TdG e Equilibri predigeriti?
Salve a tutti, innanzitutto invoco la "captatio benevolentiae" in nome della mia ignorantaggine sull'argomento. ho preparato una tesi di maturità sulla figura di J. Nash e per forza tocco il suo discoso sugli equilibri. sarebbe bello che riuscissi a spiegare ai professori come si trovano gli equilibri di Nash, in modo da giustificare gli esempi che porto che ho trovato qua nel forum e nella rete. C'e quindi un metodo predigerito all'ennesina potenza su come trovare gli equilibri nelle matrici 2x2? le matrici di cui parlo sono quelle tipiche da esempio storico, cioè quelle che descrivono il disarmo nella guerra fredda e la crisi di Cuba.
in pratica, anche se ho letto i post sulla TdG, preso dimestichezza su alcuni termini tipo strategia dominante, dominata (che magari non servono a nulla) non riesco a trovare un metodo generale di approccio al calcolo degli equilibri. degli esempi sopra citati, con gli equilibri sotto gli occhi, riesco a capire il perchè sono quelli, ma è trovarli da 0 il problema. innanzitutto capisco che può essere complicato per uno studente delle superiori questo argomento, però a me interessa alla fine sapere come "approcciarmi" correttamente a queste matrici per vederci più chiaro.
grazie mille in anticipo!!
in pratica, anche se ho letto i post sulla TdG, preso dimestichezza su alcuni termini tipo strategia dominante, dominata (che magari non servono a nulla) non riesco a trovare un metodo generale di approccio al calcolo degli equilibri. degli esempi sopra citati, con gli equilibri sotto gli occhi, riesco a capire il perchè sono quelli, ma è trovarli da 0 il problema. innanzitutto capisco che può essere complicato per uno studente delle superiori questo argomento, però a me interessa alla fine sapere come "approcciarmi" correttamente a queste matrici per vederci più chiaro.
grazie mille in anticipo!!
Risposte
ah si, vi chiedo se per favore potete essere non troppo precisi con i simboli che usate o almeno di spiegarli perchè alcuni non li conosco proprio!
ho letto online alcune dispense di Fioravante Patrone:
posso spiegare la ricerca dell'equilibrio di Nash così? (mi riferisco all'esempio a pagina 3 che indica f(T,L)=1 f(T,R) = 2 g (T,L) = -1 e così via..)
i due giocatori decidono di giocare la strategia LB la quale garantirebbe al giocatore 1 2€ e al g2 3€ (il che parrebbe un'ottima soluzione)
il giocatore 1 però pensa che se g2 gioca R invece, così da massimizzare i guadagni che andrebbero a 4€, lui guadagnerebbe solamente 1€
allora dato che g1 pensa che g2 voglia massimizare i suoi guadagni allora gioca T, in modo che guadagna 2€ invece che 1€ se mantenesse la sua parte di patto.
x uno studente di superiori una spiegazione del genere va bene o va farcita di definizioni?
ringrazio il prof. Patrone x il sito!
posso spiegare la ricerca dell'equilibrio di Nash così? (mi riferisco all'esempio a pagina 3 che indica f(T,L)=1 f(T,R) = 2 g (T,L) = -1 e così via..)
i due giocatori decidono di giocare la strategia LB la quale garantirebbe al giocatore 1 2€ e al g2 3€ (il che parrebbe un'ottima soluzione)
il giocatore 1 però pensa che se g2 gioca R invece, così da massimizzare i guadagni che andrebbero a 4€, lui guadagnerebbe solamente 1€
allora dato che g1 pensa che g2 voglia massimizare i suoi guadagni allora gioca T, in modo che guadagna 2€ invece che 1€ se mantenesse la sua parte di patto.
x uno studente di superiori una spiegazione del genere va bene o va farcita di definizioni?
ringrazio il prof. Patrone x il sito!
"ricped92":
posso spiegare la ricerca dell'equilibrio di Nash così? (mi riferisco all'esempio a pagina 3 che indica f(T,L)=1 f(T,R) = 2 g (T,L) = -1 e così via..)
i due giocatori decidono di giocare la strategia LB la quale garantirebbe al giocatore 1 2€ e al g2 3€ (il che parrebbe un'ottima soluzione)
il giocatore 1 però pensa che se g2 gioca R invece, così da massimizzare i guadagni che andrebbero a 4€, lui guadagnerebbe solamente 1€
allora dato che g1 pensa che g2 voglia massimizare i suoi guadagni allora gioca T, in modo che guadagna 2€ invece che 1€ se mantenesse la sua parte di patto.
x uno studente di superiori una spiegazione del genere va bene o va farcita di definizioni?
