“Algebra lineare” e “caratteristica di trasferimento”
L’Algebra lineare, che usiamo correntemente, è detta “lineare” perché le proprie “relazioni” hanno “caratteristica di trasferimento lineare”?
Questo implica che ogni “relazione algebrica” non può essere in grado di tener conto delle “distorsioni” dovute a “caratteristiche di trasferimento non lineari”?
Detto in altri termini, una qualsiasi “relazione di Algebra lineare” può descrivere compiutamente un fenomeno fisico che abbia caratteristiche di trasferimento non lineare?
Questo implica che ogni “relazione algebrica” non può essere in grado di tener conto delle “distorsioni” dovute a “caratteristiche di trasferimento non lineari”?
Detto in altri termini, una qualsiasi “relazione di Algebra lineare” può descrivere compiutamente un fenomeno fisico che abbia caratteristiche di trasferimento non lineare?
Risposte
"giacor86":
Non è vero che un fotone è studiato normalmente solo nel dominio del tempo. E non è vero che un fotone è un impulso ondulatorio. Anzi, se hai un impulso elettromagnetico ben localizzato nel tempo, questo per sua natura sarà composto da uno spettro molto ampio di frequenze (in termini ondulatori) e quindi (in termini quantistici) sarà composto da un gran numero di fotoni di tipo diverso. Ragionare sulle onde elettromagnetiche in termini di fotoni non è una cosa semplice, tantomeno lo è immaginare cosa sia un singolo fotone, e missà che il tuo problema è proprio qui.
Visto l’empasse in cui si trova attualmente la fisica teorica missà che il problema non sia tanto il mio quanto dello scienziato che vuole capire a fondo un fenomeno fisico.
Ho la nettissima impressione che il fisico teorico consideri il fenomeno quantistico “tout court” come un paradosso da risolvere senza accorgersi della possibilità di trovare contraddizioni logico matematiche le quali potrebbero essere utili per correggere la teoria.
Mi sembra che la luce sia studiata, dal fisico teorico, solo dal punto di vista del fotone (quanto) e della sua propagazione così come fosse una particella (paragonabile ad una palla da biliardo o una palla di cannone), trascurando la possibilità teorica di emissione e ricezione nell’ambito del continuo (analogica).
Cercherò di spiegarmi meglio considerando le varie possibilità di trasmissione e di ricezione (interazione) fra elettroni attraverso un mezzo lineare (il vuoto come giustamente affermi).
L’interazione è intesa chiaramente come trasmissione di un movimento da un elettrone ad un altro.
Possiamo catalogare i ricevitori e i trasmettitori in questo modo?
1. Elettroni liberi nello spazio
2. Elettroni parzialmente liberi sulla superficie di un conduttore
3. Elettroni vincolati attorno ad un nucleo (atomo)
4. Movimento di atomi
La cosa più interessante dal punto di vista quantistico è senza dubbio il n. 3.
In effetti mi sembra possa essere l’unico ricevitore o trasmettitore in grado di trattare l’energia in modo quantistico mentre gli altri possono trattare solo movimenti analogici.
Se hai una formazione che riguarda l’elettronica lineare e le reti di trasmissione si potrebbe approfondire il discorso di questo n. 3 facendone un parallelo con la teoria dell’oscillatore. Si potrebbe vedere che può essere visto anche come un filtro.
Quindi, secondo me, la luce può avere componenti sia analogici che quantistici trattati tutti, però, con la stessa filosofia ondulatoria. Questo perché il fenomeno quantistico è localizzato nell’atomo e non nel mezzo lineare (vuoto).
Una conferma di questo lo si potrebbe trovare nello spettro solare che è continuo per quel che riguarda il movimento caotico dovuto agli elettroni liberi (n. 1) mentre presenta righe di assorbimento per quel che riguarda il n. 3
Credo che ragionare in questi termini possa contribuire a risolvere il paradosso onda – corpuscolo e ad evitare contraddizioni logico – matematiche.
Che ne pensi?
Non è vero che un fotone è studiato normalmente solo nel dominio del tempo. E non è vero che un fotone è un impulso ondulatorio. Anzi, se hai un impulso elettromagnetico ben localizzato nel tempo, questo per sua natura sarà composto da uno spettro molto ampio di frequenze (in termini ondulatori) e quindi (in termini quantistici) sarà composto da un gran numero di fotoni di tipo diverso. Ragionare sulle onde elettromagnetiche in termini di fotoni non è una cosa semplice, tantomeno lo è immaginare cosa sia un singolo fotone, e missà che il tuo problema è proprio qui.
Comunque si, anche la propagazione della luce può risentire di effetti non lineari se si propaga in sistemi non lineari. Ciò che influenza la propagazione della luce è una non linearità nel tensore di suscettività dielettrica del mezzo in cui si propaga. Il vuoto è un mezzo lineare. Ci sono però dei cristalli (detti appunto "non lineari") che riescono a "distorcere" molto la propagazione della luce all''interno di essi, generando un sacco di fenomeni secondari, spesso molto interessanti. Penso ad esempio alla generazione di seconda armonica o all'effetto raman o cirp...
