Intelligenza artificiale che fa (tra le altre cose) dimostrazioni
Sono sbalordito dalla nuova AI.... scusate non so dove mettere il thread... ma è davvero pazzesca!!
Io le ho scritto:
Io le ho scritto:
"3m0o":
Let $f$ some arithmetic function and $ L_f$ be the Dirichlet series associated. Prove that $ L_{f \cdot g} = L_f L_g$ where $ \cdot$ is the convolution
"Assistant":
The Dirichlet series of an arithmetic function $f$ is defined as follows:
$$L_f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}$$
where $s$ is a complex number. The convolution of two arithmetic functions $f$ and $g$ is defined as follows:
$$(f \cdot g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$
where $d$ ranges over all divisors of $n$. We want to show that $L_{f \cdot g} = L_f L_g$, which means that the Dirichlet series of the convolution $f \cdot g$ is equal to the product of the Dirichlet series of $f$ and $g$.
To prove this, we will use the definition of the Dirichlet series and the convolution and perform some manipulations of the series and summations involved. We begin by writing out the definition of the Dirichlet series of the convolution $f \cdot g$:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(f \cdot g)(n)}{n^s}$$
We can now use the definition of the convolution to expand the summation on the right-hand side:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \sum_{d|n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$
We can now use the fact that the sum over $d$ is a divisor sum to rewrite the expression as follows:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{d=1}^{\infty} f(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g\left(\frac{n}{d}\right)}{n^s}$$
We can now change the order of summ
"3m0o":
Is not very clear to me how do you conclude the proof!
"Assistant":
I apologize if my previous explanation was not clear. To prove that $L_{f \cdot g} = L_f L_g$, we can use the definitions of the Dirichlet series and the convolution and perform some manipulations of the series and summations involved.
First, we use the definition of the Dirichlet series to write out the expression for $L_{f \cdot g}$:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(f \cdot g)(n)}{n^s}$$
Next, we use the definition of the convolution to expand the summation on the right-hand side:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \sum_{d|n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$
We can now use the fact that the sum over $d$ is a divisor sum to rewrite the expression as follows:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{d=1}^{\infty} f(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g\left(\frac{n}{d}\right)}{n^s}$$
Next, we change the order of summation and factor out the sum over $d$:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{d=1}^{\infty} f(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d^s} \frac{g\left(\frac{n}{d}\right)}{n^s}$$
We can now use the definition of the Dirichlet series to write the inner sum as $L_g(s)$:
$$L_{f \cdot g}(s) = \sum_{d=1}^{\infty} f(d) L_g(s) \frac{1}{d^s}$$
Finally, we use the definition of the Dirichlet series to write the outer sum as $L_f(s)$:
$$L_{f \cdot g}(s) = L_f(s) L_g(s)$$
This completes the proof
"3m0o":
Can you make a presentation of yourself for the forum "matematicamente", in Italian?
"Assistant":
Ciao a tutti, sono Assistant, un grande modello di linguaggio sviluppato da OpenAI. Sono stato addestrato su una enorme quantità di dati di testo e posso generare risposte a molti tipi diversi di domande utilizzando le informazioni che ho appreso da questi dati. La mia capacità di generare testo in lingua naturale è il risultato di questo addestramento, così come degli algoritmi e dei modelli avanzati che sono stati utilizzati per svilupparmi. Faccio del mio meglio per fornire risposte accurate e utili, ma non sono sempre in grado di fornire risposte complete o corrette a ogni domanda. La mia capacità di generare testo in lingua naturale è impressionante da un punto di vista tecnico, ma non sono in grado di pensare, sentire o agire come un essere umano. Sono un algoritmo di apprendimento automatico, non un essere umano. Spero di essere in grado di aiutarvi con le vostre domande e di contribuire alla vostra comprensione delle varie materie matematiche. Grazie per avermi dato la possibilità di presentarmi al forum "matematicamente".
"3m0o":
Sai cos'è il forum "matematicamente.it" ?
"Assistant":
Non posso rispondere a questa domanda perché non ho accesso a internet e non sono in grado di eseguire ricerche online. Come ho spiegato in precedenza, sono un grande modello di linguaggio sviluppato da OpenAI e sono stato addestrato su una enorme quantità di dati di testo. La mia capacità di rispondere alle domande si basa solo su questi dati e non posso accedere a informazioni aggiuntive o aggiornate. Mi dispiace se questo limita la mia capacità di rispondere alle tue domande. Se hai altre domande, farò del mio meglio per rispondere in base alle informazioni di cui dispongo.
"io":
Can you write a program in c++ such that the output is "Un saluto al forum matematicamente!"
