Rapporto Fisica e Matematica
Ciao a tutti,
Qualcuno sa consigliarmi un testo che spieghi (anche in modo approfondito) le applicazioni delle teorie matematiche nella fisica e quindi che ne approfondisca il significato?
Spero d'essermi fatto capire
Grazie
Qualcuno sa consigliarmi un testo che spieghi (anche in modo approfondito) le applicazioni delle teorie matematiche nella fisica e quindi che ne approfondisca il significato?
Spero d'essermi fatto capire
Grazie
Risposte
Non avendo le conoscenze idonee, non so se affermare che la teoria degli insiemi fuzzy costituisce un'estensione della teoria classica degli insiemi (in cui vige, secondo il principio Aristotelico, la non contraddizione e il "tertium non datur"), è corretto.
Grazie della precedente risposta e del tempo concesso.
Grazie della precedente risposta e del tempo concesso.
si è sviluppata una matematica senza numeri, ed esistono logiche come il fuzzy che, non so se è corretto, non rientra nella matematica in senso classico del termine.
Qui mi devi spiegare meglio di cosa parli. La logica fuzzy poi e' matematica, che problemi dovrebbe avere?
E' sempre delicato rispondere a domande che involvono la presenza di una civilta' aliena, perche' si cade nell'errore di pensare che una forma di vita intelligente (intendo con cio': senziente -capace di formulare concetti astratti complessi-, autocosciente -consapevole della propria esistenza-, capace di modificare l'ambiente che la circonda secondo il suo desiderio, se lo vuole) sia per forza antropomorfa o riconducibile a schemi antropomorfi. Per quanto ne sappiamo, una ipotetica forma di vita intelligente potrebbe essere capace di "vedere" l'intero spettro elettromagnetico, e percepire un'onda radio allo stesso modo in cui io vedo le mie dita mentre scrivo. Oppure potrebbe essere costituita di "un cervello", inteso come una rete infinitamente estesa di elaboratori di informazioni che calcolano in parallelo. Se ricordo bene, c'e' stata una grande guerra tra forme di vita carbon-based e forme di vita silicon-based: http://it.wikipedia.org/wiki/Biochimiche_ipotetiche
Detto questo, mi sembrava di averlo scritto poco sopra, ora lo riporto:
Detto questo, mi sembrava di averlo scritto poco sopra, ora lo riporto:
Uno puo' creare dei modelli per i numeri reali dove hai dei pro, perche' certe cose si possono fare (derivare tutto ad libitum) e dei contro, perche' certe altre no (essenzialmente, tutto quello che discende da ragionamenti non costruttivi; nella fattispecie una misura di Lebesgue numerabilmente additiva).
Ai fini della discussione non cambia molto, solo non possiamo essere sicuri (e anzi, possiamo dire che con buona probabilita' NON sara' cosi') un eventuale civilta' aliena non esprimera' gli stessi concetti in un modo nemmeno lontanamente paragonabile, perche' per esempio avra' considerato una grezzura schifosa il fatto di approssimare la realta' ad uno spazio topologicamente denso. E allora avra' basato, per esempio, la propria geometria su spazi discreti, sviluppando la combinatoria e la formulazione statistica ad un livello di complessita' tale da renderci illeggibile checchessia, anche una volta tradotto, perche' semplicemente tra le mille strade possibili noi ne abbiamo scelta una che privilegia la descrizione di [tex]\mathbb R[/tex] con metodi topologici, e non gruppo-teoretici.
D'altro canto questa ipotetica razza aliena dovra', in qualche senso misterioso, riconoscere la nozione di "numero primo" in un modo molto piu' vicino a quello che conosciamo noi, e' cogente nel senso che siamo obbligati a prenderla in ogni pacchetto di teoremi che compriamo. I numeri primi non li "vogliamo" studiare, semplicemente ogni modello sufficientemente potente _deve_ contenere i termini minimi per poterne parlare: siamo costretti a prenderceli, che ci piacciano o no, non sono una teoria nata per spiegare un modello fisico, quanto piutttosto un interessante teratoma logico del modello che usiamo per la fisica.
