ZCB indicizzati(o FZCB)
Ciao 
ho un dubbio su come venga capitalizzato questo titolo.
riporto un esempio
si supponga di investire un euro in T e che il titolo sia scindibile, allora
quindi si ottiene $V(t)=B(t,T)$ e afferma:
Pertanto, il prezzo di un FZCB `e pari al prezzo di un ZCB sull’intervallo [t, T ]. Da un punto di vista grafico, il flusso di un FZCB sull’intervallo [t, s] equivale a quello di un ZCB sull’intervallo [t, T ].
fin qui è chiaro visto che $V(t)$ era il prezzo pagato per lo ZCB
ora continua con
e questo non l'ho completamente capito. Perché non calcola l'interesse in base al prezzo pagato inizialmente pari a $V(t)$? Viene capitalizzato solo il tratto [T,s]?
le possibilità che mi vengono in mente sono due:
1) si applica il tasso $i(T,s)$ all'intero tratto [s,t]
2) si applica il tasso $i(T,s)$ solo al tratto [T,s]
Penso che la risposta sia la prima in quanto quel tasso è quello rilevato in $T$, però mi viene spontaneo pensare: e nel tratto [t,T] l'investimento non viene capitalizzato? avrebbe senso qualora il tasso sia sufficientemente "grande" da compensare la mancata capitalizzazione di quel tratto....
aggiungo: forse ho sbagliato a considerare l'investimento in $t$. L'investimento dovrebbe essere unitario in $T$ e $B(t, T) $ dovrebbe essere il prezzo dello ZCB in $t$ sapendo il tasso applicato in $T$ e supponendo il titolo scindibile
ho un dubbio su come venga capitalizzato questo titolo.
riporto un esempio
si supponga di investire un euro in T e che il titolo sia scindibile, allora
$V(s)B(T,s)=1$ e $V(T)B(t,T)=V(t)$ con $B(t,T)B(T,s)=B(t,s)$
quindi si ottiene $V(t)=B(t,T)$ e afferma:
Pertanto, il prezzo di un FZCB `e pari al prezzo di un ZCB sull’intervallo [t, T ]. Da un punto di vista grafico, il flusso di un FZCB sull’intervallo [t, s] equivale a quello di un ZCB sull’intervallo [t, T ].
fin qui è chiaro visto che $V(t)$ era il prezzo pagato per lo ZCB
ora continua con
L’interesse corrisposto a scadenza da un FZCB `e dato da,
$V(s)-1=i(T,s)$
$V(s)-1=i(T,s)$
e questo non l'ho completamente capito. Perché non calcola l'interesse in base al prezzo pagato inizialmente pari a $V(t)$? Viene capitalizzato solo il tratto [T,s]?
le possibilità che mi vengono in mente sono due:
1) si applica il tasso $i(T,s)$ all'intero tratto [s,t]
2) si applica il tasso $i(T,s)$ solo al tratto [T,s]
Penso che la risposta sia la prima in quanto quel tasso è quello rilevato in $T$, però mi viene spontaneo pensare: e nel tratto [t,T] l'investimento non viene capitalizzato? avrebbe senso qualora il tasso sia sufficientemente "grande" da compensare la mancata capitalizzazione di quel tratto....
aggiungo: forse ho sbagliato a considerare l'investimento in $t$. L'investimento dovrebbe essere unitario in $T$ e $B(t, T) $ dovrebbe essere il prezzo dello ZCB in $t$ sapendo il tasso applicato in $T$ e supponendo il titolo scindibile
Risposte
Il punto fondamentale è la definizione stessa di FZCB:
è infatti quel titolo in grado di pagare $X_{s}$ all'istante $s$. Tale importo non è noto in $t$ e viene stabilito in $T$ in base al tasso di riferimento (e.g. LIBOR od EURIBOR) per la scadenza $s$ ($t
Ora, il prezzo in $t$ del FZCB deve necessariamente essere:
Perché? Ipotizziamo - tesi assurda - che $V(t,X_{s})>v(t,T)$, implementando la strategia seguente:
1. Vendita allo scoperto del FZCB con scadenza $s$
2. Acquisto spot di uno ZCB unitario con scadenza $T$
3. In $T$ si investe il flusso di cui al p.to precedente per acquistare $\frac{1}{v(T,s)}$ unità di ZCB con scadenza $s$
Così facendo si otterrebbe al tempo $t$ un flusso pari a:
e un flusso nullo negli altri 2 periodi. Questo è - per tesi assurda ($V(t,X_{s})>v(t,T)$) - un free lunch. Cioè un arbitraggio privo di rischio.
È quindi necessario per definizione stessa del FZCB che $X_{s}=1+i(T,s)(s-T)$.