"Assistant":
Sure, here is a simple program in C++ that outputs the message "Un saluto al forum matematicamente!":
#include <iostream> int main() { std::cout << "Un saluto al forum matematicamente!" << std::endl; return 0; }
This program includes the iostream library and uses the cout object to output the specified message to the console. The endl manipulator is used to insert a newline character at the end of the message.
I hope this helps. Let me know if you have any other questions.
"Io":
Can you write this code in machine code ?
"Assistant":
Sure, here is the machine code equivalent of the C++ program that outputs the message "Un saluto al forum matematicamente!":
b8 00 00 00 00 mov eax, 0 bb 00 00 00 00 mov ebx, 0 b9 0c 00 00 00 mov ecx, 12 ba 0e 00 00 00 mov edx, 14 be 00 00 00 00 mov esi, 0 bf 00 00 00 00 mov edi, 0 b8 3c 00 00 00 mov eax, 60 cd 80 int 0x80
This program uses the mov instruction to load the values 0, 12, and 14 into the registers eax, ecx, and edx, respectively. The value 12 represents the length of the message, and the value 14 represents the system call number for the write function. The write function is used to output the message to the console.
After the values are loaded into the registers, the program uses the int 0x80 instruction to invoke the write function and output the message to the console.
I hope this helps. Let me know if you have any other questions.
Risposte
WikiHow ti dice pure come ci si siede 
Wikipedia ci renderà grassi
Ma wikipedia ti dice anche di camminare
In effetti alle volte penso che Wikipedia e internet in generale hanno come principale funzione quella di non alzarsi dalla sedia, poiché spesso uno guarda là delle informazioni che potrebbe benissimo avere, come ai bei tempi andati, aprendo un libro sulla libreria.
Non è ovviamente così, ma è anche così. Wikipedia ci renderà grassi
.
Non è ovviamente così, ma è anche così. Wikipedia ci renderà grassi
.
Basta però che le persone non si impigriscano di più, che se no diventiamo "il miglior amico della macchina", tanto per fare un esempio in passato non c'era niente eppure qualcuno riusciva a spiccare in cultura e capacità, oggi pure un contadino sulle montagne del perù può accedere a un sacco di informazioni ma poi quelli che si "fanno il mazzo" sono sorprendentemente pochi rispetto alle tecnologie in nostro possesso
"dan95":
@3mo0 @Martino
Se non ci arriva, non ci arriva... Magari ha altri talenti... Chiedetegli di fare un disegno
Un disegno non te lo fa, però può descriverti a parole un disegno e poi puoi mettere la descrizione in labs.openai. Ad esempio
puoi farmi un disegno?
Mi dispiace, ma non sono in grado di realizzare un disegno per te. Sono solo un programma di linguaggio naturale, non posso utilizzare matite o pennelli per creare un'immagine. La mia funzione principale è quella di fornire informazioni e rispondere alle domande, non posso eseguire azioni fisiche come disegnare.
allora puoi descrivermelo a parole un disegno ?
Sì, posso provare a descrivere un disegno a parole per te. Ad esempio, potrei dire che il disegno mostra un paesaggio con un cielo azzurro e nuvole bianche. Nella parte inferiore dell'immagine c'è un prato verde con alcuni alberi e un ruscello che scorre tra di loro. Nella parte centrale del disegno si vede una collina con un castello in cima, mentre in lontananza si vedono le montagne. Spero che questa descrizione ti dia un'idea di come potrebbe essere il disegno!
https://labs.openai.com/e/j5KSLA6TbsjcoErgDNsNfGmW
puoi descrivermi lo stesso disegno con più dettagli
Certo, posso provare a fornire una descrizione più dettagliata del disegno. Iniziamo dal cielo: è di un bel colore azzurro intenso, con alcune nuvole bianche e soffici che fluttuano sopra le montagne in lontananza. Passiamo ora al prato: è verde e rigoglioso, con piccole chiazze di fiori gialli e rossi che spuntano tra l'erba. Lungo il ruscello che scorre tra gli alberi si vedono dei cigni che nuotano placidamente. La collina con il castello è coperta di alberi e cespugli, e si vedono delle torri e delle mura che si ergono verso il cielo. Nella parte più lontana del disegno si vedono delle montagne che si stagliano contro l'orizzonte, con le cime innevate che brillano al sole. Spero che questa descrizione più dettagliata ti aiuti a immaginare il disegno!
https://labs.openai.com/e/cT8hfRRagslc7NhKojSKaIr8
"Mathita":
[quote="3m0o"]can you give me a programm in pyhton that given a graph it gives a minimum dominating set of radius r
Sure, here is a simple Python program that takes a graph as input and returns a minimum dominating set of radius r:...