Idem dicasi per esempio per l'approccio frequentista alla probabilita', oppure per la combinatoria elementare; palline in una scatola, il numero di casi favorevoli sul numero dei totali... Ovviamente si tratta di Matematica utile, ma e' tanto utile quanto congiunturale, non ha niente di universale. Perche' la visione definettiana della probabilita' ha perso? Forse perche' ci siamo accorti che il mondo _segue_ effettivamente delle regole per cui vale la numerabile additivita' degli eventi? Ebbene, no! Anzi. Pero' disponevamo/disponiamo di un linguaggio piu' potente per universi sigma-additivi, e questo (non altro) ha fatto la differenza. Se proprio ne deve esistere una, la "vera" probabilita' e' quella di Kolmogorov, ma anche li', tutto parte da certi assiomi che volevano inglobare la probabilita' classica, riscrivere la teoria della misura di Lebesgue, piu' altre cosette.
grazie,
ma in particolare avevo una curiosità precisa : "... la matematica impiegata oggi è l’unica possibile ?", forse la domanda è formulata male, mi spiego meglio.
Suppongo che la matematica sia un insieme troppo ampio per rispondere con precisione e nonostante alcuni concetti primitivi come i numeri naturali siano verità universali altre discipline matematiche si sono sviluppate per spiegare le leggi della fisica (ad es. calcolo differenziale) del nostro universo; si è sviluppata una matematica senza numeri, ed esistono logiche come il fuzzy che, non so se è corretto, non rientra nella matematica in senso classico del termine.
Con le medesime premesse di suddetti concetti definiti come verità universali, sarebbe stato possibile, nel nostro mondo, lo sviluppo di una matematica diversa da come la conosciamo oggi (ad esempio il calcolo differenziale è l'unico strumento idoneo a spiegare alcune leggi fisiche ?) e quindi, sarebbe possibile che qualche civiltà aliena avesse sviluppato una matematica diversa dalla nostra con le medesime leggi fisiche del nostro universo ?
ma in particolare avevo una curiosità precisa : "... la matematica impiegata oggi è l’unica possibile ?", forse la domanda è formulata male, mi spiego meglio.
Suppongo che la matematica sia un insieme troppo ampio per rispondere con precisione e nonostante alcuni concetti primitivi come i numeri naturali siano verità universali altre discipline matematiche si sono sviluppate per spiegare le leggi della fisica (ad es. calcolo differenziale) del nostro universo; si è sviluppata una matematica senza numeri, ed esistono logiche come il fuzzy che, non so se è corretto, non rientra nella matematica in senso classico del termine.
Con le medesime premesse di suddetti concetti definiti come verità universali, sarebbe stato possibile, nel nostro mondo, lo sviluppo di una matematica diversa da come la conosciamo oggi (ad esempio il calcolo differenziale è l'unico strumento idoneo a spiegare alcune leggi fisiche ?) e quindi, sarebbe possibile che qualche civiltà aliena avesse sviluppato una matematica diversa dalla nostra con le medesime leggi fisiche del nostro universo ?
Il concetto di cardinalita' si basa sulla possibilita' di separare da un "resto" gli elementi di un certo conglomerato di oggetti; il processo del contare quindi si basa su un atto di discernimento. Qui c'e' quel che voglio contare, li' metto il resto. Qui ci sono le mele, sul tavolo; ma il tavolo non fa parte del computo che andro' a fare. Personalmente mi ha sempre stupito la faciloneria con cui sempre si soprassiede a trovare i moventi di questo complicato processo di cernita: da una simile inquietudine e' stato probabilmente mosso Platone, quando ha elaborato la sua dottrina. Come facciamo a riconoscere le cose? Come facciamo a sapere che stiamo davvero contando tutte (e sole!) le occorrenze di un dato oggetto, in un dato conglomerato, in un dato punto dello spaziotempo? Come facciamo soprattutto ad ovviare all'evidente problema che, in tutto il vasto universo, non esistono due mele uguali? Dobbiamo operare delle identificazioni, definire (meglio se intensionalmente, per ragioni di tempo) delle proprieta' a meno delle quali vogliamo che le mele siano "isomorfe": l'uguaglianza strictu sensu in fatti non esiste, nel mondo fisico, o perlomeno non esiste in quanto proprieta' confutabile in un tempo finito. Si potrebbe allora dire che Dio ha creato il concetto di classe di equivalenza (altro non sono, i numeri naturali), e tutto il resto e' opera dell'uomo... ma personalmente trovo molto piu' soddisfacente pensare che Dio stesso sia l'elemento di un qualche quoziente.
I numeri negativi poi si basano su una postulazione molto complicata, lo zero. Matematizzare il concetto di assenza non si puo' basare su nessuna esperienza concreta (il vuoto, strictu sensu, non esiste); lo si usa perche' solitamente e' comodo lavorare con gruppi, invece che con monoidi.
