Amnesia momentanea
Quando si è di fronte ad una funzione e questa ci chiede di stabilire i punti di continuità e di derivabilità, che bisogna fare?
Risposte
no, mi sai rispondere ad "urgente condizioni"?
Al Poli di Milano ?
ing.elettronica
Sì, per capire che livello di conoscenza e di approfondimento è richiesto in modo da modulare le mie risposte in conseguenza.
Camillo
Camillo
grazie, per la risposta.
prima di dirti che facoltà fo, vorrei sapere il perchè me lo chiedi(per la difficoltà dellecose che ti chiedo?)
prima di dirti che facoltà fo, vorrei sapere il perchè me lo chiedi(per la difficoltà dellecose che ti chiedo?)
La funzione è simmetrica rispetto all'asse y, cioè è pari ( se cambi x in -x la funzione resta inalterata).
Si può allora iniziare a studiare per x > = 0 .
N.B. arcsin x è definito tra -pi/2 e +pi/2 .
Campo di esistenza : pi-4*arcsinx >=0 da cui :
pi/4 > = arcsinx e quindi 0
*Derivata ( per x > 0) ,y' =-2/(rad(1-x^2)*rad(pi-4arcsinx)); per x che tende a 0+ la derivata tende a -2/rad(pi).
Per x che tende a rad2/2 la derivata tende a - infinito e quindi la funzione non è derivabile .
*Derivata (per x<0) : y' = 2/(rad(1-x^2)*rad(4arcsinx+pi))
per x che tende a 0- la derivata vale 2/rad(pi): e quindi in x =0 si ha un punto angoloso (la derivata non esiste per x =0, la derivata destra è diversa da quella sinistra).
per x che tende a -rad(2)/2 la derivata tende a + infinito e quindi la funzione non è derivabile .
Conclusione : funzione continua in (-rad(2)/2 , rad(2)/2)
funzione derivabile nello stesso intervallo eccetto i punti di frontiera e il punto x=0.
Camillo
P.S . che facoltà fai ?
Si può allora iniziare a studiare per x > = 0 .
N.B. arcsin x è definito tra -pi/2 e +pi/2 .
Campo di esistenza : pi-4*arcsinx >=0 da cui :
pi/4 > = arcsinx e quindi 0
*Derivata ( per x > 0) ,y' =-2/(rad(1-x^2)*rad(pi-4arcsinx)); per x che tende a 0+ la derivata tende a -2/rad(pi).
Per x che tende a rad2/2 la derivata tende a - infinito e quindi la funzione non è derivabile .
*Derivata (per x<0) : y' = 2/(rad(1-x^2)*rad(4arcsinx+pi))
per x che tende a 0- la derivata vale 2/rad(pi): e quindi in x =0 si ha un punto angoloso (la derivata non esiste per x =0, la derivata destra è diversa da quella sinistra).
per x che tende a -rad(2)/2 la derivata tende a + infinito e quindi la funzione non è derivabile .
Conclusione : funzione continua in (-rad(2)/2 , rad(2)/2)
funzione derivabile nello stesso intervallo eccetto i punti di frontiera e il punto x=0.
Camillo
P.S . che facoltà fai ?
radice(pigreco-4 abs(arcosenx))
Primo fare il campo di esistenza , poi calcolare la derivata : non centra nulla porre la derivata a 0 ; la si pone quando si vuole trovare gli eventuali punti di max e minimo.
Se vuoi un aiuto che ti possa servire a qualcosa posta un esercizio : è molto più semplice per me spiegare e per te capire .
Camillo
Se vuoi un aiuto che ti possa servire a qualcosa posta un esercizio : è molto più semplice per me spiegare e per te capire .
Camillo
quindi la prima cosa da fare è come sempre il campo di esistenza, seguito (per rispondere ai quesiti che ti ho posto) dalla derivata della funzione posta =0. Mettiamo il caso che viene x0, quindi facciamo il limite con x--->xo della derivata. poi a seconda di cosa esce dico se è continua, derivabile e...
cmq grazie.
cmq grazie.
E' difficile continuare la discussione così in teoria : perchè non posti un esercizio reale, magari preso da qualche tema d'esame o di esercitazione e io posso svolgerlo e commentarlo passo a passo .
Devo fare una precisazione a quanto detto ieri sera : se la derivata in un punto x0 tende all'infinito allora la curva in quel punto ha un flesso verticale oppure una cuspide .
Provo adesso a fare qualche esempio semplice :
* funzione y = | x-2| .
Ricorda che |x-2| = x-2 per x>=2, mentre = -x+2 per x< 2.
la funzione è definita per qualunque valore di x in R ed è continua in tutto R (ok ?).
Nel punto x= 2 non è però derivabile in quanto la derivata destra vale 1 e la derivata sinistra vale -1( ricorda che la derivata di : x-2 vale 1 e la derivata di -x+2 vale -1).
La funzione è sempre positiva ed è nulla solo per x =2.
*Altro esempio : y=sqrt|x|( radice del modulo di x).
La funzione è definita in tutto R ed è ivi continua .
