Bacini di Attrattività
Salve a tutti il mio problema è il seguente:
Dato un sistema dinamico monodimensionale non lineare tempo-invariante ed a tempo discreto (alias equazione di ricorrenza del tipo x(n+1)=f(x(n)), con f funzione non lineare , e continua).
Si suppone che tale equazione di ricorrenza abbia un certo insieme E di punti di equiibrio che soddisfano la seguente proprietà :
per ogni 'e' appartenente ad E => f(e)=e.
Si suppone che vi siano alcuni punti che siano stati di equilibrio attrattivi, (se x(0) è abbastanza vicino ad uno di essi , f^n(x(0))=e, per n -> +oo, quindi x(0) si trova all'interno del bacino di attrattività di e).
Dopo questa "breve" premessa, la domanda è "Come è possibile determinare i domini di attrattività dei singoli punti di equilibrio 'e', se questi sono attrattivi ??"
Dato un sistema dinamico monodimensionale non lineare tempo-invariante ed a tempo discreto (alias equazione di ricorrenza del tipo x(n+1)=f(x(n)), con f funzione non lineare , e continua).
Si suppone che tale equazione di ricorrenza abbia un certo insieme E di punti di equiibrio che soddisfano la seguente proprietà :
per ogni 'e' appartenente ad E => f(e)=e.
Si suppone che vi siano alcuni punti che siano stati di equilibrio attrattivi, (se x(0) è abbastanza vicino ad uno di essi , f^n(x(0))=e, per n -> +oo, quindi x(0) si trova all'interno del bacino di attrattività di e).
Dopo questa "breve" premessa, la domanda è "Come è possibile determinare i domini di attrattività dei singoli punti di equilibrio 'e', se questi sono attrattivi ??"
Risposte
A dire il vero non tenterei la via numerica a meno che non abbia proprio alcun altra possibilità, perchè secondo me è pressochè impossibile che per mappe monodimensionali di una certa semplicità non esista un metodo esatto.
Mmmm...
Non hai provato a considerare l'idea di risolvere numericamente questo problema? O, magari, ti serve proprio una soluzione analitica?
Non hai provato a considerare l'idea di risolvere numericamente questo problema? O, magari, ti serve proprio una soluzione analitica?
Guarda, si usa un approccio simile per lo studio della stabilità, (un po' come hai fatto per il modulo degli autovalori della Jacobiana calcolata in xn = e, alias il modulo della derivata calcolata in x = e). Si tratta di costruire una funzione "v" definita positiva in (xn) che soddisfi alcune proprietà (primo e secondo teorema della stabilità di Lyapunov), e una volta costuita la funzione
occorre applicare a questa l'operatore "delta" (DELTA(v) = v[x(n+1)]-v[x(n)] = v[f(x(n))]-v[x(n)]). Ora, occorre vedere se DELTA(v) è definito negativo in un certo intorno di 'e', se si, l'intorno dovrebbe fare parte del dominio di attrattività di e.
Ora non sembra complicato, ma trovare le funzioni di Lyapunov per mappe monodimensionali che non siano propriamente banali è dannatamente complicato .... quindi cercavo qualcosa di più "applicabile"... magari si possono fare delle considerazioni anche sulla derivata di Schwartz della funzione, o derivate seconde e terze .... mah.. vediamo se riesco ad inventarmi qualcosa...
occorre applicare a questa l'operatore "delta" (DELTA(v) = v[x(n+1)]-v[x(n)] = v[f(x(n))]-v[x(n)]). Ora, occorre vedere se DELTA(v) è definito negativo in un certo intorno di 'e', se si, l'intorno dovrebbe fare parte del dominio di attrattività di e.
Ora non sembra complicato, ma trovare le funzioni di Lyapunov per mappe monodimensionali che non siano propriamente banali è dannatamente complicato .... quindi cercavo qualcosa di più "applicabile"... magari si possono fare delle considerazioni anche sulla derivata di Schwartz della funzione, o derivate seconde e terze .... mah.. vediamo se riesco ad inventarmi qualcosa...
Si f^-1 e' l'inversa.
Per il resto non conosco altri metodi per trovare i bacini di attrazione: questo l'ho dovuto inventare io visto che l'argomento (sistemi discreti) e' stato affrontato mooolto a margine del corso e non si e' parlato di metodi per scrivere esplicitamente questi insiemi (che probabilmente esistono e sono piu' comodi da usare: il mio trasforma una successione di numeri in una ben piu' complicata successione di insiemi per cui e' a dir poco perverso [:D]).