I numeri negativi poi si basano su una postulazione molto complicata, lo zero. Matematizzare il concetto di assenza non si puo' basare su nessuna esperienza concreta (il vuoto, strictu sensu, non esiste); lo si usa perche' solitamente e' comodo lavorare con gruppi, invece che con monoidi.
Buon giorno,
Citazione : “Se le leggi del mondo fossero diverse, semplicemente avremmo una matematica diversa, e di nuovo ci chiederemmo per quale motivo il mondo si adegua a quelle leggi con quell'incredibile livello di precisione. La matematica e' un linguaggio che e' stato costruito _apposta_ per spiegare il mondo; ha presto acquistato vita propria, ma e' stato creato per quello.”
Mi sembra di capire che indipendentemente dalle leggi fisiche che regolano l’universo di riferimento ci sono alcune verità assolute come i numeri naturali e i numeri primi. “Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo” disse Kronecker; un insieme può avere cardinalità 2, 5, 2303 ma non può avere cardinalità - 3, i numeri negativi che invece sono un’invenzione umana.
Sul cosa sia la matematica, i pareri possono essere diversi, senza disquisire su ciò, si può affermare che ci siano due pensieri distinti : un aspetto Platonico che asserisce che da qualche parte gli enti matematici esistono, basta trovarli e questi sono veri indipendentemente dall’universo in cui ci si trova e un aspetto Formalista di interpretazione umanistico Aristotelico cioè sia il frutto dell’attività umana ? Una visione esclude l’altra oppure sono complementari ? Se sono complementari la matematica impiegata oggi è l’unica possibile ?
Citazione : “Se le leggi del mondo fossero diverse, semplicemente avremmo una matematica diversa, e di nuovo ci chiederemmo per quale motivo il mondo si adegua a quelle leggi con quell'incredibile livello di precisione. La matematica e' un linguaggio che e' stato costruito _apposta_ per spiegare il mondo; ha presto acquistato vita propria, ma e' stato creato per quello.”
Mi sembra di capire che indipendentemente dalle leggi fisiche che regolano l’universo di riferimento ci sono alcune verità assolute come i numeri naturali e i numeri primi. “Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo” disse Kronecker; un insieme può avere cardinalità 2, 5, 2303 ma non può avere cardinalità - 3, i numeri negativi che invece sono un’invenzione umana.
Sul cosa sia la matematica, i pareri possono essere diversi, senza disquisire su ciò, si può affermare che ci siano due pensieri distinti : un aspetto Platonico che asserisce che da qualche parte gli enti matematici esistono, basta trovarli e questi sono veri indipendentemente dall’universo in cui ci si trova e un aspetto Formalista di interpretazione umanistico Aristotelico cioè sia il frutto dell’attività umana ? Una visione esclude l’altra oppure sono complementari ? Se sono complementari la matematica impiegata oggi è l’unica possibile ?
"magicworld":
Killing Buddha, è sempre piacevole leggerti!
Comunque, i libri di Landau non li considererei ''cosa passata''... Però c'è anche il Goldstein, che ne pensate?
E' li nella mia libreria che mi aspetta!
Killing Buddha, è sempre piacevole leggerti!
Comunque, i libri di Landau non li considererei ''cosa passata''... Però c'è anche il Goldstein, che ne pensate?
Comunque, i libri di Landau non li considererei ''cosa passata''... Però c'è anche il Goldstein, che ne pensate?
Odiarti.. no.. ma quanto parli difficile 
Comunque hai espresso dei concetti che mi hanno aiutato e credo probabilmente evitato del lavoro di per sè inutile.
Grazie.
Comunque hai espresso dei concetti che mi hanno aiutato e credo probabilmente evitato del lavoro di per sè inutile.
Grazie.
(mi odierete profondamente ora...)
Domanda difficile da esaurire in poche parole. Provo a riassumere quanto ho detto da un'altra parte, partendo dal noto articolo di Wigner http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDram ... igner.html
Partiamo da un postulato: c'e' una freccia a doppio senso tra mondo e modello che descrive il mondo; il primo, in quanto somma non-lineare di eventi, non e' logicamente conoscibile ma solo esperibile per sensazione diretta, e non e' comunicabile intrinsecamente ma solo figurabile per analogia.
Da un lato si e' notato operativamente che pero' esso si comporta come se al suo interno vigessero regole che sappiamo scrivere in modo coerente e (spesso) conciso (per esempio l'algebra vettoriale, la nozione di gruppo, incarnano dei principi "fisici"). In questo senso la trasposizione delle idee astratte, a diventare un modello fisico e' un'attivita' altamente eidetica della mente.
