ma non sono spazi vettoriali, e la nozione di dimensione di un insieme frattale non è una definizione algebrica, bensì legata alla misura di Hausdorff degli insiemi stessi.
Si tenga conto inoltre che i sistemi di numerazione sono solamente dei modi tra loro diversi di scrivere uno stesso numero; le proprietà dei numeri rimangono le stesse da un sistema all'altro, e sono quelle che interessano alla Matematica, non come si scrive il numero, che cifre utilizzare.
Sottolineo infine, visto che è stato sollevato, che il concetto di dimensione frazionaria per uno spazio vettoriale non ha senso: uno spazio vettoriale o ha dimensione finita, che è un numero intero positivo, o ha dimensione infinita. I frattali sono sì oggetti di "dimensione" non intera, ma non sono spazi vettoriali, e la nozione di dimensione di un insieme frattale non è una definizione algebrica, bensì legata alla misura di Hausdorff degli insiemi stessi.
Io propongo questa generalizzazione dell'algoritmo euclideo.
Dati due numeri reali $a,b \in RR$ (che suppongo, per comodità, positivi), definisco il quoziente di $a$ su $b$ il più grande intero $q \in ZZ$ tale che $qb
Quindi, se applico l'algoritmo euclideo, la successione di resti che ottengo continua ad essere monotone decrescente ${r_n}_n$. In questo caso, però, può non esistere alcun $n$ tale che $r_n =0$ ossia la successione $r_n$ può essere sempre positiva. Valgono però questi fatti:
1) la successione $r_n$ e sempre positiva se e solo se $a/b$ è un numero irrazionale. in caso cotrario la successione $r_n$ è definitivamente nulla.
2) In ogni caso, successione $r_n$ converge e il suo limite è $0$.
Quindi, si potrebbe pensare, tra l'altro, di generalizzare la definizione di MCD tra i numeri reali. in questo modo:
se $a/b$ è irrazionale poniamo $MCD(a,b)=0$;
se $a/b$ è razionale allora, detto $N$ il più grande indice tale che $r_N>0$, poniamo $MCD(a,b)=r_N$ (proprio come si fa nel caso $a,b\in ZZ$).
Se $a,b\in ZZ$ il MCD così definito coincide con quello usuale, ma continua a possedere le stesse proprietà solo per $a,b\in QQ$.
Infine, per $a=r/s$ e $b=p/q$ con $r,s,p,q\in NN$ si ha
$MCD(r/s,p/q)=(MCD(rq,sp))/(sq)$.
Quindi, con questa definizione, si può anche definire lo sviluppo di un numero in base irrazionale.
Dati due numeri reali $a,b \in RR$ (che suppongo, per comodità, positivi), definisco il quoziente di $a$ su $b$ il più grande intero $q \in ZZ$ tale che $qb
Quindi, se applico l'algoritmo euclideo, la successione di resti che ottengo continua ad essere monotone decrescente ${r_n}_n$. In questo caso, però, può non esistere alcun $n$ tale che $r_n =0$ ossia la successione $r_n$ può essere sempre positiva. Valgono però questi fatti:
1) la successione $r_n$ e sempre positiva se e solo se $a/b$ è un numero irrazionale. in caso cotrario la successione $r_n$ è definitivamente nulla.
2) In ogni caso, successione $r_n$ converge e il suo limite è $0$.
Quindi, si potrebbe pensare, tra l'altro, di generalizzare la definizione di MCD tra i numeri reali. in questo modo:
se $a/b$ è irrazionale poniamo $MCD(a,b)=0$;
se $a/b$ è razionale allora, detto $N$ il più grande indice tale che $r_N>0$, poniamo $MCD(a,b)=r_N$ (proprio come si fa nel caso $a,b\in ZZ$).
Se $a,b\in ZZ$ il MCD così definito coincide con quello usuale, ma continua a possedere le stesse proprietà solo per $a,b\in QQ$.
Infine, per $a=r/s$ e $b=p/q$ con $r,s,p,q\in NN$ si ha
$MCD(r/s,p/q)=(MCD(rq,sp))/(sq)$.
Quindi, con questa definizione, si può anche definire lo sviluppo di un numero in base irrazionale.
Devo dire che è molto interessante come argomento.
Se usassimo una base irrazionale penso che tutti i numeri naturali li dovremmo scrivere con un numero infinito di cifre decimali, vero? E magari altri numeri che tradizionalmente consideriamo irrazionali con la nuova base "diventerebbero" naturali. Ma queste sono solo sparate senza fondamento...
Seguirò gli sviluppi della questione
Se usassimo una base irrazionale penso che tutti i numeri naturali li dovremmo scrivere con un numero infinito di cifre decimali, vero? E magari altri numeri che tradizionalmente consideriamo irrazionali con la nuova base "diventerebbero" naturali. Ma queste sono solo sparate senza fondamento...
Seguirò gli sviluppi della questione

"giuseppe87x":
Mi sembra che non sia possibile definire delle basi di numeri $a$ tali che $ainRR-{NN}$. Ad esempio se volessimo passare dal sistema decimale ad un sistema con base razionale, dovremmo determinare i resti delle divisioni successive. Ma ciò credo che non sia possibile perchè l'algoritmo euclideo è definito solo per i numeri naturali.
E allora? che problema c'è? generalizziamo l'algoritmo euclideo!

Sarà mica difficile!
Comunque è molto bella l'idea, potrebbe portare in posti inpensati; mi ricordo che al primo anno di università, durante algebra lineare i era venuta questa domanda: ma perché non possono esistere spazi vettoriali con dimensione frazionaria non intera? mi risposi che la dimensione è la cardinalità di una base, ovvero la mia domanda era equivalente ad ipotizzare insiemi con un numero non intero di elementi: accantonai l'idea.
Poi due anni dopo saltano fuori dimensioi strane che sostanzialmente sono quelle dei frattali: è un concetto completamente nuovo ma che ingloba quello vecchio di dimensione. Potebbe avvenire qualcosa del genere anche in questo caso.
Mi sembra che non sia possibile definire delle basi di numeri $a$ tali che $ainRR-{NN}$. Ad esempio se volessimo passare dal sistema decimale ad un sistema con base razionale, dovremmo determinare i resti delle divisioni successive. Ma ciò credo che non sia possibile perchè l'algoritmo euclideo è definito solo per i numeri naturali.