Ancora un problema di maturita'...

[Sk_Anonymous]

Visto il proliferare di temi di matematica per la maturita' (ottimi quelli di Pieragalli),
ne posto uno anch'io.Adatto a maturandi e a maturati (ovvero "fracichi"...) che ancora si
interessano di tali questioni.
Il triangolo acutangolo ABC e' inscritto nella circonferenza $gamma$ di centro O
ed ha l'angolo ACB ampio 45°.Inoltre la retta AO taglia il lato BC nel punto D
tale che risulta $BD=25/4,DC=7/4$.
Risolvere i quesiti appresso indicati.
1) Calcolare il limite
$lim_(P->A)(PB-AB)/(PC-AC)$
ove P e' un punto dell'arco AC di $gamma$ non contenente il vertice B.
2)Dopo aver fissato nel piano del triangolo ABC il riferimento cartesiano avente come origine
il centro O di $gamma$ e come asse x la retta BO orientata da B verso O,si studi la funzione
definita come:
$f(x)=(10)/7*(24*bar(QA)^2+25*bar(QC)^2)/(bar(QB)^4)$
essendo Q un punto di $gamma$ situato nel primo quadrante del riferimento cartesiano scelto.
Dopo aver disegnato il diagramma di f(x) ,si calcoli l'area della parte finita di piano
sottesa da tale diagramma e riferita all'intervallo di esistenza di f(x).
karl

[Piera4]

Nessun maturando si fa avanti?
Per iniziare:

Essendo il triangolo acutangolo il punto O sarà situato al suo interno. Inoltre AOB = 90° (angolo al centro doppio dell'angolo alla circonferenza ACB = 45°). Indichiamo con k il punto d'incontro di AD con la circonferenza.
Sia $AD=x$
$OB=r$
$DK=2r-x$
Per il teorema delle due corde si ha
$AD*DK=BD*DC$
$x(2r-x)=175/16$.
Il triangolo BOD è rettangolo:
$OB^2+OD^2=BD^2$
$r^2+(x-r)^2=625/16$.
Mettendo a sistema le due relazioni trovate si ottiene:
$r=5$.