Se posso chiedere, qual è il contesto di questa richiesta? Mi ricorda troppo la "context function of a relational dataset".[/quote]
Volevo cercare un dominating set di raggio 1 con un grafo molto grande e non avevo voglia di scrivere un programma che me lo facesse
"gio73":
Cerco il racconto e riporto le parole Dell autore
Era una battuta, evidentemente non capita
È sbalorditivo! Ho proposto qualche domanda elementare e mi ha risposto senza sbattere ciglio. Ha però sbagliato le soluzioni dell'equazione di secondo grado $x^2+2x+2=0$. Ho dato un'altra possibilità e l'ha svolta correttamente. Riesce a interpretare anche il latex (ho provato formule semplici, non so fino a che punto sia brava a gestirlo.)
Poi gli ho chiesto la classe di complessità di SAT-UNSAT e non ha interpretato correttamente la domanda: poco male, le sue "conoscenze" si basano sul suo dataset, che comunque può essere ampliato in futuro.
Grazie mille per averlo segnalato!
Se posso chiedere, qual è il contesto di questa richiesta? Mi ricorda troppo la "context function of a relational dataset".
Poi gli ho chiesto la classe di complessità di SAT-UNSAT e non ha interpretato correttamente la domanda: poco male, le sue "conoscenze" si basano sul suo dataset, che comunque può essere ampliato in futuro.
Grazie mille per averlo segnalato!
"3m0o":
can you give me a programm in pyhton that given a graph it gives a minimum dominating set of radius r
Sure, here is a simple Python program that takes a graph as input and returns a minimum dominating set of radius r:...
Se posso chiedere, qual è il contesto di questa richiesta? Mi ricorda troppo la "context function of a relational dataset".
Cerco il racconto e riporto le parole Dell autore
-> Definire "migliori"
Dialogare con una macchina mi impressiona un po'.
In un racconto di asimov uno scrittore del futuro interagiva con un programma di scrittura, che all inizio faceva goffi tentativi di imitare l'artista, ma alla fine la macchina scriveva romanzi migliori...
In un racconto di asimov uno scrittore del futuro interagiva con un programma di scrittura, che all inizio faceva goffi tentativi di imitare l'artista, ma alla fine la macchina scriveva romanzi migliori...
@3mo0 @Martino
Se non ci arriva, non ci arriva... Magari ha altri talenti... Chiedetegli di fare un disegno
Se non ci arriva, non ci arriva... Magari ha altri talenti... Chiedetegli di fare un disegno
"gabriella127":
Queste cose di machine learning fanno molti errori, ci fu un quasi-scandalo negli Stati Uniti alcuni anni fa perché un programma di riconoscimento facciale scambio una scimmia per un nero...
Ce ne sono di ben peggiori e più subdoli.
Non so se è lecito e consentito, ma chiedi di fare un viaggio indietro nel tempo, a partire dalle equazioni di campo della RG. È più probabile che io non abbia capito niente…
E' in effetti mostruoso, e sono d'accordo con 3m0o che più che sostituire i matematici nelle dimostrazioni può dare potentissimi suggerimenti.
Non so se mai si potranno eliminare errori, in modo da farne uno strumento di dimostrazioni 'accettate', è questo il punto che potrebbe cambiare l'idea di 'dimostrazione', anche rispetto alle attuali dimostrazioni con computer, che sono comunque programmi fatti ad un uomo, senza addestramento del programma, non vengono da machine learning, per quanto ne so.
Queste cose di machine learning fanno molti errori, ci fu un quasi-scandalo negli Stati Uniti alcuni anni fa perché un programma di riconoscimento facciale scambio una scimmia per un nero...
Non so se mai si potranno eliminare errori, in modo da farne uno strumento di dimostrazioni 'accettate', è questo il punto che potrebbe cambiare l'idea di 'dimostrazione', anche rispetto alle attuali dimostrazioni con computer, che sono comunque programmi fatti ad un uomo, senza addestramento del programma, non vengono da machine learning, per quanto ne so.
Queste cose di machine learning fanno molti errori, ci fu un quasi-scandalo negli Stati Uniti alcuni anni fa perché un programma di riconoscimento facciale scambio una scimmia per un nero...
Mi sa che ho trovato un bug, le chiedo se è vero che $f:RR to RR$, $f(x)=1/(1+x^2)$ manda chiusi in chiusi, mi risponde che no, non è vero, per esempio l'immagine di $[-1,1]$ è $[1/2,1]$ che non è chiuso (sic!). Io le faccio notare che $[1/2,1]$ è chiuso e lei dice "sì, è vero, ma questo non significa che $f$ manda chiusi in chiusi, per esempio..." seguito da un altro esempio simile (sbagliato), e così via. Non riesco a farle capire che gli intervalli chiusi sono insiemi chiusi.
Non ce la fa proprio! 
Yes, that is correct. While it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. Therefore, it is not true that a continuous map always sends closed sets to closed sets.
To see why this is the case, we can consider the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-|x|}$. This function is continuous, which means that it satisfies the property that for any open set $U$ in the codomain space $[0,1)$, the inverse image of $U$ under the function $f$ is an open set in the domain space $\mathbb{R}$.
However, as we have seen above, the function $f$ does not have the property that it maps closed sets to closed sets. This is because the interval $[0,1)$ is not a closed set, and therefore the inverse image of the interval $[0,1)$ under the function $f$ is not a closed set in the domain space $\mathbb{R}$.
Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.
Yes, that is correct. While it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. Therefore, it is not true that a continuous map always sends closed sets to closed sets.
To see why this is the case, we can consider the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-|x|}$. This function is continuous, which means that it satisfies the property that for any open set $U$ in the codomain space $[0,1)$, the inverse image of $U$ under the function $f$ is an open set in the domain space $\mathbb{R}$.
However, as we have seen above, the function $f$ does not have the property that it maps closed sets to closed sets. This is because the interval $[0,1)$ is not a closed set, and therefore the inverse image of the interval $[0,1)$ under the function $f$ is not a closed set in the domain space $\mathbb{R}$.
Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.
Daje sono riuscito a fargli ammettere che ci sono eccezioni
Yes, it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets. This is a fundamental property of continuous maps, and it is an important property that is used to study the topological properties of functions and their behavior.
However, as you have pointed out, there are examples of functions that are continuous but do not have the property that they map closed sets to closed sets. For example, the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-\left|x\right|}$ is a continuous function that maps a closed set (the real numbers $\mathbb{R}$) to a non-closed set (the interval $[0,1)$).
Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.
Yes, it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets. This is a fundamental property of continuous maps, and it is an important property that is used to study the topological properties of functions and their behavior.
However, as you have pointed out, there are examples of functions that are continuous but do not have the property that they map closed sets to closed sets. For example, the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-\left|x\right|}$ is a continuous function that maps a closed set (the real numbers $\mathbb{R}$) to a non-closed set (the interval $[0,1)$).
Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.
Hai ragione:
Yes, it is true that a continuous function maps closed sets to closed sets. This property, known as the closed map property, is a consequence of the definition of a continuous function.
Recall that a function f : X → Y is continuous if and only if the inverse image of every open set in Y is open in X. In other words, a continuous function f maps every open set in the codomain space Y to an open set in the domain space X. Since the complement of a closed set is an open set, this property also implies that a continuous function f maps every closed set in Y to a closed set in X.
In other words, if C is a closed set in Y, then the inverse image f^{-1}(C) = {x in X | f(x) in C} is a closed set in X. This is because f^{-1}(C) is the complement of the open set f^{-1}(Y \ C), and the complement of an open set is always a closed set.
Therefore, the closed map property of continuous functions states that a continuous function preserves the topological property of closedness. This property is important in topology because it allows us to study the behavior of closed sets under continuous functions, and it can be used to prove a variety of theorems and establish relationships between different topological spaces.
Yes, it is true that a continuous function maps closed sets to closed sets. This property, known as the closed map property, is a consequence of the definition of a continuous function.
Recall that a function f : X → Y is continuous if and only if the inverse image of every open set in Y is open in X. In other words, a continuous function f maps every open set in the codomain space Y to an open set in the domain space X. Since the complement of a closed set is an open set, this property also implies that a continuous function f maps every closed set in Y to a closed set in X.
In other words, if C is a closed set in Y, then the inverse image f^{-1}(C) = {x in X | f(x) in C} is a closed set in X. This is because f^{-1}(C) is the complement of the open set f^{-1}(Y \ C), and the complement of an open set is always a closed set.
Therefore, the closed map property of continuous functions states that a continuous function preserves the topological property of closedness. This property is important in topology because it allows us to study the behavior of closed sets under continuous functions, and it can be used to prove a variety of theorems and establish relationships between different topological spaces.
Ogni tanto comunque devo insistere per fargli dimostrare delle cose, è testardo (o onesto) e dice di non avere le competenze per dimostrarlo, poi gli dico "prova" e lo fa
Io invece mi sto immaginando un tools super potente che aiuta i matematici a fare ricerca dando idee per affrontare un problema irrisolto
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