D'altro canto e' anche vero che, come diceva Dirac, "se e' un fatto che il matematico gioca un gioco di cui ha egli stesso fissato le regole, e' altrettanto noto che irrimediabilmente le regole che e' fruttuoso fissare sono proprio quelle indotte dall'esperienza fisica". Questo e' vero sia nel senso che molto spesso un'idea fisica poco (risp. molto) chiara induce una o piu' generalizzazioni dal punto di vista matematico, che la rendono un'idea molto (risp. poco) chiara in quel campo, sia nel senso che alcune delle "metaregole" cui ci troviamo davanti sono le stesse nelle due discipline. In poche parole dunque la matematica e' utile a descrivere la natura, almeno tanto quanto il comportamento della natura aiuta a scoprire nuova matematica.
L'"irragionevole efficacia" ora e' tutt'altro che irragionevole: da una parte segue da come abbiamo deciso di organizzare il nostro pensiero (e che la Matematica sia un'attivita' di puro pensiero, al pari della filosofia, e' un fatto), e dall'altra segue dal fatto che l'Universo si muove secondo un evidente "principio" (e' difficile tradurlo in italiano) che e' piuttosto simile al nostro concetto di "simmetria". Un cinese antico lo avrebbe chiamato "li", esprimendolo con un ideogramma che ricorda le venature del legno, o le striature delle fibre muscolari; e' un ordine a-cosciente, a-logico, strutturato secondo leggi intrinseche.
per quale motivo il mondo si lascia descrivere da leggi matematiche? Risposta: si sottintende un principio antropico. Se le leggi del mondo fossero diverse, semplicemente avremmo una matematica diversa, e di nuovo ci chiederemmo per quale motivo il mondo si adegua a quelle leggi con quell'incredibile livello di precisione. La matematica e' un linguaggio che e' stato costruito _apposta_ per spiegare il mondo; ha presto acquistato vita propria, ma e' stato creato per quello.
Quindi se vogliamo il punto non e' tanto "perche' il mondo parla leggi matematiche?"; la risposta e' piuttosto semplice in una prospettiva diacronica. Serviva un linguaggio che descrivesse _quel_ mondo, non altri, e quello e' stato ideato. E poi, superata la fase infantile (allo stesso modo in cui nei primi anni di elementari ci concentriamo sulla tecnica, e poi evolviamo la grammatica) ci si e' resi conto che limitarsi al mondo concreto era limitativo e assurdamente parzializzante, considerate le potenzialita' espressive del linguaggio, che e' diventato dunque idioma a se' stante. Chi localizza questa evoluzione troppo lontano nel passato non si dimentichi che le grandes ecole della Francia napoleonica servivano espressamente a formare genieri, idraulici, meccanici, elettricisti.
Prevengo anche la critica un po' ingenua per cui si potrebbe dire che questa visione non spiega il motivo per cui, avendo studiato certe strutture (p. es. gli spazi a geometria non piatta) li si riscopra dopo nel mondo concreto: "un matematico e' un sarto impazzito, che si diverte a confezionare tutti i vestiti possibili, e poi scarta quelli che hanno troppe maniche per essere indossati": in tale ottica, se e' vero che viene creato "tutto" quello che e' logicamente esprimibile, e' un fatto di tempo, prima o poi si produrranno anche strutture che si attagliano alla realta'.
Parliamo poi del platonismo, per cui le costruzioni matematiche sono antecedenti il pensiero: quest'idea e' stata sposata dalle migliori menti matematiche del passato, ma io spero che il futuro ce ne liberi, o comunque ci obblighi a prenderla con le pinze, facendo perlomeno dei doverosi distinguo. L'analisi matematica non ha niente di "intrinseco". E' uno tra tanti sistemi logici-formali-tecnici che vogliono modellizzare, astraendolo, un certo corpus di fenomeni che siamo "fisicamente abituati" a riconoscere a livello esperienziale. Ed e' essenzialmente questo il motivo per cui e' una teoria cosi' vasta, ramificata, usata trasversalmente dai matematici ai chimici ai finanzieri ai biologi ai linguisti: perche' _serve_, e' stata fatta sul campo per risolvere problemi concreti.
Non per altro: il teorema fondamentale del calcolo ha delle motivazioni molto profonde (sepolte nella definizione di varieta': "per quale motivo" una varieta' e' quello? Perche' serve una nozione "ragionevole" di spazio, ne' troppo astrusa ne' troppo restrittiva), ma nessuna che sia scolpita nelle viscere dell'Essere a caratteri cubitali. Serve un modello in cui possiamo far quadrare i conti calcolando come ci pare somme infinite, aree sottese a curve, incrementi infinitesimi trattati come finiti, dunque si usa quello, ma non e' nemmeno l'unico (oh, se sapeste _quanto_ non e' l'unico!).
