Archi e lunghezza poligonali
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema che non riesco a dimostrare spero mi possiate aiutare:
Si consideri l'arco di circonferenza corrispondente ad un angolo minore di 180 gradi. Chiamato G tale arco e fissati, arbitrariamente, n punti su G, si tracci la poligonale P ottenuta congiungendo gli n punti di G. Individuati,arbirtrariamente, m punti su G si tracci la poligonale T tale che: ogni segmento costituente la poligonale T sia tangente in uno degli m punti all'arco G. Si consideri ora la poligonale Q ottenuta congiungendo gli n+m punti di G e la poligonale R ottenuta congiungendo i segmenti tangenti a G negli n+m punti.
Dimostrare, senza far ricorso alla nozione di circonferenza quale elemento di separazione tra l'insieme delle poligonali inscritte a C e l'insieme delle poligonali circosrcritte a C, che tra le lunghezze di P Q R e T sussistono le seguenti relazioni:
Lunghezza di P minore o uguale a Lunghezza di Q minore o uguale a Lunghezza di R minore o uguale a Lunghezza di T.
=
Ringrazio sin d'ora quanti vorranno dedicare attenzione a questo problema.
Saluti vidom
Si consideri l'arco di circonferenza corrispondente ad un angolo minore di 180 gradi. Chiamato G tale arco e fissati, arbitrariamente, n punti su G, si tracci la poligonale P ottenuta congiungendo gli n punti di G. Individuati,arbirtrariamente, m punti su G si tracci la poligonale T tale che: ogni segmento costituente la poligonale T sia tangente in uno degli m punti all'arco G. Si consideri ora la poligonale Q ottenuta congiungendo gli n+m punti di G e la poligonale R ottenuta congiungendo i segmenti tangenti a G negli n+m punti.
Dimostrare, senza far ricorso alla nozione di circonferenza quale elemento di separazione tra l'insieme delle poligonali inscritte a C e l'insieme delle poligonali circosrcritte a C, che tra le lunghezze di P Q R e T sussistono le seguenti relazioni:
Lunghezza di P minore o uguale a Lunghezza di Q minore o uguale a Lunghezza di R minore o uguale a Lunghezza di T.
=
Ringrazio sin d'ora quanti vorranno dedicare attenzione a questo problema.
Saluti vidom
Risposte
quote:
Originally posted by infinito
Direi che mancano gli estremi (per esempio A e B) di G, altrimenti o non è chiaro il problema oppure (nel caso che le poligonali avesero per estremi il primo e l'ultimo dei punti fissati) è falso.
Suppongo quindi che i punti A e B debbano appartenere all'insieme di tutti i punti "fissati".
Effettivamente non è indicato esplicitamente che gli estremi dell’arco di circonferenza appartengono alle poligonali.
Tuttavia un indizio in tal senso proviene dall’aver scelto l’ampiezza dell’angolo al centro, relativo alla circonferenza a cui appartiene G, inferiore a 180°, ciò perché un angolo pari a 180° rende impossibile costruire per m=2 la poligonale T. Infatti, in tal caso i 2 punti m coincidono proprio con A e B e le tangenti condotte in A e B alla semicirconferenza sono parallele e dunque non formano una poligonale T; ma anche scegliere l’angolo superiore a 180° impedisce di tracciare la poligonale T per m=2, infatti, in quel caso le tangenti in A e B si intersecano in un punto che si affaccia all’arco dalla parte convessa e dunque al momento non è oggetto del nostro interesse.
quote:
Originally posted by infinito
Nel seguito dicendo "i punti di V" intendo "l'insieme dei punti che sono un estremo di uno dei segmenti della poligonale di V".
Immagino che la poligonale V sia una generica poligonale appartenete all’insieme {P, Q, R, T} ma, mi è poco chiaro cosa s’intenda con l’espressione posta tra virgolette. Di seguito chiarisco cosa non mi è chiaro.
Tento di capire quale sia “l'insieme dei punti che sono un estremo di uno dei segmenti della poligonale di V" che indico per brevità con I seguito da un pedice che indica la poligonale a cui si riferisce, quindi ad esempio, se si considera la poligonale T, s’indicherà il relativo insieme I con I_t. Esso costituisce l’insieme dei punti di T che sono estremi di almeno un segmento che forma la T. In base a questa definizione, i punti A e B appartengono sia a T, e dunque ad I_t, che a G, mentre tutti gli altri punti di I_t non sono punti di G.
Ma esiste almeno un altro modo di intendere l’insieme I_t.
Non prendendo alla lettera quanto indicato tra virgolette, (proprio perché vi sono le virgolette) si può supporre, infatti, che tutti i punti m appartengano ad I_t, quindi in I_t vi sono A e B e tutti gli altri punti di tangenza che sono quindi anche punti di G ma, l’insieme I_t conterrà sempre dei punti non appartenenti all’arco G.
[Interpretando così l’insieme I_t si suppone che il generico segmento S, di estremi S_j e S_k, appartenente alla poligonale T sia costituito a sua volta da due segmenti S1 e S2 in esso contenuti. S1 che ha per estremi uno degli estremi del segmento S, ad esempio S_j, ed il punto di tangenza di S con l’arco che indicherò con m* perché per costruzione è necessariamente uno dei punti m, l’altro segmento S2 invece ha per estremi m* e S_k.
