Problemi di Topografia per la classe III Geometri
Per cortesia mi potreste dare una mano nei seguenti problemi di Topografia??
1. Del quadrilatero ABCD si conoscono le coordinate cartesiane dei vertici
A(xa; ya), B(xb; yb), C(xc; yc), D(xd; yd). Dal punto P posto sul lato CD distan-
te r da C, si traccia una retta PQ tale che CP^Q = α, dove con Q si è indicato
il punto di intersezione di tale retta con il lato DA. Si determinino le coordinate
dei punti P e Q.
2. Considerando la terra sferica e di raggio r, determinare la distanza fra due
località A e B, misurata lungo il parallelo, essendo le latitudini lat(A)=lat(B)=θ
e la differenza di longitudine |lon(A)-lon(B)|=φ.
3. Due località si trovano sul medesimo meridiano e la prima, più a Nord, si trova
ad una latitudine lat(A); se la loro distanza è pari a d determinare la latitudine lat(B)
della seconda località ipotizzando la terra sferica e di raggio determinato attraverso i
parametri re ed s dell'ellissoide di Hayford, usando la latitudine della prima località.
Per i testi originali vedasi qui.
Grazie mille!! :)
1. Del quadrilatero ABCD si conoscono le coordinate cartesiane dei vertici
A(xa; ya), B(xb; yb), C(xc; yc), D(xd; yd). Dal punto P posto sul lato CD distan-
te r da C, si traccia una retta PQ tale che CP^Q = α, dove con Q si è indicato
il punto di intersezione di tale retta con il lato DA. Si determinino le coordinate
dei punti P e Q.
2. Considerando la terra sferica e di raggio r, determinare la distanza fra due
località A e B, misurata lungo il parallelo, essendo le latitudini lat(A)=lat(B)=θ
e la differenza di longitudine |lon(A)-lon(B)|=φ.
3. Due località si trovano sul medesimo meridiano e la prima, più a Nord, si trova
ad una latitudine lat(A); se la loro distanza è pari a d determinare la latitudine lat(B)
della seconda località ipotizzando la terra sferica e di raggio determinato attraverso i
parametri re ed s dell'ellissoide di Hayford, usando la latitudine della prima località.
Per i testi originali vedasi qui.
Grazie mille!! :)
Miglior risposta
1. Dato che
Imponendo che sia
il valore di
Dato che
Siano, inoltre,
i vettori direttori delle rette su cui giacciono i segmenti
Imponendo che sia
il valore di
Soluzione:
2. Detto
mento con lati lunghi rispettivamente
il teorema di Eulero si ha
Quindi, quanto desiderato:
Soluzione:
3. Nota la lunghezza del raggio equatoriale
la lunghezza del raggio polare è pari a
essere
più a Nord, in tali punti il raggio terrestre risulta essere
conoscendo la distanza
del secondo problema, si ha
lo stesso meridiano segue che
Ebbene, per determinare
Soluzione:
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
[math]\small P \in CD[/math]
, si ha: [math]\small P(x_p; \, y_p) = P\left(x_p;\,y_c +(x_p-x_c)\frac{y_d-y_c}{x_d-x_c} \right)[/math]
.Imponendo che sia
[math]\begin{cases} (y_p - y_c)^2 + (x_p-x_c)^2 = r^2 \\ x_c \le x_p \le x_d \end{cases}[/math]
si calcolail valore di
[math]x_p[/math]
; di conseguenza è noto pure quello di [math]y_p\\[/math]
.Dato che
[math]\small Q \in AD[/math]
, si ha: [math]\small Q(x_q; \, y_q) = Q\left(x_q;\,y_d +(x_q-x_d)\frac{y_a-y_d}{x_a-x_d} \right)[/math]
.Siano, inoltre,
[math]\small \vec{v}_{PC} := (x_c-x_p, \, y_c - y_p)[/math]
e [math]\vec{v}_{PQ} := (x_q-x_p, \, y_q - y_p)[/math]
,i vettori direttori delle rette su cui giacciono i segmenti
[math]PC[/math]
e [math]PQ[/math]
.Imponendo che sia
[math]\begin{cases} \left|\vec{v}_{PC}\right|\left|\vec{v}_{PQ}\right|\cos\alpha = \vec{v}_{PC}\cdot \vec{v}_{PQ} \\ x_a \le x_q \le x_d \end{cases}[/math]
si calcolail valore di
[math]x_q[/math]
; di conseguenza è noto pure quello di [math]y_q\\[/math]
.Soluzione:
[math]P(31.38; \, 7.15)\,m\,, \; \; Q(41.37; \, 28.76)\,m\\[/math]
.2. Detto
[math]P[/math]
il Polo Nord, sia [math]ABP[/math]
il nostro triangolo sferico di riferi-mento con lati lunghi rispettivamente
[math]a,\,b,\,p[/math]
, dove [math]a = \frac{\pi}{2} - lat(B)[/math]
, [math]b = \frac{\pi}{2} - lat(A)[/math]
e [math]p[/math]
incognito. Detto [math]\varphi = \left|lon(A) - lon(B)\right|[/math]
, per il teorema di Eulero si ha
[math]p = \arccos(\cos a\,\cos b + \sin a\,\sin b\,\cos\varphi)[/math]
.Quindi, quanto desiderato:
[math]d(A;\,B) = p\,r[/math]
, dove [math]r\\[/math]
è il raggio terrestre.Soluzione:
[math]d(A;\,B) \approx 186611\,m\\[/math]
.3. Nota la lunghezza del raggio equatoriale
[math]r_e[/math]
e lo schiacciamento [math]s[/math]
, segue che la lunghezza del raggio polare è pari a
[math]r_p = r_e(1 - s)[/math]
e quindi l'eccentricità risulta essere
[math]e = \sqrt{\frac{r_e^2 - r_p^2}{r_e^2}}[/math]
. Dunque, nota pure la latitudine [math]\theta[/math]
della località A, quella più a Nord, in tali punti il raggio terrestre risulta essere
[math] r = \frac{r_e\,\sqrt{(1-e^2)\cos\theta}}{1-e^2\sin^2\theta}[/math]
. Ora, conoscendo la distanza
[math]d[/math]
tra le località A e B e facendo riferimento alla notazione del secondo problema, si ha
[math]p = \frac{d}{r}[/math]
. Inoltre, dato che le due località si trovano sul-lo stesso meridiano segue che
[math]\small \varphi = |lon(A) - lon(B)|=0[/math]
e quindi [math]\small \cos\varphi = 1[/math]
. Ebbene, per determinare
[math]lat(B)[/math]
non rimane che risolvere il seguente sistema:[math]\begin{cases} \cos p = \cos a\,\cos b + \sin a\,\sin b \\ 0 \le lat(B) \le \theta \end{cases}[/math]
con [math]a,\,b\\[/math]
definiti nel problema 2.Soluzione:
[math]lat(B) = 46°00'59'',5\\[/math]
.Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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