Calcolo Somma conoscendo solo il Prodotto
Ho trovato una formula per calcolare la Somma di due numeri Primi conoscendo solamente il loro Prodotto , ovviamente dato il Risultato N c'è un margine di errore di confidenza nel senso nel senso che la formula produce due numeri N1 N2 e in questo intervallo che è appunto di confidenza c'è S ovvero la somma dei due numeri Primi , l'ho fatto esaminare , e ho avuto una risposta positiva nel senso che , it work. 
Qualcuno di Voi conosceva già qualcosa di simile oppure no ? perché a tutti quelli che ho chiesto non risulta , ho anche auto-pubblicato un libro .
Qualcuno di Voi conosceva già qualcosa di simile oppure no ? perché a tutti quelli che ho chiesto non risulta , ho anche auto-pubblicato un libro .
Risposte
"Zero87":
[EDIT]
Forse ho una vaga idea del perché "funziona". Magari tale idea va corretta con una stima degli errori e qualche calcolo.
Dici "due numeri primi simili", quindi approssimo $p,q$ con $n$ da cui $p+q~=2n$ e $p \cdot q ~= n^2$.
Così
$N_max = \sqrt(2178 \cdot n^2)/22 ~ 10/(\sqrt(22)) \cdot n ~= 2,132 n > 2n$
$N_min = \sqrt(2178 \cdot (n^2 - 10^(Log(n^2)-1)))/22 < \sqrt(2178 \cdot 9\cdot 10^(Log(n^2)-1))/22=$
$~= 2,132 \cdot 3 \cdot \sqrt((n^2)/10)= (2,132 \cdot 3 \cdot n)/(3,162) = 2,02 n$ che è maggiore di $n$ ma di poco. Ricordo però che la maggiorazione è letteralmente spropositata quindi magari può anche essere un errore che necessita di una maggiorazione migliore.
Il punto è che credo che con una stima dell'errore e qualche calcolo si arrivi a una dimostrazione del perché funziona. Ma se funziona per questo motivo, purtroppo l'algoritmo è una conclusione piuttosto banale perché si trova che la somma di due numeri primi simili è "intorno" al doppio della loro media (es)...
Purtroppo la matematica non è romanticismo e spesso una dimostrazione smonta tanta poesia. Ma non ci si deve abbattere per questo, è pur sempre tanto interessante esercizio.
Mi potete correggere se sbaglio .
$N_max = \sqrt(2178 \cdot n^2)/(22,5) ~ 10/(\sqrt(22,5)) \cdot n ~= 2,108 n > 2n$
$N_min = \sqrt(2178 \cdot (n^2 - 10^(Log(n^2)-1)))/(22,5)< \sqrt(2178 \cdot 9\cdot 10^(Log(n^2)-1))/(22,5)=$
$~= 2,108 \cdot 3 \cdot \sqrt((n^2)/10)= (2,108 \cdot 3 \cdot n)/(3,162) = 2n$ che è uguale a $n$ .
-EDIT-
Comunque per chi fosse interessato il perno è a 17,5 non a 22,5 (potete trovare la discussione su mersenneforum . org )
esempio :
$sqrt(2178*(P1*P1))/(17,5)$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((P1*P1)-9...))/(17,5)$ $=$ Limite min
$19*5= 95$
$19+5 = 24$
$sqrt(2178*(95))/(17,5) = 25,..$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((95)-9))/(17,5) = 24,..$ $=$ Limite min
"dan95":
Cinque sei sicuro di non essere l'utente P_1_6?
Avevo un sospetto ma in uno dei forum/thread altrove postati dall'utente cinque si immette ad un certo punto P_1_6 con un argomento che non c'entra niente e viene redarguito per questo.
Cinque sei sicuro di non essere l'utente P_1_6?
Si e c'è anche un "secondo margine" all 'aumentare del valore dei fattori , aumenta la loro distanza, se non sbaglio. Comunque grazie per l 'interessamento, buona giornata.
-EDIT-
Funziona mi sono accorto dividendo per $22,5$ però.