Evidentemente ti riferisci ai miei appunti "Breve introduzione alla teoria dei giochi", ovvero:
http://www.fioravante.patrone.name/intro_TdG.pdf
Io direi così, mettendo tra parentesi i commenti fuori testo:
I due giocatori potrebbero mettersi d'accordo
(si parla di accordo, che si intende NON VINCOLANTE, così da menzionare una delle principali giustificazioni dell'equilibrio di Nash)
a giocare BL
(prima viene le scelta del I giocatore, poi quella del II),
il che parrebbe un'ottima soluzione.Il giocatore II però sarebbe tentato di violare l'accordo, giocando R che gli garantisce un guadagno
(io qui ti seguo, parlando di guadagno. Tieni conto che sarebbe corretto parlare di valori di utilità, ma penso che in prima approssimazione ci si possa accontantare, in una tesina, di parlare di "soldi")
pari a 4.
Se i giocatori non possono stipulare accordi vincolanti, come si assume quando si parla di giochi non cooperativi, questo problemino, di cui il giocatore I è consapevole, rende poco attendibile il fatto che i due giocatori possano davvero accordarsi su "BL".
D'altro canto, un accordo che preveda di giocare TR non ha questi problemi di instabilità: nessuno dei due ha interesse, unilateralmente, a non rispettare l'accordo. E' questa stabilità che rende interessante l'idea di equilibrio di Nash.
"ricped92":prego...
ringrazio il prof. Patrone x il sito!
"ricped92":
in pratica, anche se ho letto i post sulla TdG, preso dimestichezza su alcuni termini tipo strategia dominante, dominata (che magari non servono a nulla) non riesco a trovare un metodo generale di approccio al calcolo degli equilibri. degli esempi sopra citati, con gli equilibri sotto gli occhi, riesco a capire il perchè sono quelli, ma è trovarli da 0 il problema. innanzitutto capisco che può essere complicato per uno studente delle superiori questo argomento, però a me interessa alla fine sapere come "approcciarmi" correttamente a queste matrici per vederci più chiaro.
Per trovare gli equilibri in strategie pure puoi usare il metodo della "best reply", che trovi illustrato ad esempio qui:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... isegni.pdf
Esempi 1 e 4.
Prendiamo l'es. 4.
Dato T, le strategie che danno a II il miglior risultato sono C ed R. E quindi si mette in evidenza il secondo numero (quello che corrisponde a II) nelle celle TC e TR.
Dato M, la strategia migliore per II è L
etc.
Così facendo, basta poi vedere se ci sono celle in cui entrambi i numeri sono sottolineati. Nell'esempio ne abbiamo due: BL e BR.
Prendiamo BL, ad esempio: è equilibrio di Nash perché a I non conviene strettamente giocare altre strategie: B è stata sottolineata proprio perché è (una delle) miglior risposta possibile a L. Idem, a II non ci sono altre strategie strettamente più convenienti.
quindi alla fine basta (per casi semplici si intende) seguire la procedura di "individuazione" dell'intersezioni delle best reply per capire quali sono gli equilibri di Nash. grazie mille!
ah si, un consiglio di esposizione, dato che in commissione avrò solo un professore di matematica mentre gli altri gli ipotizzo abbastanza "ignoranti" in materia, mi conviene espore qualche assioma fondamentale (quello della razionalità per esempio), spiegare cosa è una strategia dominata o dominante e poi il calcolo degli equilibri? la mia tesina verte sulla figura di J. Nash, quindi la TdG è diciamo un capitolo, non il fulcro del lavoro.
grazie millle per la disponibilità!!!
ah si, un consiglio di esposizione, dato che in commissione avrò solo un professore di matematica mentre gli altri gli ipotizzo abbastanza "ignoranti" in materia, mi conviene espore qualche assioma fondamentale (quello della razionalità per esempio), spiegare cosa è una strategia dominata o dominante e poi il calcolo degli equilibri? la mia tesina verte sulla figura di J. Nash, quindi la TdG è diciamo un capitolo, non il fulcro del lavoro.
grazie millle per la disponibilità!!!
"ricped92":Chi lo sa? Dipende!
ah si, un consiglio di esposizione, dato che in commissione avrò solo un professore di matematica mentre gli altri gli ipotizzo abbastanza "ignoranti" in materia, mi conviene espore qualche assioma fondamentale (quello della razionalità per esempio), spiegare cosa è una strategia dominata o dominante e poi il calcolo degli equilibri? la mia tesina verte sulla figura di J. Nash, quindi la TdG è diciamo un capitolo, non il fulcro del lavoro.
grazie millle per la disponibilità!!!