Nel punto x =0 la funzione non è derivabile in quanto la derivata( che vale (1/2)*1/sqrt(x)) per x che tende a 0+ tende a +inf, mentre per x che tende a 0- ( la derivata vale : (-1/2)*1/sqrt(-x))tende a -inf.
Si ha un punto di cuspide.
* Ultimo esempio ( ma è meglio che li faccia tu): y= x-3ln(1+e^x)
la funzione è definita in tutto R ed è ivi continua in quanto somma o differenza di funzioni continue in tutto R ( l'argomento del logaritmo naturale ( ln) è sempre positivo in quanto e^x è sempre positiva).
la derivata vale : (1-2e^x)/(1+e^x) ; quindi la funzione è sempre derivabile in tutto R ( il denominatore non si annulla mai ) .
Camillo
Devo fare una precisazione a quanto detto ieri sera : se la derivata in un punto x0 tende all'infinito allora la curva in quel punto ha un flesso verticale oppure una cuspide .
Provo adesso a fare qualche esempio semplice :
* funzione y = | x-2| .
Ricorda che |x-2| = x-2 per x>=2, mentre = -x+2 per x< 2.
la funzione è definita per qualunque valore di x in R ed è continua in tutto R (ok ?).
Nel punto x= 2 non è però derivabile in quanto la derivata destra vale 1 e la derivata sinistra vale -1( ricorda che la derivata di : x-2 vale 1 e la derivata di -x+2 vale -1).
La funzione è sempre positiva ed è nulla solo per x =2.
*Altro esempio : y=sqrt|x|( radice del modulo di x).
La funzione è definita in tutto R ed è ivi continua .
Nel punto x =0 la funzione non è derivabile in quanto la derivata( che vale (1/2)*1/sqrt(x)) per x che tende a 0+ tende a +inf, mentre per x che tende a 0- ( la derivata vale : (-1/2)*1/sqrt(-x))tende a -inf.
Si ha un punto di cuspide.
* Ultimo esempio ( ma è meglio che li faccia tu): y= x-3ln(1+e^x)
la funzione è definita in tutto R ed è ivi continua in quanto somma o differenza di funzioni continue in tutto R ( l'argomento del logaritmo naturale ( ln) è sempre positivo in quanto e^x è sempre positiva).
la derivata vale : (1-2e^x)/(1+e^x) ; quindi la funzione è sempre derivabile in tutto R ( il denominatore non si annulla mai ) .
Camillo
a giusto per la seconda parentesi: al punto di discontinuità scoperto nel controllo della continuità, giusto?
la so la teoria, quindi devo fare:
per la continuità: il limite per x che tenda a(a che cosa?) della funzione e poi vedo di che tipo è l'eventuale discontinuità.
per la deivabilità: devo calcolarimi la derivata, calcolare il campo di esistenza della derivata, e poi fare il limite della derivata, con x che tende a (a che cosa?).
p.s.Per le parentesi mi serve il tuo aiuto
per la continuità: il limite per x che tenda a(a che cosa?) della funzione e poi vedo di che tipo è l'eventuale discontinuità.
per la deivabilità: devo calcolarimi la derivata, calcolare il campo di esistenza della derivata, e poi fare il limite della derivata, con x che tende a (a che cosa?).
p.s.Per le parentesi mi serve il tuo aiuto
E' una bella amnesia ...
Beh adesso spiegarti cosa significa funzione continua è un po' lunga .. ci sono tre tipi di discontinuità , detto un po' alla buona è così :
Prima specie : la funzione fa un salto, cioè il limite destro e sinistro esistono e sono finiti ma diversi.
Seconda specie : il limite non esiste o se esiste è infinito.
Terza specie : il limite destro e sinistro esistono e sono uguali ma la funzione non è definita in quel punto : è detta discontinuità eliminabile perchè se definisco che la funzione in quel punto vale il valore del limite la funzione diventa continua.
Derivabilità : prima di tutto calcola la derivata e poi vai a vedere dove la derivata è definita e continua e dove ad es. è discontinua oppure assume valore infinito .
Se la derivata è discontinua( prima specie) in un punto allora la funzione ha un punto angoloso ( derivata destra diversa da derivata sinistra); se la derivata è infinita allora la funzione in quel punto ha una cuspide ( tangente verticale)... etc sarebbe lunga ...
Camillo
Beh adesso spiegarti cosa significa funzione continua è un po' lunga .. ci sono tre tipi di discontinuità , detto un po' alla buona è così :
Prima specie : la funzione fa un salto, cioè il limite destro e sinistro esistono e sono finiti ma diversi.
Seconda specie : il limite non esiste o se esiste è infinito.
Terza specie : il limite destro e sinistro esistono e sono uguali ma la funzione non è definita in quel punto : è detta discontinuità eliminabile perchè se definisco che la funzione in quel punto vale il valore del limite la funzione diventa continua.
Derivabilità : prima di tutto calcola la derivata e poi vai a vedere dove la derivata è definita e continua e dove ad es. è discontinua oppure assume valore infinito .
Se la derivata è discontinua( prima specie) in un punto allora la funzione ha un punto angoloso ( derivata destra diversa da derivata sinistra); se la derivata è infinita allora la funzione in quel punto ha una cuspide ( tangente verticale)... etc sarebbe lunga ...
Camillo
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