Implicazioni logiche
Volevo porre una domanda che penso riguardi gli aspetti filosofici della matematica. Nel caso avessi sbagliato la collocazione del post, mi perdonerete.
Dunque, le implicazioni logiche. Secondo il mio testo, si dice:
"Sia dato un insieme X; siano date due proprietà J e W, definite in X. Vale la seguente implicazione J(freccia)W. Io interpreto la seguente implicazione basandomi sul fatto che l'implicazione sia vera per qualsiasi elemento di X, e sottolineo di X.
Orbene(per citare il mio testo
), quando vedo il simbolo di implicazione che collega espressioni tipo: "x1
La mia domanda è questa: siccome starei studiando analisi matematica, e precisamente le funzioni definite in variabili Reali, l'insieme per cui vale l'implicazione, che "sottende" l'implicazione stessa, è proprio R?
Oppure è l'insieme delle coppie che, per intenderci, hanno precisa corrispondenza nel grafico della funzione?
Se ho scritto sciocchezze demolitemi pure:-D; anche in tal caso, però, sarei felice di leggere i vostri contributi:-D
Mi rendo conto che il problema da me posto è matematico, non filosoficamente matematico. Per cui chiedo ai moderatori di non cancellare la discussione ma di spostarla eventualmente.
Dunque, le implicazioni logiche. Secondo il mio testo, si dice:
"Sia dato un insieme X; siano date due proprietà J e W, definite in X. Vale la seguente implicazione J(freccia)W. Io interpreto la seguente implicazione basandomi sul fatto che l'implicazione sia vera per qualsiasi elemento di X, e sottolineo di X.
Orbene(per citare il mio testo
), quando vedo il simbolo di implicazione che collega espressioni tipo: "x1La mia domanda è questa: siccome starei studiando analisi matematica, e precisamente le funzioni definite in variabili Reali, l'insieme per cui vale l'implicazione, che "sottende" l'implicazione stessa, è proprio R?
Oppure è l'insieme delle coppie che, per intenderci, hanno precisa corrispondenza nel grafico della funzione?
Se ho scritto sciocchezze demolitemi pure:-D; anche in tal caso, però, sarei felice di leggere i vostri contributi:-D
Mi rendo conto che il problema da me posto è matematico, non filosoficamente matematico. Per cui chiedo ai moderatori di non cancellare la discussione ma di spostarla eventualmente.
Risposte
ho notato solo ora questo post (quando è stato aperto non ero ancora iscritta al forum...). probabilmente ora turtle87 avrà chiarito i propri dubbi...
io ho avuto l'impressione che le sue perplessità riguardassero l'insieme nel quale sono definite sia le relazioni d'ordine sia le implicazioni...
se si parla di funzioni reali di variabile reale (o anche semplicemente relazioni binarie tra insiemi numerici), si parla di proprietà riguardanti i numeri reali (quindi l'insieme $RR$ e suoi sottoinsiemi, come il dominio e il codominio di una relazione)... rivedi anche l'intervento di ViciousGoblinEnters.
$RR$ è un insieme totalmente ordinato (sai che cosa significa?)... allora x1, x2, f(x1), f(x2), essendo numeri reali, sono confrontabili...
per ogni coppia di valori (x1, x2) del dominio:
se x1=x2, deve essere f(x1)=f(x2) altrimenti f non sarebbe una funzione
gli altri due casi caratterizzano le funzioni strettamente crescenti:
se x1
se x1>x2, allora f(x1)>f(x2)
se ciò succede per ogni coppia di valori del dominio, allora la funzione è strettamente crescente...
ciao.
io ho avuto l'impressione che le sue perplessità riguardassero l'insieme nel quale sono definite sia le relazioni d'ordine sia le implicazioni...
se si parla di funzioni reali di variabile reale (o anche semplicemente relazioni binarie tra insiemi numerici), si parla di proprietà riguardanti i numeri reali (quindi l'insieme $RR$ e suoi sottoinsiemi, come il dominio e il codominio di una relazione)... rivedi anche l'intervento di ViciousGoblinEnters.
$RR$ è un insieme totalmente ordinato (sai che cosa significa?)... allora x1, x2, f(x1), f(x2), essendo numeri reali, sono confrontabili...
per ogni coppia di valori (x1, x2) del dominio:
se x1=x2, deve essere f(x1)=f(x2) altrimenti f non sarebbe una funzione
gli altri due casi caratterizzano le funzioni strettamente crescenti:
se x1
se x1>x2, allora f(x1)>f(x2)
se ciò succede per ogni coppia di valori del dominio, allora la funzione è strettamente crescente...
ciao.
"Megan00b":
E' una questione di definizioni. Definire cosa sia un'implicazione non è cosa semplice e solitamente viene analizzata in corsi avanzati di logica matematica.
Mi permetto di suggerire che a volte il diavolo non è così brutto come lo si dipinge.
E' vero che talvolta si rileva confusione (da tutti e due i lati della cattedra...) tra implicazione materiale (o di Filone, o "meccanica"), implicazione formale (o di Diodoro Crono, o semantica) e la nozione generale di conseguenza logica; tuttavia, nel contesto matematico l’interpretazione materiale dell’implicazione risulta del tutto accettabile.
Questo a sua volta implica (lupus in fabula...) che la scrittura $A=>B$ in matematica obbedisce banalmente ad una tabella di verità, che ne definisce perfettamente il valore di verità sulla base di quelli dei suoi operandi - almeno per gli scopi di una dimostrazione o definizione.
Nell'adolescenza storica della Logica, questo comportamento era riassunto dalla felice espressione ex falso, quodlibet.
Suggerisco di "rifare pace" mentalmente con questo verofuntore, e di considerarlo alla stregua di tutti gli altri (NOT, AND, OR, XOR...): l'implicazione causale è semplicemente un'altra cosa.
$|(A, B, |, =>),(F,F,|,T),(F,T,|,T),(T,F,|,F),(T,T,|,T)|$
PS: la definizione riportata è un tantino bizzarra, e mi pare anche ambigua rispetto al dubbio di inizio thread.
Leggendola mi è subito venuto in mente, ad esempio, che si può facilmente "barare" mettendo al posto dell'insieme l'unione (anche infinita...) di insiemi originariamente disgiunti !
La definizione tarskiana di conseguenza logica è ben diversa, e si riferisce formalmente a classi di proposizioni definite in modo rigoroso.
EDIT: Mi scuso non solo di eventuali castronerie, ma anche per l'aspetto orribile della truth table, e vi chiedo comprensione: si tratta del mio esordio...
caro turtle87
mi pare che tu ti sbagli quando dici che l'implicazione fa riferimento a due insiemi diversi (dominio e codominio della funzione).
In realta' le due proprieta' sono entrambe definite sulle coppie (x1,x2) con entrambe le componenti nel dominio di f.
La prima proprieta' dice x1<=x2
La seconda proprieta' dice f(x1)<=f(x2)
In entrambi i casi in entrambi i casi la verita' o la falsita' delle rispettive affermazioni dipende dalla scelta di x1 e x2.
Il fatto che valga l'implicazione significa che TUTTE LE COPPIE CHE RENDONO VERA LA PRIMA PROPRIETA' RENDONO VERA ANCHE LA SECONDA.
Tali coppie stanno sempre nello stesso insieme (che a rigore sarebbe dom(f) X dom(f) )
Non so se ho chiarito il dubbio
mi pare che tu ti sbagli quando dici che l'implicazione fa riferimento a due insiemi diversi (dominio e codominio della funzione).
In realta' le due proprieta' sono entrambe definite sulle coppie (x1,x2) con entrambe le componenti nel dominio di f.
La prima proprieta' dice x1<=x2
La seconda proprieta' dice f(x1)<=f(x2)
In entrambi i casi in entrambi i casi la verita' o la falsita' delle rispettive affermazioni dipende dalla scelta di x1 e x2.