La formula corretta dovrebbe essere :
$sqrt(2178*(P1*P1))/(22,5)$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((P1*P1)-9...))/(22,5)$ $=$ Limite min
$967*971= 938957$
$967+971 = 1989$
$sqrt(2178*(938957))/(22,5) = 2009,..$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((938957)-99999))/(22,5) = 1899,..$ $=$ Limite min
-EDIT-
Se ti chiedi come l'ho trovato, ti rispondo che non riuscivo a dimostrare per stime che la formula funzionava e il problema principale era nel caso in cui si avevano numeri primi il cui prodotto era distante dal 9999...99 da sottrarre per $N_min$. In questo caso risulta $N_min$ maggiore del prodotto tra i due numeri nonostante i due numeri primi siano simili.
Funziona mi sono accorto dividendo per $22,5$ però.
La formula corretta dovrebbe essere :
$sqrt(2178*(P1*P1))/(22,5)$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((P1*P1)-9...))/(22,5)$ $=$ Limite min
$967*971= 938957$
$967+971 = 1989$
$sqrt(2178*(938957))/(22,5) = 2009,..$ $=$ Limite max e $sqrt(2178*((938957)-99999))/(22,5) = 1899,..$ $=$ Limite min
Per i testi non mi intrometto perché erano testi che ho consultato per la tesi e ormai non me li ricordo neanche più. 
Comunque ho trovato un controesempio per cui non funziona: 967 e 971.
Se ti chiedi come l'ho trovato, ti rispondo che non riuscivo a dimostrare per stime che la formula funzionava e il problema principale era nel caso in cui si avevano numeri primi il cui prodotto era distante dal 9999...99 da sottrarre per $N_(min)$. In questo caso risulta $N_min$ maggiore del prodotto tra i due numeri nonostante i due numeri primi siano simili.
Mi spiace, ma comunque buono studio, non abbatterti per così poco. E non postare con tanta insistenza perché, regolamento a parte, dai anche una impressione non proprio buona con questo comportamento (non credi?).
Comunque ho trovato un controesempio per cui non funziona: 967 e 971.
Se ti chiedi come l'ho trovato, ti rispondo che non riuscivo a dimostrare per stime che la formula funzionava e il problema principale era nel caso in cui si avevano numeri primi il cui prodotto era distante dal 9999...99 da sottrarre per $N_(min)$. In questo caso risulta $N_min$ maggiore del prodotto tra i due numeri nonostante i due numeri primi siano simili.
Mi spiace, ma comunque buono studio, non abbatterti per così poco. E non postare con tanta insistenza perché, regolamento a parte, dai anche una impressione non proprio buona con questo comportamento (non credi?).
Un cosa vorrei chiedere , sul forum iprogrammatori hanno consigliato i seguenti testi , il primo e gratuito mentre gli altri a pagamento , volevo sapere se vanno bene :
Victor Shoup, "A computational introduction to number theory and algebra"
Bressoud & Wagon, "A course in computational number theory", Wiley, 2008
Pomerance & Crandall, "Prime numbers: a computational perspective", Springer, 2005
Cohen, "A course in computational algebraic number theory", Springer, 1993
Victor Shoup, "A computational introduction to number theory and algebra"
Bressoud & Wagon, "A course in computational number theory", Wiley, 2008
Pomerance & Crandall, "Prime numbers: a computational perspective", Springer, 2005
Cohen, "A course in computational algebraic number theory", Springer, 1993
Devo aver fatto un po' di confusione con i calcoli ultimi ….ho corretto adesso.
Ti metto anche il post ultimo di ieri su programmatori per risponderti cosa ne penso della dimostrazione e della formula(faccio copia e incolla)
Ti metto anche il post ultimo di ieri su programmatori per risponderti cosa ne penso della dimostrazione e della formula(faccio copia e incolla)
maxilrosso ha scritto:
Provo a dire qualcosa anch'io.
Ho letto il 3d; il fatto è che tu trovi un intervallo (troppo ampio) nel quale deve stare la somma. Non stiamo dicendo che tu non trovi quell'intervallo, ti diciamo solo che è insufficiente. In altre parole se mi dici che la somma è compresa tra 22345 e 40234 (esempio random), ci sono troppe coppie con somma in quell'intervallo; verificarle tutte è lunga come operazione, anche perchè con numeri molto grandi si hanno problemi di database da cui pescare i primi.