I segmenti S della poligonale T aventi per estremi A o B rappresentano un caso degenere in cui uno solo dei due segmenti S1 o S2 si riduce ad un punto il punto A o B stesso.
Si osserva allora che secondo questa interpretazione ad I_t appartengono tutti i punti m ma anche tutti i punti S_j e S_k che rappresentano i reali estremi dei segmenti costituenti la poligonale T.] .
Alla luce di quanto indicato successivamente.
quote:
Originally posted by infinito
Considero due punti consecutivi di T, che chiamo T1 e T2.
Affermo che il tratto che li congiunge nella poligonale T è minore o uguale a quello nella poligonale Q infatti so che o in Q fra T1 e T2 o non ci sono alri punti (e quindi il tratto che li unisce è lo stesso)
Non mi è chiaro come sia possibile parlare di punti di Q fra T1 e T2 se i punti T1 e T2 o non appartengono entrambi all’arco (prima interpretazione dell’insieme I) oppure uno di essi non appartiene all’arco (seconda interpretazione dell’insieme I) mentre tutti i punti di I_q appartengono all’arco G perché Q è ottenuta per definizione congiungendo gli n+m punti di G e dunque gli estremi del suo generico segmento sono dei punti di G.
Ovviamente non avendo compreso questo punto mi è oscuro anche il resto della dimostrazione.
Ad ogni modo grazie dell’interessamento
Direi che mancano gli estremi (per esempio A e B) di G, altrimenti o non è chiaro il problema oppure (nel caso che le poligonali avesero per estremi il primo e l'ultimo dei punti fissati) è falso.
Suppongo quindi che i punti A e B debbano appartenere all'insieme di tutti i punti "fissati".
(Scusa, non faccio il disego, vado "a occhio", è tardi, ..., pèotrei dire "castronerie", ma ci provo.)
Nel seguito dicendo "i punti di V" intendo "l'insieme dei punti che sono un estremo di uno dei segmenti della poligonale di V".
I punti di P sono anche punti di Q. Considero due punti consecutivi di T, che chiamo T1 e T2.
Affermo che il tratto che li congiunge nella poligonale T è minore o uguale a quello nella poligonale Q. infatti so che o in Q fra T1 e T2 o non ci sono alri punti (e quindi il tratto che li unisce è lo stesso) o ce n'è uno solo (e quindi è minore, perché il lato di un triangolo è minore della somma degli altri due) o ce ne sono due (e quindi è minore perché è minore del caso in cui ne ne è solo il primo di questi due, e quest'ultimo è minore del caso in cui ci sono entrambi, ed il motivo è analogo: si ottiene una spezzata di cui il primo segmento è lo stesso per entrambe le spezzate, e il secondo è minore della somma degli altri due), o ce ne sono n (e quindi è minore e si dimostra per induzione con un procedimento "simile" a quanto fatto or ora).
Poiché in ogni tratto la lunghezza è minore o uguale tale lo è per la lunghezza complessiva.
Analogo discorso vale per dimostrare che R e T (con qualche differenza di notazione) .
Per Q e R il discorso è anche più semplice:
I punti di Q non , ma posso aggiungerli (unire i due insiemi) considerando R come una spezzata di segmenti consecutivi di cui sono allineati il secondo ed il terzo, il quato ed il quinto, .... .
... ("..." significa che la continui tu ...)
Mi pare convincente ... fammi sapere.
Suppongo quindi che i punti A e B debbano appartenere all'insieme di tutti i punti "fissati".
(Scusa, non faccio il disego, vado "a occhio", è tardi, ..., pèotrei dire "castronerie", ma ci provo.)
Nel seguito dicendo "i punti di V" intendo "l'insieme dei punti che sono un estremo di uno dei segmenti della poligonale di V".
I punti di P sono anche punti di Q. Considero due punti consecutivi di T, che chiamo T1 e T2.
Affermo che il tratto che li congiunge nella poligonale T è minore o uguale a quello nella poligonale Q. infatti so che o in Q fra T1 e T2 o non ci sono alri punti (e quindi il tratto che li unisce è lo stesso) o ce n'è uno solo (e quindi è minore, perché il lato di un triangolo è minore della somma degli altri due) o ce ne sono due (e quindi è minore perché è minore del caso in cui ne ne è solo il primo di questi due, e quest'ultimo è minore del caso in cui ci sono entrambi, ed il motivo è analogo: si ottiene una spezzata di cui il primo segmento è lo stesso per entrambe le spezzate, e il secondo è minore della somma degli altri due), o ce ne sono n (e quindi è minore e si dimostra per induzione con un procedimento "simile" a quanto fatto or ora).
Poiché in ogni tratto la lunghezza è minore o uguale tale lo è per la lunghezza complessiva.
Analogo discorso vale per dimostrare che R e T (con qualche differenza di notazione) .
Per Q e R il discorso è anche più semplice:
I punti di Q non , ma posso aggiungerli (unire i due insiemi) considerando R come una spezzata di segmenti consecutivi di cui sono allineati il secondo ed il terzo, il quato ed il quinto, .... .
... ("..." significa che la continui tu ...)
Mi pare convincente ... fammi sapere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo