Altro risultato figo.. :D
Dopo tanto tempo che non mi sono fatto vedere/sentire con le mie cazzate (seee 
) ho da mostrarvi un risultato, a mio avviso molto singolare
$e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}= e^xlnx - E_{i}(x) = e^xlnx + \int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$
Prima di mandarmi a quel paese leggetevi i miei passaggi..
$\int e^xlnx dx$
Utilizzando l'integrazione per parti (prendiamo $e^x $ come fattore differenziale) abbiamo:
$\int e^xlnx dx = e^xlnx - \int e^x\frac{1}{x} dx$
Ora è facile vedere che prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, esso rimane uguale (è infatti noto che $int e^x dx = e^x$) ma invece il fattore $lnx$ viene derivato tante volte, procedendo all'infinito abbiamo $\int e^x lnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$ ($e^x$ possiamo anche portarlo fuori dalla sommatoria)
ORA, andando sull'integratore di Wolfram (è vero ho barato..
) ed inserendo QUESTO testo
Sono graditi commenti ed aperitivi.. (Sperando di non aver scritto troppo cazzate.. )
AGGIUNTA:
possiamo calcolare l'integrale $\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$ come $\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i} - e^xlnx = e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}(\frac{d}{dx})^{i}(lnx = e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i})$
EDIT: Ho modificato perchè mi sono reso conto di scrivere delle cazzate..
) ho da mostrarvi un risultato, a mio avviso molto singolare$e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}= e^xlnx - E_{i}(x) = e^xlnx + \int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$
Prima di mandarmi a quel paese leggetevi i miei passaggi..
$\int e^xlnx dx$
Utilizzando l'integrazione per parti (prendiamo $e^x $ come fattore differenziale) abbiamo:
$\int e^xlnx dx = e^xlnx - \int e^x\frac{1}{x} dx$
Ora è facile vedere che prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, esso rimane uguale (è infatti noto che $int e^x dx = e^x$) ma invece il fattore $lnx$ viene derivato tante volte, procedendo all'infinito abbiamo $\int e^x lnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$ ($e^x$ possiamo anche portarlo fuori dalla sommatoria)
ORA, andando sull'integratore di Wolfram (è vero ho barato..
) ed inserendo QUESTO testo E^x*Log[x]abbiamo $\int e^x lnx dx = e^xlnx - E_{i}(x) = e^xlnx + \int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$, dunque per la proprietà transitiva dell'uguaglianza abbiamo $e^xlnx + \int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$
Sono graditi commenti ed aperitivi..
(Sperando di non aver scritto troppo cazzate.. )AGGIUNTA:
possiamo calcolare l'integrale $\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$ come $\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i} - e^xlnx = e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}(\frac{d}{dx})^{i}(lnx = e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i})$
EDIT: Ho modificato perchè mi sono reso conto di scrivere delle cazzate..
Risposte
Il limite non si può portare così facilmente sotto il segno d'integrale per due motivi:
1) l'integrale è indefinito, quindi il suo "risultato" è una famiglia di funzioni non un numero (e quindi che senso ha dire che $\int e^x* x^(-oo)" d"x=0$?);
2) anche nel caso in cui l'integrale fosse definito, si devono verificare certe precise condizioni prima di passare al limite sotto il segno d'integrale (cioè devi verificare che la successione di funzioni $e^x*x^(-n)$ sia uniformemente convergente verso la funzione nulla nell'intervallo d'integrazioneper affermare che $lim_n \int_a^be^x*x^(-n)" d"x=0$).
Con i calcoli che hai fatto riesci a spostare indefinitamente il problema "a ritroso" sull'esponente $n$, ma non risolvi l'integrale in sé.
1) l'integrale è indefinito, quindi il suo "risultato" è una famiglia di funzioni non un numero (e quindi che senso ha dire che $\int e^x* x^(-oo)" d"x=0$?);
2) anche nel caso in cui l'integrale fosse definito, si devono verificare certe precise condizioni prima di passare al limite sotto il segno d'integrale (cioè devi verificare che la successione di funzioni $e^x*x^(-n)$ sia uniformemente convergente verso la funzione nulla nell'intervallo d'integrazioneper affermare che $lim_n \int_a^be^x*x^(-n)" d"x=0$).
Con i calcoli che hai fatto riesci a spostare indefinitamente il problema "a ritroso" sull'esponente $n$, ma non risolvi l'integrale in sé.
Allora ti chiedo, cosa intendi per passaggio al limite (scusa l'ignoranza.. 
)
P.S. :
Vabbè ora non me la prenderò mica per bazzecole come questa..
P.P.S.:
Forse, per passaggio al limite, intendi che prima devo indicare la successione per $n$ qualsiasi e dopo passo per $\lim_{n \to \infty} a_{n}$?
)P.S. :
"Sandokan.":
Non prendertela, ma siamo sempre là: il passaggio al limite non l'hai giustificato...
Vabbè ora non me la prenderò mica per bazzecole come questa..
P.P.S.:
Forse, per passaggio al limite, intendi che prima devo indicare la successione per $n$ qualsiasi e dopo passo per $\lim_{n \to \infty} a_{n}$?
Non prendertela, ma siamo sempre là: il passaggio al limite non l'hai giustificato...
"Sandokan.":
[quote="Mega-X"]Ma l'ho gia fatto
basta procedere per parti prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, così un fattore rimane sempre $e^x$ mentre l'altro fattore sarà la derivata n-esima di $lnx$ dunque $\int e^xlnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$
Ma il passaggio al limite non l'hai mica giustificato, o sbaglio?[/quote]
No non sbagli..
Cercherò di esprimermi al meglio (cosa che ahimè.. mi riesce un pò difficile)Il passaggio al limite è giustificato dal fatto che rimane sempre un integrale non svolto utilizzando la tecnica dell'integrazione per parti, e pertanto si viene ad avere, proseguendo con un numero molto grande di iterazioni
$\int e^xlnx dx = e^xlnx + e^x\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} ((-1)^{i+1} x^{-i}) - \int e^x x^{-(n+1)} dx$
ora facendo tendere $n$ ad infinito abbiamo:
$\int e^xlnx dx = e^xlnx +e^x\sum_{i=1}^{\infty} ((-1)^{i+1} x^{-i}) - \int e^x x^{-\infty)} dx$
l'ultimo termine è una potenza con esponente $-\infty$ e quindi si annulla annullando l'integrale, rimane solo
$\int e^xlnx dx = e^xlnx +e^x\sum_{i=1}^{\infty} ((-1)^{i+1} x^{-i})
Spero di essere stato esaustivo questa volta..
"Mega-X":
Ma l'ho gia fatto
basta procedere per parti prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, così un fattore rimane sempre $e^x$ mentre l'altro fattore sarà la derivata n-esima di $lnx$ dunque $\int e^xlnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$
Ma il passaggio al limite non l'hai mica giustificato, o sbaglio?
Ma l'ho gia fatto
basta procedere per parti prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, così un fattore rimane sempre $e^x$ mentre l'altro fattore sarà la derivata n-esima di $lnx$ dunque $\int e^xlnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$
basta procedere per parti prendendo sempre $e^x$ come fattore differenziale, così un fattore rimane sempre $e^x$ mentre l'altro fattore sarà la derivata n-esima di $lnx$ dunque $\int e^xlnx dx = e^xlnx + e^x\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}x^{-i}$
"Mega-X":
$\int e^x lnx dx = \sum_{i = 0}^{\infty} e^x (-1)^{i} (\frac{d}{dx})^{i}(lnx)$
Potresti dimostrare quest'uguaglianza?
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