Inoltre mi sembra che Zero87 ti abbia "dimostrato" che la tua formula dà per forza due estremi che contengono la somma; e questa è una conclusione raggiungibile con passaggi "elementari".
aleasia ha scritto:
Si , infatti , più grande è il numero e più grande è il margine di confidenza Limite Min-Max ,
%4 =
[3899999999999941 1] (fattore primo)
[4100000000000059 1] (fattore primo)
(08:08) gp > sqrt(2178*3899999999999941*4100000000000059)/22
%5 = 8482629309359212.291194025494
(08:10) gp > 4100000000000059+3899999999999941
%6 = 8000000000000000
(08:11) gp > 15989999999999988199999999996519-9999999999999999999999999999999
%7 = 5989999999999988199999999996520
(08:22) gp > sqrt(2178*5989999999999988199999999996520)/22
%8 = 5191820489963029.037623624881
(08:23) gp >
5191820489963029 limite minimo
8482629309359212 limite massimo
8000000000000000 somma dei due fattori iniziali
Ma quello che penso è che esista un modo per ridurre il margine di confidenza , ed oltre a questo , un altra formula per fattori non vicini di valore .
Grazie per la dimostrazione. Ti spiego meglio l'ultimo post che hai detto di non aver capito un acca.
Qui intendo dire che forse c'è un una seconda formula ( ma non al posto della prima ) di trovare i due limiti Max e Min , se e solo se , i due numeri sono distanti ( mentre nella prima erano vicini , in pratica l'opposto) ; Immagina $95$ come se fosse $n = n1 $ (in questo caso ho messo $5$ e poi dividerlo in più parti) , quindi $5/5 , 4/5 , 3/5 , 2/5 e 1/5 $ (in pratica una serie dove $((n-1)/(n1))$) allora metto di conseguenza $95 = 5/5$ poi $95 = 4/5$ …..fino a $95= 1/5$ .
Qui non intendo $2/5$ e $1/5$ di $95$ , ma in senso come dire "immaginario".
Qui dico se il prodotto (in questo caso $30021$ ha cinque cifre allora lo moltiplico per cinque $9$ . Quindi diventano due le formule in totale , ovvero una per i numeri dove i fattori sono vicini di valore e una per i numeri dove i fattori sono lontani di valore .
Riusciresti a darmi una dimostrazione , se ho ragione su questo , come hai fatto per la prima formula ?
"cinque":
E' anche vero però che dato il porodotto di due numeri $n$ , come nel tuo esempio $5 * 19 = 95$ e dicendo che $95$ è $=$ a $5/5$ della somma e di conseguenza $4/5$ e $3/5$ e $2/5$ e $1/5$ posso così dire che :
Qui intendo dire che forse c'è un una seconda formula ( ma non al posto della prima ) di trovare i due limiti Max e Min , se e solo se , i due numeri sono distanti ( mentre nella prima erano vicini , in pratica l'opposto) ; Immagina $95$ come se fosse $n = n1 $ (in questo caso ho messo $5$ e poi dividerlo in più parti) , quindi $5/5 , 4/5 , 3/5 , 2/5 e 1/5 $ (in pratica una serie dove $((n-1)/(n1))$) allora metto di conseguenza $95 = 5/5$ poi $95 = 4/5$ …..fino a $95= 1/5$ .
"cinque":
$sqrt(99*(5*19)) = 96,.. $ Ho corretto qui
e
$sqrt(99*((5*19)-9)) = 92,.. $ Ho corretto qui
quindi diciamo che $96 * (2/5) = 38,..$
e
$92 *(1/5) = 18,...$
"cinque":
allora la somma si trova a $2/5$ e $1/5$ del prodotto esattamente tra i numeri $18$ e $38$ ed infatti la somma è uguale a $24$ .
Qui non intendo $2/5$ e $1/5$ di $95$ , ma in senso come dire "immaginario".
"cinque":[/quote][/quote]
Mentre per un prodotto di 5 cifre esempio $10007 * 3 = 30021$ è :
$sqrt(99999*30021) = 54791 *(1/5) = 10958,…$
$sqrt(99999*(30021-9999)) = 44745 *(1/5) = 8949$
tanti 9 quanto il prodotto. (Ovviamente se e solo se i due numeri del prodotto non sono simili di valore , altrimenti è sempre $sqrt(2178*(p*p ))/22 $ ) Ho corretto qui
comunque è sempre grande il margine.
Qui dico se il prodotto (in questo caso $30021$ ha cinque cifre allora lo moltiplico per cinque $9$ . Quindi diventano due le formule in totale , ovvero una per i numeri dove i fattori sono vicini di valore e una per i numeri dove i fattori sono lontani di valore .
Riusciresti a darmi una dimostrazione , se ho ragione su questo , come hai fatto per la prima formula ?
"cinque":
mi trovi su mersenneforum . org [...] sul forum iprogrammatori .it [...]
Ho letto quei thread e diciamo che non ti sei fatto una gran pubblicità.
Comunque non è da me giudicare o dare pregiudizi e voglio testare in prima persona il tuo algoritmo, senza preconcetti.
Vediamo, 2 numeri primi simili, posso prendere 4703 e 4721 che wikipedia dice essere primi (https://it.wikipedia.org/wiki/Lista_di_numeri_primi).
Mi segno il loro prodotto che, in fin dei conti, è l'unica cosa che conosco in teoria: $4703 \cdot 4721 = 22202863$.
Voglio stimare la somma con il tuo algoritmo.
$N_(max)= (\sqrt(2178\cdot 22202863))/22=9995,...$ troncato a $9995$.
$N_(min) = \sqrt(2178\cdot (22202863-9999999))/22=7410,35...$ troncato a $7410$.
Il punto è questo, in questo caso funziona, ma è tremendamente inefficiente perché ora tu, per tentativi vai a vedere tutti i primi che come somma da un numero tra 7410 e 9995. Comunque non metto in dubbio che sia un fatto interessante anche se sono curioso per la una dimostrazione.
[EDIT]
Forse ho una vaga idea del perché "funziona". Magari tale idea va corretta con una stima degli errori e qualche calcolo.
Dici "due numeri primi simili", quindi approssimo $p,q$ con $n$ da cui $p+q~=2n$ e $p \cdot q ~= n^2$.
Così
$N_max = \sqrt(2178 \cdot n^2)/22 ~ 10/(\sqrt(22)) \cdot n ~= 2,132 n > 2n$
$N_min = \sqrt(2178 \cdot (n^2 - 10^(Log(n^2)-1)))/22 < \sqrt(2178 \cdot 9\cdot 10^(Log(n^2)-1))/22=$
$~= 2,132 \cdot 3 \cdot \sqrt((n^2)/10)= (2,132 \cdot 3 \cdot n)/(3,162) = 2,02 n$ che è maggiore di $n$ ma di poco. Ricordo però che la maggiorazione è letteralmente spropositata quindi magari può anche essere un errore che necessita di una maggiorazione migliore.
Il punto è che credo che con una stima dell'errore e qualche calcolo si arrivi a una dimostrazione del perché funziona. Ma se funziona per questo motivo, purtroppo l'algoritmo è una conclusione piuttosto banale perché si trova che la somma di due numeri primi simili è "intorno" al doppio della loro media (es)...
Purtroppo la matematica non è romanticismo e spesso una dimostrazione smonta tanta poesia. Ma non ci si deve abbattere per questo, è pur sempre tanto interessante esercizio.
mi trovi su mersenneforum . org sotto il nome di Godzilla dove ho aperto un thread "Formula to calculate the Sum of two prime numbers just by knowing the product " qui : http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=56
o qui :
sul forum iprogrammatori .it sotto il nome di aleasia dove ho aperto un thread "Curiosità algoritmo RSA"https://www.iprogrammatori.it/forum-programmazione/programmatori/
e in altri forum .
o qui :
sul forum iprogrammatori .it sotto il nome di aleasia dove ho aperto un thread "Curiosità algoritmo RSA"https://www.iprogrammatori.it/forum-programmazione/programmatori/
e in altri forum .
Vediamo di mediare. Uso la tecnica del bastone e della carota.
[Bastone
]
Allora, innanzitutto c'è da dire che vale questa affermazione
e purtroppo è l'impossibilità di un utilizzo reale di tale formula per scopi pratici.
Per esempio, Chebyshev ha dimostrato che
$x/(2 log(x)) \le \pi(x) \le (2x)/(log(x))$
che è una formula bellissima, interessante e quant'altro, ma assolutamente inutile ai fini pratici poiché il margine d'errore della stima è più grande della stima stessa.
Premetto, inoltre, che non ho capito un acca del ragionamento che segui nell'ultimo tuo post, ma trovi che la somma di 5 e 19 è compresa tra 18 e 38 che, anch'essa, è una stima ampia quanto la somma stessa. Immagina questa cosa con numeri grandi...