Ci possiamo solo appellare a Luca Lussardi che sicuramente ne sa' piu' di me...
Il metodo di Liapunov??? Molto interessante! Non l'ho mai visto applicato al caso discreto com'e' che funziona?
Per il resto non conosco altri metodi per trovare i bacini di attrazione: questo l'ho dovuto inventare io visto che l'argomento (sistemi discreti) e' stato affrontato mooolto a margine del corso e non si e' parlato di metodi per scrivere esplicitamente questi insiemi (che probabilmente esistono e sono piu' comodi da usare: il mio trasforma una successione di numeri in una ben piu' complicata successione di insiemi per cui e' a dir poco perverso [:D]).
Ci possiamo solo appellare a Luca Lussardi che sicuramente ne sa' piu' di me...
Il metodo di Liapunov??? Molto interessante! Non l'ho mai visto applicato al caso discreto com'e' che funziona?
Grazie !
però come si definisce f^-1(x(n)) (...presumo funzione inversa ...)?? se f^2(x(n)) = f(f(x(n))).
Un metodo interessante davvero (io sono passato per le funzioni di Lyapunov quindi immagina ...), mi chiedevo però se ci fosse qualcosa di un po' più "analitico" ...
però come si definisce f^-1(x(n)) (...presumo funzione inversa ...)?? se f^2(x(n)) = f(f(x(n))).
Un metodo interessante davvero (io sono passato per le funzioni di Lyapunov quindi immagina ...), mi chiedevo però se ci fosse qualcosa di un po' più "analitico" ...
Un modo puo' essere quello di utilizzare il teorema delle contrazioni:
Se e e' un punto isolato di E ed e' attrattivo se f e' abbastanza regolare (e quindi si puo' studiare il carattere di e attraverso lo studio delle derivate) ed esiste un intorno di e U in cui la derivata di f si mantiene in modulo strettamente minore di 1 (se e' uguale a 1 la tecnica non si puo' usare se e' maggiore ovviamente e non e' attrattivo) allora possiamo essere sicuri che U c B(e) (U e' contenuto nel bacino di attrazione di e).
A questo punto possiamo allargare ulteriormente la nostra conoscenza di B(e) (che sara' necessariamente per difetto, ovvero potremo ricavare un sotto-insieme di B(e)) guardando l'insieme A_1 = f^-1 (U) ovvero la controimmagine di U. E' chiaro che siccome tutti i punti di A finiscono in U e tutti i punti di U prima o poi finiscono in e per il teorema delle contrazioni allora A_1 u U c B(e).
Infine possiamo creare questo "sistema dinamico di insiemi"
A_n = f^-1 (A_n-1)
Ed:
Questo e' un metodo utile per fare dimostrazioni o quando si tratta di mostrare che un punto appartiene ad un certo bacino di attrazione, spesso basta cercare anche un sottoinsieme di A_1 e dimostrare che il punto poi viene mandato da f in U.
Credo che esistano anche altri metodi...
Se e e' un punto isolato di E ed e' attrattivo se f e' abbastanza regolare (e quindi si puo' studiare il carattere di e attraverso lo studio delle derivate) ed esiste un intorno di e U in cui la derivata di f si mantiene in modulo strettamente minore di 1 (se e' uguale a 1 la tecnica non si puo' usare se e' maggiore ovviamente e non e' attrattivo) allora possiamo essere sicuri che U c B(e) (U e' contenuto nel bacino di attrazione di e).
A questo punto possiamo allargare ulteriormente la nostra conoscenza di B(e) (che sara' necessariamente per difetto, ovvero potremo ricavare un sotto-insieme di B(e)) guardando l'insieme A_1 = f^-1 (U) ovvero la controimmagine di U. E' chiaro che siccome tutti i punti di A finiscono in U e tutti i punti di U prima o poi finiscono in e per il teorema delle contrazioni allora A_1 u U c B(e).
Infine possiamo creare questo "sistema dinamico di insiemi"
A_n = f^-1 (A_n-1)
Ed:
Questo e' un metodo utile per fare dimostrazioni o quando si tratta di mostrare che un punto appartiene ad un certo bacino di attrazione, spesso basta cercare anche un sottoinsieme di A_1 e dimostrare che il punto poi viene mandato da f in U.
Credo che esistano anche altri metodi...
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