D'altra parte e' sciocco non ammettere che entita' come (ad esempio) i numeri primi, o l'insieme di Mandelbrot _abbiano_ una loro cogenza intrinseca, quelli li abbiamo scoperti, erano li', un alieno li troverebbe allo stesso modo, modulo la traduzione dei concetti che li spiegano nel suo ignoto linguaggio.
Faccio due esempi: ci sono "modelli" per l'analisi matematica dove ogni funzione derivabile e' analitica, e sono quelle dove gli infinitesimi leibniziani esistono in atto; personalmente li trovo infinitamente piu' intuitivi di quelli insegnati oggi nelle scuole, perche' "catturano" l'intuizione fisica del concetto di derivata (ossia la formulazione newtoniana, geometrica) e la algebrizzano (catturando l'intuizione "operatoriale" leibniziana). A chi trovi questa affermazione eccessiva, consiglio la lettura delle prime pagine del librodi Anders Kock, Synthetic Differential Geometry.
Di converso, il numero 7 e' primo che si viva qui o che si viva su Zeta-centauri; e un numero complesso sta o meno sul bordo dell'insieme di Mandelbrot a prescindere che tu creda in Chthulu o nel mostro di spaghetti.
Uno puo' creare dei modelli per i numeri reali dove hai dei pro, perche' certe cose si possono fare (derivare tutto ad libitum) e dei contro, perche' certe altre no (essenzialmente, tutto quello che discende da ragionamenti non costruttivi; nella fattispecie una misura di Lebesgue numerabilmente additiva).
Ai fini della discussione non cambia molto, solo non possiamo essere sicuri (e anzi, possiamo dire che con buona probabilita' NON sara' cosi') un eventuale civilta' aliena non esprimera' gli stessi concetti in un modo nemmeno lontanamente paragonabile, perche' per esempio avra' considerato una grezzura schifosa il fatto di approssimare la realta' ad uno spazio topologicamente denso. E allora avra' basato, per esempio, la propria geometria su spazi discreti, sviluppando la combinatoria e la formulazione statistica ad un livello di complessita' tale da renderci illeggibile checchessia, anche una volta tradotto, perche' semplicemente tra le mille strade possibili noi ne abbiamo scelta una che privilegia la descrizione di $\mathbb R$ con metodi topologici, e non gruppo-teoretici.
D'altro canto questa ipotetica razza aliena dovra', in qualche senso misterioso, riconoscere la nozione di "numero primo" in un modo molto piu' vicino a quello che conosciamo noi, e' cogente nel senso che siamo obbligati a prenderla in ogni pacchetto di teoremi che compriamo. I numeri primi non li "vogliamo" studiare, semplicemente ogni modello sufficientemente potente _deve_ contenere i termini minimi per poterne parlare: siamo costretti a prenderceli, che ci piacciano o no, non sono una teoria nata per spiegare un modello fisico, quanto piutttosto un interessante teratoma logico del modello che usiamo per la fisica.
Idem dicasi per esempio per l'approccio frequentista alla probabilita', oppure per la combinatoria elementare; palline in una scatola, il numero di casi favorevoli sul numero dei totali... Ovviamente si tratta di Matematica utile, ma e' tanto utile quanto congiunturale, non ha niente di universale. Perche' la visione definettiana della probabilita' ha perso? Forse perche' ci siamo accorti che il mondo _segue_ effettivamente delle regole per cui vale la numerabile additivita' degli eventi? Ebbene, no! Anzi. Pero' disponevamo/disponiamo di un linguaggio piu' potente per universi sigma-additivi, e questo (non altro) ha fatto la differenza. Se proprio ne deve esistere una, la "vera" probabilita' e' quella di Kolmogorov, ma anche li', tutto parte da certi assiomi che volevano inglobare la probabilita' classica, riscrivere la teoria della misura di Lebesgue, piu' altre cosette.
Partiamo da un postulato: c'e' una freccia a doppio senso tra mondo e modello che descrive il mondo; il primo, in quanto somma non-lineare di eventi, non e' logicamente conoscibile ma solo esperibile per sensazione diretta, e non e' comunicabile intrinsecamente ma solo figurabile per analogia.
Da un lato si e' notato operativamente che pero' esso si comporta come se al suo interno vigessero regole che sappiamo scrivere in modo coerente e (spesso) conciso (per esempio l'algebra vettoriale, la nozione di gruppo, incarnano dei principi "fisici"). In questo senso la trasposizione delle idee astratte, a diventare un modello fisico e' un'attivita' altamente eidetica della mente.
