Variabili logaritmiche

[jack1189]

Buongiorno a tutti, ho un problema gigante con le variabili logaritmiche. Mi spiego, sto preparando un esame di commercio internazionale e affronto modelli per la determinazione dl tasso di cambio. Finchè le varabili sono in modalità normale, nessun problema. Ma ad un certo punto gli autori dei modelli usano trasformazioni logaritmiche o variabili log-normali. Io non ho mai affrontato questi argomenti, mi sono informato in rete ma mi rimangono dubbi enormi. Faccio un esempio base: il tasso di cambio reale è scritto cosi $ Q_t=(S_t\cdot P_t^°)/P_t $ . $S$ è il tasso di cambio nominale, p* i prezzi esteri e P i prezzi domestici. La legge PPP dice che il cambio è sempre uguale a 1, cioè $Q_t=1$. La forma relativa invece, usa le trasformazioni con i logaritmi sui quali non ho problemi e si ottiene: $ s_t=p_t-p_t^° $ Dove da quello che ho capito le variabili in minuscolo sono uguali al logaritmo di quelle grandi. Ora il mio problema. Che significato LOGICO devo dare a queste variabili? Sulle slides del prof ce tanta confusione. Sono semplicemente delle variabili in una forma più facile da maneggiare e quindi hanno identico significato logico delle cugine maiuscole? Oppure rappresentano la variazione percentuale della variabile maiuscola? Io propenderei per questa, ma in alcuni punti delle slides sembra dire l'opposto....Sul web leggo anche che $ LnS_(t-1)-lnS_t = (S_(t+1)-S_t)/S_t $ e quindi mi confondo ancora di più. Mi potreste dare una mano a capire? Ho le idee molto confuse e non riesco a studiare se prima non capisco tutto fino in fondo.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto ed il tempo.

[Lo_zio_Tom]

sinceramente non capisco il problema...se hai capito da dove nasce $s_(t)$ partendo da $S_(t)$ capisci anche che è solo una trasformazione monotòna della variabile....ad ogni modo i calcoli sono questi:

$Q_(t)=(S_(t)\cdotP_(t)°)/P_(t)=1$

ovvero

$S_(t)\cdotP_(t)°=P_(t)$

calcolo il logaritmo di entrambi i membri ottenendo:

$log(S_(t)P_(t)°)=logP_(t)$

ma essendo $log(ab)=loga+logb$ posso anche scrivere:

$logS_(t)+logP_(t)°=logP_(t)$ e quindi $logS_(t)=logP_(t)-logP_(t)°$

e quindi $s_(t)=p_(t)-p_(t)°$ dove, come hai giustamente notato, la lettera minuscola indica il logaritmo della variabile indicata con la lettera maiuscola.

Perché si fa una trasformazione di questo tipo? Perché a questo punto il nostro modello econometrico diventa una cosa del tipo

$s_(t)=alpha_(t)+betap_(t)-beta°p_(t)°+epsilon_(t)$

che ha una forma più agevole per la stima dei parametri del modello => maggior facilità nel fare stime, previsioni ed inferenza, in generale.
Non è difficile immaginare che, in molti casi, si preferisca avere a che fare con un modello additivo in luogo di uno moltiplicativo..è più facile calcolare derivate (e quindi andamenti relativi delle variabili) punti di massimo, minimo ecc...in sostanza, la trasformazione logaritmica, essendo il logaritmo funzione monotòna, consente calcoli più agevoli mantenendo invariati molte proprietà e punti di interesse del modello (i.e. massimi e minimi).

[Lo_zio_Tom]

"jack1189":Sul web leggo anche che $ LnS_(t-1)-lnS_t = (S_(t+1)-S_t)/S_t $

questa invece non l'ho proprio capita...se mi dici dove l'hai presa gli dò un'occhiata

[jack1189]

Ciao! allora, il mio problema è il concetto logico. Per quant riguarda quella formula strana lascia perdere, è stata un errore mio. Quindi praticamente devo leggere tali variabili come se fossero semplicemente i logaritmi delle variabili maiuscole. Ti faccio un ultima domanda per essere sicuro al 100% : $ s_t=p_t-p_t^° $ non può in alcun modo esser inteso come : il tasso di deprezzamento del cambio nominale è pari al differenziale di inflazione domestica ed estera. Del tipo: se l'inflazione domestica è il 5% e quella estera il 3%, allora il tasso di cambio si dovrà deprezzare del 2%.

Chiedo perdono in anticipo se con questa domanda avrò mostrato di non aver capito!
Grazie dell'aiuto