Il fatto che valga l'implicazione significa che TUTTE LE COPPIE CHE RENDONO VERA LA PRIMA PROPRIETA' RENDONO VERA ANCHE LA SECONDA.
Tali coppie stanno sempre nello stesso insieme (che a rigore sarebbe dom(f) X dom(f) )
Non so se ho chiarito il dubbio
E' una questione di definizioni. Definire cosa sia un'implicazione non è cosa semplice e solitamente viene analizzata in corsi avanzati di logica matematica. La definizione che hai trovato è riduttiva perchè riferisce le due proposizioni agli stessi elementi.
"turtle87":
Sono convinto che sia ignoranza da parte mia sul concetto generale di implicazione, e aspetto con ansia le vostre risposte
non credo sia un problema di ignoranza da parte tua, ma
o e' una questione molto profonda
oppure e' una semplice questione di definizioni
Dunque,
la ima implicazione è quella classica che riguarda le funzioni crescenti, che sono tali se:
Per ogni x1, x2 appartenenti a X:
x1<=x2(simbolo dell'implicazione)f(x1)<=f(x2).
Io ho letto che il concetto generale di implicazione recita così:
"Dato l'insieme T, esiste un implicazione se qualsiasi elemento t appartenente a T, avente la proprietà J, ha pure la proprietà W".
Siccome nel mio primo esempio, l'implicazione sussiste tra due enunciati che fanno riferimenti a due insiemi diversi (dominio e codominio della funzione), mi chiedevo in che modo valesse lo stesso simbolo dell'implicazione(che io ho indicato con "(simbolo dell'implicazione)") con due enunciati che non farebbero riferimento allo stesso elemento avente la proprietà W in quanto avente già la proprietà J,ma a due enunciati che richiamano elementi "DIVERSI" di insiemi DIVERSI.
Sono convinto che sia ignoranza da parte mia sul concetto generale di implicazione, e aspetto con ansia le vostre risposte .Spero di essere stato chiaro. A presto!
la ima implicazione è quella classica che riguarda le funzioni crescenti, che sono tali se:
Per ogni x1, x2 appartenenti a X:
x1<=x2(simbolo dell'implicazione)f(x1)<=f(x2).
Io ho letto che il concetto generale di implicazione recita così:
"Dato l'insieme T, esiste un implicazione se qualsiasi elemento t appartenente a T, avente la proprietà J, ha pure la proprietà W".
Siccome nel mio primo esempio, l'implicazione sussiste tra due enunciati che fanno riferimenti a due insiemi diversi (dominio e codominio della funzione), mi chiedevo in che modo valesse lo stesso simbolo dell'implicazione(che io ho indicato con "(simbolo dell'implicazione)") con due enunciati che non farebbero riferimento allo stesso elemento avente la proprietà W in quanto avente già la proprietà J,ma a due enunciati che richiamano elementi "DIVERSI" di insiemi DIVERSI.
Sono convinto che sia ignoranza da parte mia sul concetto generale di implicazione, e aspetto con ansia le vostre risposte
.Spero di essere stato chiaro. A presto!
Benvenuto in qeusto forum.
Personalmente non ho capito il tuo dubbio. Però ti dico questo:
Una proprietà "definita su un insieme X" vorrebbe dire che questa proprietà riguarda alcuni elementi di X, non tutti. Se vuoi dire che riguarda tutti userai l'apposito quantificatore $AA$.
Se provi a postare la proposizione che hai trovato sul libro con i riferimenti espliciti a chi sono X, J, W forse potremo aiutarti di più.
Personalmente non ho capito il tuo dubbio. Però ti dico questo:
Una proprietà "definita su un insieme X" vorrebbe dire che questa proprietà riguarda alcuni elementi di X, non tutti. Se vuoi dire che riguarda tutti userai l'apposito quantificatore $AA$.
Se provi a postare la proposizione che hai trovato sul libro con i riferimenti espliciti a chi sono X, J, W forse potremo aiutarti di più.
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