[Carota
]
Ciò non toglie che sia pur sempre una formula interessante e un'ennesima legge interessante che può far presupporre un qualcosa di regolare nell'aritmia dei numeri primi o anche solo per curiosità. Anche se [mezzo bastone
] occorre che tale formula sia certa e non derivante semplicemente da tentativi.
Personalmente adoro formule curiose anche se magari inutili dal punto di vista pratico per vari motivi; per esempio quella che ho citato nel "bastone" sopra.
[Nota]
Non prendertela se noti delle risposte piccate ai tuoi interventi. Il punto è che nel corso di anni si sono iscritti molti "individui" presentando lavori come fossero da medaglia Fields che si sono rivelati tutti essere formule messe spesso lì per caso o inconcludenti trovate a tentativi. C'era anche chi spesso postava solo propri "lavori" a mo' di spam parlando dall'alto in basso a chiunque come se avesse le chiavi della conoscenza assoluta (tutti "lavori" spesso vecchi di secoli o con errori anche grossolani).
Il punto è che se disposto al dialogo e offri spunti di discussione sensati e interessanti, avendo l'umiltà di imparare dai propri errori se te ne facciamo notare (vale anche il viceversa per noi ), ben venga che si parli in modo costruttivo di matematica, anche con risultati scontati o vecchi come il cucco, chi se ne importa. Ma se poi inizi a squadrarci dall'alto in basso non avendo la pazienza di ascoltare o perché convinto di essere l'unico nel giusto... allora buona giornata (ma tanto in quel caso ci penseranno i moderatori).
Insomma, per fare un esempio pratico non prendere esempio da qui (da questo post in poi): viewtopic.php?p=193773#p193773
[Bastone
]Allora, innanzitutto c'è da dire che vale questa affermazione
"Martino":
non trovi il valore della somma ma delle stime inferiori e superiori purtroppo nemmeno tanto buone
e purtroppo è l'impossibilità di un utilizzo reale di tale formula per scopi pratici.
Per esempio, Chebyshev ha dimostrato che
$x/(2 log(x)) \le \pi(x) \le (2x)/(log(x))$
che è una formula bellissima, interessante e quant'altro, ma assolutamente inutile ai fini pratici poiché il margine d'errore della stima è più grande della stima stessa.
Premetto, inoltre, che non ho capito un acca del ragionamento che segui nell'ultimo tuo post, ma trovi che la somma di 5 e 19 è compresa tra 18 e 38 che, anch'essa, è una stima ampia quanto la somma stessa. Immagina questa cosa con numeri grandi...
[Carota
]Ciò non toglie che sia pur sempre una formula interessante e un'ennesima legge interessante che può far presupporre un qualcosa di regolare nell'aritmia dei numeri primi o anche solo per curiosità. Anche se [mezzo bastone
] occorre che tale formula sia certa e non derivante semplicemente da tentativi.Personalmente adoro formule curiose anche se magari inutili dal punto di vista pratico per vari motivi; per esempio quella che ho citato nel "bastone" sopra.
[Nota]
Non prendertela se noti delle risposte piccate ai tuoi interventi. Il punto è che nel corso di anni si sono iscritti molti "individui" presentando lavori come fossero da medaglia Fields che si sono rivelati tutti essere formule messe spesso lì per caso o inconcludenti trovate a tentativi. C'era anche chi spesso postava solo propri "lavori" a mo' di spam parlando dall'alto in basso a chiunque come se avesse le chiavi della conoscenza assoluta (tutti "lavori" spesso vecchi di secoli o con errori anche grossolani).