Comunque si, anche la propagazione della luce può risentire di effetti non lineari se si propaga in sistemi non lineari. Ciò che influenza la propagazione della luce è una non linearità nel tensore di suscettività dielettrica del mezzo in cui si propaga. Il vuoto è un mezzo lineare. Ci sono però dei cristalli (detti appunto "non lineari") che riescono a "distorcere" molto la propagazione della luce all''interno di essi, generando un sacco di fenomeni secondari, spesso molto interessanti. Penso ad esempio alla generazione di seconda armonica o all'effetto raman o cirp...
"giacor86":
Secondo me tu stai confondendo i sistemi algebrici con i sistemi dinamici. I primi sono sistemi di equazioni algebriche, i secondi sono sistemi di equazioni differenziali. L'algebra lineare studia i sistemi algebrici lineari, ossia sistemi di $n$ equazioni in $m$ incognite, tutte di "primo grado" come dici tu. Nella teoria dei segnali (ma non solo) invece si trattano i sistemi dinamici. Anche questi possono essere lineari o meno e possiedono tutte le cose che dici tu (funzione di trasferimento, risposta in frequenza etc etc). Poi la teoria dell'algebra lineare ci aiuta nella soluzione dei sistemi dinamici sia lineari (e ci da soluzioni esatte) sia non lineari (e ci da soluzioni approssimate). Il tipo di matematica da utilizzare per trattare i vari problemi dipende dal problema stesso. La teoria dei sistemi dinamici (sia lineari che no) trova un sacco di applicazioni anche in fisica, non solo nelle telecomunicazioni.
E' assolutamente sbagliato credere che i sistemi algebrici descrivano il mondo particellare e quelli dinamici il mondo ondulatorio.
OK hai perfettamente ragione per quanto riguarda la funzione di trasferimento, ma volevo puntare il dito anche sulla “caratteristica di trasferimento” che è la relazione fra le tensioni di ingresso e di uscita di un sistema e la cui non linearità provoca distorsioni che hanno a che fare con un discorso di prostaferesi (ed anche, quando la non linearità è massima, con le funzioni di Bessel).
Ora, dato che un sistema dinamico lo si può sempre vedere, tramite la trasformata del Fourier, sia nel dominio temporale $(t)$ che in quello spettrale $(\omega)$, anche il fotone, che è studiato normalmente solo nel primo dominio $(t)$, può essere studiato anche nel secondo $(\omega)$ come tutte le altre onde elettromagnetiche?
Se cosi è allora il fotone non è una particella ma un vero impulso ondulatorio, facente parte, come tutte le altre frequenze dello spettro, alle stesse caratteristiche e agli stessi problemi dovuti sia alle non linearità che all’irradiazione? (in questo ultimo caso viene trasmesso con potenza $h\nu$ ma viene ricevuto con potenza dipendente all’inverso del quadrato della distanza).
Secondo me tu stai confondendo i sistemi algebrici con i sistemi dinamici. I primi sono sistemi di equazioni algebriche, i secondi sono sistemi di equazioni differenziali. L'algebra lineare studia i sistemi algebrici lineari, ossia sistemi di $n$ equazioni in $m$ incognite, tutte di "primo grado" come dici tu. Nella teoria dei segnali (ma non solo) invece si trattano i sistemi dinamici. Anche questi possono essere lineari o meno e possiedono tutte le cose che dici tu (funzione di trasferimento, risposta in frequenza etc etc). Poi la teoria dell'algebra lineare ci aiuta nella soluzione dei sistemi dinamici sia lineari (e ci da soluzioni esatte) sia non lineari (e ci da soluzioni approssimate). Il tipo di matematica da utilizzare per trattare i vari problemi dipende dal problema stesso. La teoria dei sistemi dinamici (sia lineari che no) trova un sacco di applicazioni anche in fisica, non solo nelle telecomunicazioni.
E' assolutamente sbagliato credere che i sistemi algebrici descrivano il mondo particellare e quelli dinamici il mondo ondulatorio.
E' assolutamente sbagliato credere che i sistemi algebrici descrivano il mondo particellare e quelli dinamici il mondo ondulatorio.
"Rggb":
C'è un problema di terminologia, stai parlando del termine "lineare" in un senso che nulla c'entra con la definizione di Algebra Lineare.
L'algebra lineare non è "quella che usiamo correntemente" in opposizione ad un'algebra differente, è semplicemente una parte della matematica. Quelli che tu descrivi sono direi problemi di calcolo (aka analisi), altra parte della matematica.
Ovviamente c'è interscambio: non è che ogni parte della matematica è chiusa su sé stessa.