Ho usato la "mia" notazione ma dovrebbe essere comprensibile
è infatti quel titolo in grado di pagare $X_{s}$ all'istante $s$. Tale importo non è noto in $t$ e viene stabilito in $T$ in base al tasso di riferimento (e.g. LIBOR od EURIBOR) per la scadenza $s$ ($t
$X_{s}=\frac{1}{v(T,s)}=1+i(T,s)(s-T)$
.Ora, il prezzo in $t$ del FZCB deve necessariamente essere:
$V(t,X_{s})=v(t,T) \quad t\leq T \leq s $
Perché? Ipotizziamo - tesi assurda - che $V(t,X_{s})>v(t,T)$, implementando la strategia seguente:
1. Vendita allo scoperto del FZCB con scadenza $s$
2. Acquisto spot di uno ZCB unitario con scadenza $T$
3. In $T$ si investe il flusso di cui al p.to precedente per acquistare $\frac{1}{v(T,s)}$ unità di ZCB con scadenza $s$
Così facendo si otterrebbe al tempo $t$ un flusso pari a:
$V(t,X_{s})-v(t,T)$
e un flusso nullo negli altri 2 periodi. Questo è - per tesi assurda ($V(t,X_{s})>v(t,T)$) - un free lunch. Cioè un arbitraggio privo di rischio.
È quindi necessario per definizione stessa del FZCB che $X_{s}=1+i(T,s)(s-T)$.
Ho usato la "mia" notazione ma dovrebbe essere comprensibile
Non mi è chiara soltanto una cosa: l'interpretazione del fattore di sconto $B(t, T) $
È il prezzo che avrei dovuto pagare in $t$ per garantirmi un flusso equivalente a quello del FZCB?
la quantità di denaro che vado a dichiare sul contratto verrà investita soltanto in $T$, alla rilevazione del tasso, e capitalizzando solo l'intervallo [T, s]?
Per esempio se ho un FZCB con rilevazione del tasso che avviene dopo sei mesi e capitalizzazione ad un anno, inoltre alla stipula ho dichiarato di investire $100000€$
Supponiamo che il tasso rilevato in $T=0.5$anni sia del $4%$(a scadenza, "quindi" semestrale) allora, secondo il mio ragionamento, l'interesse sarà $I(0.5,1)=4000€$
Mi sembra di capire che nel periodo [t, T] il mio capitale non subisce alcuna variazione perché effettivamente verrà investito soltanto alla rilevazione del tasso
È il prezzo che avrei dovuto pagare in $t$ per garantirmi un flusso equivalente a quello del FZCB?
la quantità di denaro che vado a dichiare sul contratto verrà investita soltanto in $T$, alla rilevazione del tasso, e capitalizzando solo l'intervallo [T, s]?
Per esempio se ho un FZCB con rilevazione del tasso che avviene dopo sei mesi e capitalizzazione ad un anno, inoltre alla stipula ho dichiarato di investire $100000€$
Supponiamo che il tasso rilevato in $T=0.5$anni sia del $4%$(a scadenza, "quindi" semestrale) allora, secondo il mio ragionamento, l'interesse sarà $I(0.5,1)=4000€$
Mi sembra di capire che nel periodo [t, T] il mio capitale non subisce alcuna variazione perché effettivamente verrà investito soltanto alla rilevazione del tasso
"anto_zoolander":
Non mi è chiara soltanto una cosa: l'interpretazione del fattore di sconto $B(t, T) $
È il prezzo che avrei dovuto pagare in $t$ per garantirmi un flusso equivalente a quello del FZCB?
Sì, è il prezzo di un bond in $t$ che ti paga $1$ con certezza in $T$ prezzo del FZCB è coincidente con il prezzo dello ZCB scadenza $T$ perché altrimenti avresti la possibilità di ottenere un guadagno certo (vedi la dimostrazione sopra).
"anto_zoolander":
la quantità di denaro che vado a dichiare sul contratto verrà investita soltanto in $T$, alla rilevazione del tasso, e capitalizzando solo l'intervallo [T, s]?
Sì, esatto!
"anto_zoolander":
Mi sembra di capire che nel periodo [t, T] il mio capitale non subisce alcuna variazione perché effettivamente verrà investito soltanto alla rilevazione del tasso
Anche qui, è così, ma tieni conto che il concetto di FZCB è meramente teorico (viene usato per la valutazione delle cedole indicizzate). Non troverai mai sul mercato un FZCB né un trading floor che lo struttura!
Perfetto.
Comunque sei chiarissimo quindi tranquillo che a prima battuta ti fai capire
Ma quale sarebbe un possibile vantaggio se si avesse la possibilità di acquistare uno FZCB? Onestamente non ce ne vedo
Comunque sei chiarissimo quindi tranquillo che a prima battuta ti fai capire
Ma quale sarebbe un possibile vantaggio se si avesse la possibilità di acquistare uno FZCB? Onestamente non ce ne vedo
Potrebbe essere che l’aspettativa sul valore del tasso lungo l’intervallo $[T, s]$ non sia correttamente inglobata in $B(t, T)$ e quindi tu pagheresti meno una cosa che vale di più... ma questo significa non accettare l’efficienza dei mercati (o quantomeno non in senso forte) ed in questo modo tutto i risultati della finanza matematica verrebbero messi in crisi 
In altre parole accettare quello che ho detto prima significa che i trader razionali (arbitraggisti, che aggiornano le credenze a mezzo del teorema di Bayes e seguono una funzione di utilità sulla ricchezza finale à la von Neumann-Morgestern) sarebbero in grado di battere il mercato.
In altre parole accettare quello che ho detto prima significa che i trader razionali (arbitraggisti, che aggiornano le credenze a mezzo del teorema di Bayes e seguono una funzione di utilità sulla ricchezza finale à la von Neumann-Morgestern) sarebbero in grado di battere il mercato.
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