Aiutino comprensione (linguistica e matematica)

[enpires1]

Ragazzi sto studiando un testo che tratta le basi di Jordan in inglese, sinceramente non riesco a capire un passaggio (non so se sia un problema mio di traduzione o non ci arrivo matematicamente), riporto:

Recall that for each eigenvalue $λ_i$, the eigenspace $E_(λ_i)$ is the kernel of $T − λ_iI_V$ . We generalized this by defining for each integer k = 1,2,... the vector subspace
$E_((X−λ_i )^k) = ker(T −λ_iI_V)^k$

It is clear that we have inclusions
$E_(λ_i) = E_(X−λ_i) ⊂ E_((X−λ_i)^2) ⊂ .... ⊂ E_((X−λi)^e) ⊂ ....$

Tradotto alla buona da me suona così:

Ricordo che per ogni autovaslore $λ_i$, l'autospazio $E_(λ_i)$ è il nucleo di $T − λ_iI_V$ . Possiamo generalizzarlo definendo per ogni intero k = 1,2,... il sottospazio vettoriale
$E_((X−λ_i )^k) = ker(T −λ_iI_V)^k$

E' chiaro che abbiamo delle inclusioni
$E_(λ_i) = E_(X−λ_i) ⊂ E_((X−λ_i)^2) ⊂ .... ⊂ E_((X−λi)^e) ⊂ ....$

Qualcuno mi può spiegare cosa fa con questi interi k=1,2... e soprattutto da dove escono fuori quelle inclusioni?? e cosa vuol dire quella $e$ a cui eleva l'ultimo autospazio

Grazie mille

[gugo82]

Assegnato un endomorfismo $T:V\to V$ ed un suo autovalore $lambda_i$, l'autore sta costruendo una successione di sottospazi di indice $k$ fatta dai nuclei degli operatori $(T-lambda_i*I_V)^k$ (ove $(T-lambda_i*I_V)^k$ non è una potenza, ma è definito come l'operatore che si ottiene componendo $T-lambda_i*I_V$ con se stesso $k$ volte).

Le inclusioni escono fuori dalla considerazione che se $x$ è nel sottospazio $E_((T-lambda_i*I_V)^k)$ per un certo $k$ allora si ha, per definizione, $(T-lambda_i*I_V)^k(x)=0$ e perciò pure $(T-lambda_i*I_V)^(k+1)(x)=(T-lambda_i*I_V)((T-lambda_i*I_V)^k(x))=(T-lambda_i*I_V)(0)=0$, quindi $x\in E_((T-lambda_i*I_V)^(k+1))$; vista l'arbitrarietà delle scelte di $x$ e $k$, trovi l'inclusione:

$E_((T-lambda_i*I_V)^k) \subseteq E_((T-lambda_i*I_V)^(k+1)) \quad$.

Per quanto riguarda la $e$, penso che la stia usando al posto di $k$ per indicare un generico indice, però non ne sono sicuro.