Volevo semplicemente arrivare a capire perché nel campo delle telecomunicazioni si utilizza la metodologia matematica che sfrutta sia la funzione che la caratteristica di trasferimento (due equazioni, legate fra loro, che servono a descrivere il mezzo trasmissivo in tutta la gamma delle frequenze da $0$ a $\infty$) mentre in quello della “fisica teorica”, che studia la luce a livello quantistico (fotone), la metodologia non è la stessa perché vengono usate singole equazioni.
La “funzione di trasferimento” descrive la risposta vettoriale (ampiezza e fase) in tutta la gamma delle frequenze, mentre la “caratteristica di trasferimento” descrive le non linearità del mezzo.
Non credo che una singola equazione sia in grado di descrivere completamente sia la non linearità che la risposta in frequenza.
Quindi, a lume di naso, è giusto dire che la metodologia utilizzata nel campo delle telecomunicazioni possa essere in grado di descrivere “completamente” il problema trasmissivo mentre quella utilizzata nel campo della fisica quantistica lo possa descrivere solo in modo “parziale e incompleto”?
Se così non fosse i due metodi matematici sarebbero perfettamente interscambiabili e non ci sarebbe dicotomia fisica fra onda e corpuscolo?
@ gugo82
ho cercato di non usare il grassetto e il corsivo, scusami se ho sottolineato per due volte.
E la super****la brematurata con scappellamento a destra?!?
Intendo: finché non fai un esempio concreto di quel che dici (cercando di usare il meno possibile grassetto, sottolineato e corsivo -ché incasinano la lettura, invece di facilitarla-), sarà difficile per noi capire dove vuoi andare a parare.
Intendo: finché non fai un esempio concreto di quel che dici (cercando di usare il meno possibile grassetto, sottolineato e corsivo -ché incasinano la lettura, invece di facilitarla-), sarà difficile per noi capire dove vuoi andare a parare.
C'è un problema di terminologia, stai parlando del termine "lineare" in un senso che nulla c'entra con la definizione di Algebra Lineare.
L'algebra lineare non è "quella che usiamo correntemente" in opposizione ad un'algebra differente, è semplicemente una parte della matematica. Quelli che tu descrivi sono direi problemi di calcolo (aka analisi), altra parte della matematica.
Ovviamente c'è interscambio: non è che ogni parte della matematica è chiusa su sé stessa.
L'algebra lineare non è "quella che usiamo correntemente" in opposizione ad un'algebra differente, è semplicemente una parte della matematica. Quelli che tu descrivi sono direi problemi di calcolo (aka analisi), altra parte della matematica.
Ovviamente c'è interscambio: non è che ogni parte della matematica è chiusa su sé stessa.
"Rggb":
Urgh?
L'algebra lineare è tale in quanto studia/descrive le equazioni lineari, i sistemi lineari, gli spazi lineari e via discorrendo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_lineare
L’Algebra lineare non credo possa descrivere solo equazioni di primo grado, credo che sia lineare anche se descrive equazioni di grado n. Sono le equazioni che possono non essere lineari.
Spero di riuscire a spiegare meglio ciò che intendo sperando di non essere farraginoso.
Se consideriamo un generico sistema al quale sia applicato un segnale x, chiamato anche eccitazione, e la cui risposta sia y allora il rapporto x/y rappresenta la caratteristica di trasferimento del sistema.
E’ chiaro che se il rapporto risulta costante per ogni valore delle variabili in gioco la caratteristica di trasferimento sarà una retta e perciò sarà lineare.
Ora se al posto del generico sistema mettiamo Algebra lineare potremo notare che il rapporto x/y sarà sempre uguale a 1 .
Quando il suddetto rapporto non è una costante credo si debba parlare di Algebra non lineare.
Le domande che ho posto in questo Topic dipendono da un paragone che sto facendo con i problemi delle reti di telecomunicazioni. In effetti in questo campo sono le non linearità della rete che provocando degradazione del segnale (distorsioni) risultano di primaria importanza ed è qui che vengono usate queste caratteristiche di trasferimento assieme a funzioni di trasferimento con le complicazioni matematiche che ne seguono (es. necessità di utilizzare la trasformata del Fourier o del Laplace ecc..).
Quindi Algebra lineare che è quella che usiamo correntemente e Algebra non lineare che viene usata nel campo delle Telecomunicazioni?
Quindi due approcci matematici diversi che se non se ne tiene in debito conto possono portare a risultati errati?
"oldman":
L’Algebra lineare, che usiamo correntemente, è detta “lineare” perché le proprie “relazioni” hanno “caratteristica di trasferimento lineare”?
Cosa vuol dire "caratteristica di trasferimento?" Usiamo correntemente in che senso? Nella matematica? Nelle applicazioni? Spiegati meglio.
Urgh?
L'algebra lineare è tale in quanto studia/descrive le equazioni lineari, i sistemi lineari, gli spazi lineari e via discorrendo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_lineare
L'algebra lineare è tale in quanto studia/descrive le equazioni lineari, i sistemi lineari, gli spazi lineari e via discorrendo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_lineare
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