Il punto è che se disposto al dialogo e offri spunti di discussione sensati e interessanti, avendo l'umiltà di imparare dai propri errori se te ne facciamo notare (vale anche il viceversa per noi
), ben venga che si parli in modo costruttivo di matematica, anche con risultati scontati o vecchi come il cucco, chi se ne importa. Ma se poi inizi a squadrarci dall'alto in basso non avendo la pazienza di ascoltare o perché convinto di essere l'unico nel giusto... allora buona giornata (ma tanto in quel caso ci penseranno i moderatori).Insomma, per fare un esempio pratico non prendere esempio da qui (da questo post in poi): viewtopic.php?p=193773#p193773
"Martino":
Purtroppo i tuoi argomenti sono indeboliti da almeno due fatti: il primo è che non trovi il valore della somma ma delle stime inferiori e superiori purtroppo nemmeno tanto buone, e il secondo è che la tua formula funziona, come dici tu stesso, solo con numeri molto simili di valore (ho provato con 5 e 19 e fallisce). Quindi non penso che tu abbia scoperto alcunché purtroppo. Ciao
E' anche vero però che dato il porodotto di due numeri $n$ , come nel tuo esempio $5 * 19 = 95$ e dicendo che $95$ è $=$ a $5/5$ della somma e di conseguenza $4/5$ e $3/5$ e $2/5$ e $1/5$ posso così dire che :
$sqrt((2178*(5*19))/22) = sqrt(9504) =96,.. $
e
$sqrt((2178*((5*19)-9))/22) = sqrt(8514) =92,.. $
quindi diciamo che $96 * (2/5) = 38,..$
e
$92 *(1/5) = 18,...$
allora la somma si trova a $2/5$ e $1/5$ del prodotto esattamente tra i numeri $18$ e $38$ ed infatti la somma è uguale a $24$ .
Mentre per un prodotto di 5 cifre esempio $10007 * 3 = 30021$ è :
$sqrt(99999*30021) = 54791 *(1/5) = 10958,…$
$sqrt(99999*(30021-9999)) = 44745 *(1/5) = 8949$
tanti 9 quanto il prodotto. (Ovviamente se e solo se i due numeri del prodotto non sono simili di valore , altrimenti è sempre $2178/22 = 99$)
comunque è sempre grande il margine.
Purtroppo i tuoi argomenti sono indeboliti da almeno due fatti: il primo è che non trovi il valore della somma ma delle stime inferiori e superiori purtroppo nemmeno tanto buone, e il secondo è che la tua formula funziona, come dici tu stesso, solo con numeri molto simili di valore (ho provato con 5 e 19 e fallisce). Quindi non penso che tu abbia scoperto alcunché purtroppo. Ciao
Voi che ne sapete più di me cosa ne pensate ? Ringrazio tutti per le risposte.
Allora :
la formula è :
$sqrt(2178*(P1*P2)) / 22 = N1 = (P1+P2) = $(N1 Limite minimo --->P1 + P2<-----N1 limite massimo)
$809 * 811 = 656099 $
$sqrt(2178*(656099)) / 22 = 1718$
la formula
da ( $1718$ = limite massimo )e la somma $1620 = P1 + P2$
allora prendendo il numero $656099 - 99999 = 556100 $(
prendo cinque $9$ perché $656099 $è formato da sei cifre ,
quindi i $9$ aumentano in proporzione al numero )

mettiamo nella stessa formula $556100$ quindi $sqrt(2178
* 556100 ) / 22$ e otteniamo ( $1581$ = limite minimo)
P.S.
$2178 / 22 = 99$
Funziona solo con numeri molto simili di valore

Allora :
la formula è :
$sqrt(2178*(P1*P2)) / 22 = N1 = (P1+P2) = $(N1 Limite minimo --->P1 + P2<-----N1 limite massimo)
$809 * 811 = 656099 $
$sqrt(2178*(656099)) / 22 = 1718$
la formula
da ( $1718$ = limite massimo )e la somma $1620 = P1 + P2$
allora prendendo il numero $656099 - 99999 = 556100 $(
prendo cinque $9$ perché $656099 $è formato da sei cifre ,
quindi i $9$ aumentano in proporzione al numero )

mettiamo nella stessa formula $556100$ quindi $sqrt(2178
* 556100 ) / 22$ e otteniamo ( $1581$ = limite minimo)
P.S.
$2178 / 22 = 99$
Funziona solo con numeri molto simili di valore

è di bassa complessità ma deriva da calcoli un po' particolari
Il punto non è "trovare una formula" ovviamente, il punto è trovane una di bassa complessità. Buona fortuna con tutto.
Credi a quello che vuoi , non mi interessa , inutile poi allora non credo proprio che tu abbia afferrato il concetto , se ti dico RSA ti viene in mente qualcosa ? e poi ho solo chiesto se qualcuno di voi ne sa qualcosa a riguardo oppure no. tutto qua.
Mi sembra tanto una bufala quanto una cosa inutile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo