Dimostrazione Superficie Sfera

[AMs1]

Ho tentato di dimostrare la relazione tra il Raggio R di una sfera e la sua superficie S ed il volume V.
Per il volume tutto ok, per la superficie invece la mia dimostrazione fallisce da qualche parte, solo che non mi rendo conto dell'errore.
La dimostrazione con i suoi passaggi è questa:

http://alv.altervista.org/sfera.pdf

qualcuno non è che saprebbe indicarmi l'errore?!?

Grazie

Ciao

[AMs1]

Ah perfetto!! Grazie Millle!!!!

[MaMo2]

Devi tener conto della curvatura della superficie del cilindretto. La sua area è:

$ds=2*pi*r* R*d theta$

Integrando si ha:

$S=intds=4piR int_0^(pi/2) r d theta$

Essendo $r = R*costheta$ esso diventa:

$S=4piR^2 int_0^(pi/2) cos theta d theta =4piR^2$.

[AMs1]

Ok, lo riporto qua:



Dimostrazione Volume:

Supponiamo di vedere la sfera come somma di tanti cilindretti di altezza dh.
Il volume di un cilindretto è dato da

$dV=pi r^2 dh$

Integrando otteniamo il volume della semisfera, che moltiplicato per 2 dà il volume della sfera.

$V= 2 int_(0)^(R) pir^2 dh$

Ma essendo
$h=Rsintheta -> dh=Rcostheta d theta$
$r=Rcostheta$

Con un cambio di variabile l’integrale diventa
$V=2pi int_0^(pi/2) R^3 cos^3theta d theta =4/3 pi R^3 $

Dimostrazione Superficie:

Analogamente calcoliamo la superficie considerando, l’area di un singolo cilindretto

$ds=2pir dh$

Integrando otteniamo la superficie della semisfera (che moltiplicato per 2 dà la superficie totale):

$S=2int_0^R2pir dh

Ma essendo

$h=Rsintheta -> dh=Rcostheta d theta$
$r=Rcostheta$

Con un cambio di variabile l’integrale diventa

$V=4pi int_0^(pi/2) R^2 cos^2theta d theta =pi^2 R^2 $ ???? ERRORE

[Luca.Lussardi]

Il link non va.