D'altro canto e' anche vero che, come diceva Dirac, "se e' un fatto che il matematico gioca un gioco di cui ha egli stesso fissato le regole, e' altrettanto noto che irrimediabilmente le regole che e' fruttuoso fissare sono proprio quelle indotte dall'esperienza fisica". Questo e' vero sia nel senso che molto spesso un'idea fisica poco (risp. molto) chiara induce una o piu' generalizzazioni dal punto di vista matematico, che la rendono un'idea molto (risp. poco) chiara in quel campo, sia nel senso che alcune delle "metaregole" cui ci troviamo davanti sono le stesse nelle due discipline. In poche parole dunque la matematica e' utile a descrivere la natura, almeno tanto quanto il comportamento della natura aiuta a scoprire nuova matematica.
L'"irragionevole efficacia" ora e' tutt'altro che irragionevole: da una parte segue da come abbiamo deciso di organizzare il nostro pensiero (e che la Matematica sia un'attivita' di puro pensiero, al pari della filosofia, e' un fatto), e dall'altra segue dal fatto che l'Universo si muove secondo un evidente "principio" (e' difficile tradurlo in italiano) che e' piuttosto simile al nostro concetto di "simmetria". Un cinese antico lo avrebbe chiamato "li", esprimendolo con un ideogramma che ricorda le venature del legno, o le striature delle fibre muscolari; e' un ordine a-cosciente, a-logico, strutturato secondo leggi intrinseche.
per quale motivo il mondo si lascia descrivere da leggi matematiche? Risposta: si sottintende un principio antropico. Se le leggi del mondo fossero diverse, semplicemente avremmo una matematica diversa, e di nuovo ci chiederemmo per quale motivo il mondo si adegua a quelle leggi con quell'incredibile livello di precisione. La matematica e' un linguaggio che e' stato costruito _apposta_ per spiegare il mondo; ha presto acquistato vita propria, ma e' stato creato per quello.
Quindi se vogliamo il punto non e' tanto "perche' il mondo parla leggi matematiche?"; la risposta e' piuttosto semplice in una prospettiva diacronica. Serviva un linguaggio che descrivesse _quel_ mondo, non altri, e quello e' stato ideato. E poi, superata la fase infantile (allo stesso modo in cui nei primi anni di elementari ci concentriamo sulla tecnica, e poi evolviamo la grammatica) ci si e' resi conto che limitarsi al mondo concreto era limitativo e assurdamente parzializzante, considerate le potenzialita' espressive del linguaggio, che e' diventato dunque idioma a se' stante. Chi localizza questa evoluzione troppo lontano nel passato non si dimentichi che le grandes ecole della Francia napoleonica servivano espressamente a formare genieri, idraulici, meccanici, elettricisti.
Prevengo anche la critica un po' ingenua per cui si potrebbe dire che questa visione non spiega il motivo per cui, avendo studiato certe strutture (p. es. gli spazi a geometria non piatta) li si riscopra dopo nel mondo concreto: "un matematico e' un sarto impazzito, che si diverte a confezionare tutti i vestiti possibili, e poi scarta quelli che hanno troppe maniche per essere indossati": in tale ottica, se e' vero che viene creato "tutto" quello che e' logicamente esprimibile, e' un fatto di tempo, prima o poi si produrranno anche strutture che si attagliano alla realta'.
Parliamo poi del platonismo, per cui le costruzioni matematiche sono antecedenti il pensiero: quest'idea e' stata sposata dalle migliori menti matematiche del passato, ma io spero che il futuro ce ne liberi, o comunque ci obblighi a prenderla con le pinze, facendo perlomeno dei doverosi distinguo. L'analisi matematica non ha niente di "intrinseco". E' uno tra tanti sistemi logici-formali-tecnici che vogliono modellizzare, astraendolo, un certo corpus di fenomeni che siamo "fisicamente abituati" a riconoscere a livello esperienziale. Ed e' essenzialmente questo il motivo per cui e' una teoria cosi' vasta, ramificata, usata trasversalmente dai matematici ai chimici ai finanzieri ai biologi ai linguisti: perche' _serve_, e' stata fatta sul campo per risolvere problemi concreti.
Non per altro: il teorema fondamentale del calcolo ha delle motivazioni molto profonde (sepolte nella definizione di varieta': "per quale motivo" una varieta' e' quello? Perche' serve una nozione "ragionevole" di spazio, ne' troppo astrusa ne' troppo restrittiva), ma nessuna che sia scolpita nelle viscere dell'Essere a caratteri cubitali. Serve un modello in cui possiamo far quadrare i conti calcolando come ci pare somme infinite, aree sottese a curve, incrementi infinitesimi trattati come finiti, dunque si usa quello, ma non e' nemmeno l'unico (oh, se sapeste _quanto_ non e' l'unico!).
D'altra parte e' sciocco non ammettere che entita' come (ad esempio) i numeri primi, o l'insieme di Mandelbrot _abbiano_ una loro cogenza intrinseca, quelli li abbiamo scoperti, erano li', un alieno li troverebbe allo stesso modo, modulo la traduzione dei concetti che li spiegano nel suo ignoto linguaggio.
Faccio due esempi: ci sono "modelli" per l'analisi matematica dove ogni funzione derivabile e' analitica, e sono quelle dove gli infinitesimi leibniziani esistono in atto; personalmente li trovo infinitamente piu' intuitivi di quelli insegnati oggi nelle scuole, perche' "catturano" l'intuizione fisica del concetto di derivata (ossia la formulazione newtoniana, geometrica) e la algebrizzano (catturando l'intuizione "operatoriale" leibniziana). A chi trovi questa affermazione eccessiva, consiglio la lettura delle prime pagine del librodi Anders Kock, Synthetic Differential Geometry.
Di converso, il numero 7 e' primo che si viva qui o che si viva su Zeta-centauri; e un numero complesso sta o meno sul bordo dell'insieme di Mandelbrot a prescindere che tu creda in Chthulu o nel mostro di spaghetti.
Uno puo' creare dei modelli per i numeri reali dove hai dei pro, perche' certe cose si possono fare (derivare tutto ad libitum) e dei contro, perche' certe altre no (essenzialmente, tutto quello che discende da ragionamenti non costruttivi; nella fattispecie una misura di Lebesgue numerabilmente additiva).
Ai fini della discussione non cambia molto, solo non possiamo essere sicuri (e anzi, possiamo dire che con buona probabilita' NON sara' cosi') un eventuale civilta' aliena non esprimera' gli stessi concetti in un modo nemmeno lontanamente paragonabile, perche' per esempio avra' considerato una grezzura schifosa il fatto di approssimare la realta' ad uno spazio topologicamente denso. E allora avra' basato, per esempio, la propria geometria su spazi discreti, sviluppando la combinatoria e la formulazione statistica ad un livello di complessita' tale da renderci illeggibile checchessia, anche una volta tradotto, perche' semplicemente tra le mille strade possibili noi ne abbiamo scelta una che privilegia la descrizione di $\mathbb R$ con metodi topologici, e non gruppo-teoretici.
D'altro canto questa ipotetica razza aliena dovra', in qualche senso misterioso, riconoscere la nozione di "numero primo" in un modo molto piu' vicino a quello che conosciamo noi, e' cogente nel senso che siamo obbligati a prenderla in ogni pacchetto di teoremi che compriamo. I numeri primi non li "vogliamo" studiare, semplicemente ogni modello sufficientemente potente _deve_ contenere i termini minimi per poterne parlare: siamo costretti a prenderceli, che ci piacciano o no, non sono una teoria nata per spiegare un modello fisico, quanto piutttosto un interessante teratoma logico del modello che usiamo per la fisica.
Idem dicasi per esempio per l'approccio frequentista alla probabilita', oppure per la combinatoria elementare; palline in una scatola, il numero di casi favorevoli sul numero dei totali... Ovviamente si tratta di Matematica utile, ma e' tanto utile quanto congiunturale, non ha niente di universale. Perche' la visione definettiana della probabilita' ha perso? Forse perche' ci siamo accorti che il mondo _segue_ effettivamente delle regole per cui vale la numerabile additivita' degli eventi? Ebbene, no! Anzi. Pero' disponevamo/disponiamo di un linguaggio piu' potente per universi sigma-additivi, e questo (non altro) ha fatto la differenza. Se proprio ne deve esistere una, la "vera" probabilita' e' quella di Kolmogorov, ma anche li', tutto parte da certi assiomi che volevano inglobare la probabilita' classica, riscrivere la teoria della misura di Lebesgue, piu' altre cosette.
"j18eos":
Se vuoi\volete leggere i vari Landau o i vari Arnol'd, a questo punto passa(te) direttamente a Abraham-Marsden!
P.S.: Quoto i libri di Feynman!