Io mi limiterei a dire qualcosa sulla razionalità e che c'entra l'equilibrio di Nash con la ipotesi di razionalità. Facendo magari un esempio. Taglierei il discoso delle strategie dominate/dominanti (a meno che non sia funzionale per qualcosa di specifico nella tua tesina, cosa che non so).
grazie mille. ora inizio l'opera di "riassunto" e vedrò poi come si comporta il capitolo in questione!
un quesito che mi sorge, nel caso della matrice che rappresenta il disarmo, l'equlibrio che si viene a creare (riarmo;riarmo) è un equilibrio di Nash? cioè in altre parole, posso definirli tutti equilibri di Nash questi o esistono altri tipi di equilibrio? lo chiedo questo x correttezza di informazione nel mio lavoro.
"ricped92":Presumo di sì, ma vorrei vedere la matrice prima
un quesito che mi sorge, nel caso della matrice che rappresenta il disarmo, l'equlibrio che si viene a creare (riarmo;riarmo) è un equilibrio di Nash? cioè in altre parole, posso definirli tutti equilibri di Nash questi o esistono altri tipi di equilibrio? lo chiedo questo x correttezza di informazione nel mio lavoro.
(premesso che non riesco a fare le matrici)
per il giocatore 1 f(si ai missili,si ai missili)= 10 f(si ai missili,no ai missili) = 200 f(no ai missili,si ai missili)=0 f(no ai missili,no ai missili)=100
idem per il giocatore 2
i pay off indicano che sebbene un mondo senza missili sia bello (pay off 100) non avere missili mentre l'avversario è armato è vergognoso ( =0 ). un mondo pieno di missili non è il massimo ma è sempre meglio che essere disarmati (=10). l'equilibiro in 10;10 che si viene a creare, lo posso chiamare Equilibrio di Nash?
per il giocatore 1 f(si ai missili,si ai missili)= 10 f(si ai missili,no ai missili) = 200 f(no ai missili,si ai missili)=0 f(no ai missili,no ai missili)=100
idem per il giocatore 2
i pay off indicano che sebbene un mondo senza missili sia bello (pay off 100) non avere missili mentre l'avversario è armato è vergognoso ( =0 ). un mondo pieno di missili non è il massimo ma è sempre meglio che essere disarmati (=10). l'equilibiro in 10;10 che si viene a creare, lo posso chiamare Equilibrio di Nash?
E' questa la matrice, immagino (NB: NON è vero che $g = f$):
$(( I \ \\ \ II \ \vdots,SI,NO),(\ldots\ldots,\ldots\ldots,\ldots\ldots),(\ \ \ SI \ \ \ \ \vdots,10 \ 10 \ , \ 200 \ 0),(\ \ \ NO \ \ \vdots,0 \ 200 \ , \ 100 \ 100))$
Insomma, si tatta del classico dilemma del prigioniero. Le strategie "SI" sono dominanti, ergo "(SI,SI)" è un equilibrio di Nash. Come puoi agevolmente verificare, soddisfa la definizione (e lo trovi col metodo della "best reply" descritta qualche post fa).
$(( I \ \\ \ II \ \vdots,SI,NO),(\ldots\ldots,\ldots\ldots,\ldots\ldots),(\ \ \ SI \ \ \ \ \vdots,10 \ 10 \ , \ 200 \ 0),(\ \ \ NO \ \ \vdots,0 \ 200 \ , \ 100 \ 100))$
Insomma, si tatta del classico dilemma del prigioniero. Le strategie "SI" sono dominanti, ergo "(SI,SI)" è un equilibrio di Nash. Come puoi agevolmente verificare, soddisfa la definizione (e lo trovi col metodo della "best reply" descritta qualche post fa).
ok ok! grazie mille per la pazienza!!
un'ultima (spero) delucidazione. l'assioma di razionalità esprime che “nessun giocatore sceglie un’azione se ne ha a disposizione un’altra che gli permette di ottenere risultati migliori, qualunque sia il comportamento dell’avversario” giusto? in riferimento agli equilibri di Nash, le quali strategie stabili quasi mai sono degli ottimi parietani, posso giustificare l'assioma dicendo che i giocatori fanno sempre la migliore scelta possibile dando per assodato che anche gli avversari facciano la migliore scelta possibile? e che quindi l'intersezione, se c'è, fra queste best reply genera l'equilibrio. può tenere come spiegazione?
La giustificazione dell'equilibrio di Nash non è una passeggiata. Detto questo, la tua "sintesi" può rappresentare una accettabile prima approssimazione.
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