@kb Meno male che l'ho sempre considerato pizzoso quel libro di Penrose, da quanto scrivi è pure scritto male in italiano.
Sarò testone io, ma non ho ancora capito se è possibile capire perchè alcuni strumenti matematici dai più semplici ai più complessi vengono usati per un spiegare un tal fenomeno fisico. Si tratta solo di similitudini tra fatto sperimentale e forma matematica o c'è altro?
Grazie.
Se vuoi\volete leggere i vari Landau o i vari Arnol'd, a questo punto passa(te) direttamente a Abraham-Marsden!
P.S.: Quoto i libri di Feynman!
@kb Meno male che l'ho sempre considerato pizzoso quel libro di Penrose, da quanto scrivi è pure scritto male in italiano.
P.S.: Quoto i libri di Feynman!
@kb Meno male che l'ho sempre considerato pizzoso quel libro di Penrose, da quanto scrivi è pure scritto male in italiano.
buono a sapersi, io sono agli inizi e lo sto leggendo in inglese sul kindle pur avendo il cartaceo in italiano (più pratico in treno).
Mi fa strano pensare che Penrose abbia scritto oscenità matematiche
edit: il fatto è che sapere di non poterlo sfogliare senza incappare in errori mi spiazza. Dovrei procurarmi l'edizione inglese cartacea allora, se avessi la certezza che è corretta
Mi fa strano pensare che Penrose abbia scritto oscenità matematiche
edit: il fatto è che sapere di non poterlo sfogliare senza incappare in errori mi spiazza. Dovrei procurarmi l'edizione inglese cartacea allora, se avessi la certezza che è corretta
"mabuni1982":
non sono riuscito a rapportarmi in un modo costruttivo.
Ci credo, e' sbagliato! Non so se il problema sia di chi scrive o di chi traduce, ma sembra abbia delle lacune nella definizione di spazio compatto, e persino riguardo a $\aleph_0 < 2^{\aleph_0}$...
"Mattz":
Effettivamente a livello approfondito ci sono i libri di testo di Metodi matematici per la fisica , classici corsi dei trienni di fisica.
A livello divulgativo io sto leggendo "La strada che porta alla realtà" di Penrose e mi sta piacendo moltissimo. Magari guardati l'indice e vedi se ti interessa
edit: divulgativo, ma senza aver paura di essere a volte rigoroso e presentare formule
E' un libro che ho anch'io da un secolo e che ho deciso di abbandonare, almeno temporaneamente, non sono riuscito a rapportarmi in un modo costruttivo. Non ho capito se fosse da affrontare sequenzialmente o prendendone spunto in modo sparso. Quindi per il momento rimane sullo scaffale
A livello divulgativo io sto leggendo "La strada che porta alla realtà" di Penrose e mi sta piacendo moltissimo. Magari guardati l'indice e vedi se ti interessa
Io l'ho tenuto sullo scaffale per qualche anno, ripreso in mano poco fa, contiene delle bestialita' a dir poco orribili, che fatico ad attribuire a Penrose quanto piuttosto a un traduttore che e' braccia rubate all'agricoltura...
Effettivamente a livello approfondito ci sono i libri di testo di Metodi matematici per la fisica , classici corsi dei trienni di fisica.
A livello divulgativo io sto leggendo "La strada che porta alla realtà" di Penrose e mi sta piacendo moltissimo. Magari guardati l'indice e vedi se ti interessa
edit: divulgativo, ma senza aver paura di essere a volte rigoroso e presentare formule
A livello divulgativo io sto leggendo "La strada che porta alla realtà" di Penrose e mi sta piacendo moltissimo. Magari guardati l'indice e vedi se ti interessa
edit: divulgativo, ma senza aver paura di essere a volte rigoroso e presentare formule
Salve mabuni1982,
Non lo sò, non frequento ancora quel corso...
Cordiali saluti
"mabuni1982":
Con questo tua risposta, intendi che sostanzialmente quello che interessa capire a me viene spiegato nei corsi di Metodi Matematici delle Fisica?
Non lo sò, non frequento ancora quel corso...
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve mabuni1982,
[quote="mabuni1982"]Ciao a tutti,
Qualcuno sa consigliarmi un testo che spieghi (anche in modo approfondito) le applicazioni delle teorie matematiche nella fisica e quindi che ne approfondisca il significato?
Spero d'essermi fatto capire
Grazie
io mi accingerò fra qualche mese alla lettura di questo
Cordiali saluti[/quote]
Con questo tua risposta, intendi che sostanzialmente quello che interessa capire a me viene spiegato nei corsi di Metodi Matematici delle Fisica?
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