Strategie miste al variare del parametro

[maybe1]

salve potete aiutarmi a risolvere il seguente gioco:

L R
T (1,2) (2,d)

B (2,3) (1,4)

determinare le strategie miste al variare del parametro reale positivo d.
facendo i calcoli ottengo $x=1/(3-d)$ e $y=1/2$
il libro invece dice che questa è la risposta corretta quando d<2 mentre se d>=2 non ci sono equilibri in strategie miste.
ma perchè ?????????????!!!

[Fioravante Patrone1]

"maybe":
determinare le strategie miste al variare del parametro reale positivo d.

Non penso che questa sia la domanda che ti viene posta nel problema.
Ovviamente le strategie miste sono sempre le stesse, indipendentemente dal valore del parametro $d$.
Ho qualche sospetto su quale sia la vera domanda...

E, per curiosità, che tipo di calcoli fai?

[maybe1]

ho ricontrollato il testo e la domanda è proprio quella o meglio mi chiede di calcolare sia gli equilibri puri che quelli misti al variare di d.
quelli puri sono:
d<2 non ci sono equilibri di Nash puri
d>=2 (T,R) è l'unico equilibrio di Nash in strategie pure
per quanto riguarda le strategie miste le utilità medie ponderate dei due giocatori le calcolo così:
E1(x,y)=xy+2x(1-y)+2y(1-x)+(1-x)(1-y)=-2xy+x+y+1
E2(x,y)=2xy+dx(1-y)+3y(1-x)+4(1-x)(1-y)=(3-d)xy+(d-4)x-y+4

$(dE1)/dx=-2y+1$
$(dE2)/dy=(3-d)x-1$
risolvo il sistema
-2y + 1 = 0
(3-d)x -1 = 0
e ottengo le soluzioni che le ho scritto prima mentre nella risposta si distingue in base al valore del parametro d.......
sbaglio in qualcosa?

[Fioravante Patrone1]

"maybe":ho ricontrollato il testo e la domanda è proprio quella o meglio mi chiede di calcolare sia gli equilibri puri che quelli misti al variare di d.

"o meglio"

So di essere antipatico, per lo meno mi sforzo di esserlo.
Ma un prerequisito per svolgere un esercizio è capire cosa dice il testo, cosa chiede.

E lo stesso vale quando si "posta" su un forum. A cosa avrebbe dovuto rispondere un "forumista"? A una richiesta che era evidentemente priva di senso?

[Fioravante Patrone1]

"maybe":
quelli puri sono:
d<2 non ci sono equilibri di Nash puri
d>=2 (T,R) è l'unico equilibrio di Nash in strategie pure

corretto

"maybe":
per quanto riguarda le strategie miste le utilità medie ponderate dei due giocatori le calcolo così:
E1(x,y)=xy+2x(1-y)+2y(1-x)+(1-x)(1-y)=-2xy+x+y+1
E2(x,y)=2xy+dx(1-y)+3y(1-x)+4(1-x)(1-y)=(3-d)xy+(d-4)x-y+4

$(dE1)/dx=-2y+1$
$(dE2)/dy=(3-d)x-1$
risolvo il sistema
-2y + 1 = 0
(3-d)x -1 = 0
e ottengo le soluzioni che le ho scritto prima mentre nella risposta si distingue in base al valore del parametro d.......
sbaglio in qualcosa?

Al di là dei conti, che non sono la cosa più importante qui (non li ho controllati, comunque, ma non mi convincono: se hai voglia, ricontrollali. Quel "3" tra i piedi non mi piace), la strada che segui necessita di ulteriori considerazioni:
- le derivate parziali si devono annullare in punti di $[0,1]$
- se questo non avviene, hai quelle che alcuni economisti chiamano "soluzioni d'angolo"
- resta da garantire che i punti in cui si annullano le derivate parziali sono punti di massimo per il payoff del giocatore

Nel caso specifico, avviene una cosa molto semplice: coerentemente con quanto si vede in strategie pure, per $d \ge 2$ la strategia
$R$ domina $L$. Quindi la miglior risposta di $II$ a ogni strategia mista di $I$ (unica eccezione: per $d=2$ e $x=1$, nel qual caso ogni strategia mista è best reply) è semplicemente $R$.

[Luce Raiffa]

"Fioravante Patrone":
Al di là dei conti, che non sono la cosa più importante qui (non li ho controllati, comunque, ma non mi convincono: se hai voglia, ricontrollali. Quel "3" tra i piedi non mi piace), la strada che segui necessita di ulteriori considerazioni:
- le derivate parziali si devono annullare in punti di $[0,1]$
- se questo non avviene, hai quelle che alcuni economisti chiamano "soluzioni d'angolo"
- resta da garantire che i punti in cui si annullano le derivate parziali sono punti di massimo per il payoff del giocatore

Nel caso specifico, avviene una cosa molto semplice: coerentemente con quanto si vede in strategie pure, per $d \ge 2$ la strategia
$R$ domina $L$. Quindi la miglior risposta di $II$ a ogni strategia mista di $I$ (unica eccezione: per $d=2$ e $x=1$, nel qual caso ogni strategia mista è best reply) è semplicemente $R$.

Dando un'occhiata nel forum mi sono imbattuto in questo vecchio thread e mi ha incuriosito questo discorso.
E' proprio necessario tirare in ballo le derivate parziali per calcolare le strategie miste in questo gioco? Non equivale all'usare bazooka per uccidere formiche?
Ho usato il sistema classico in cui si pesano le probabilità e se ne tira fuori un'equazione per vedere quando i giocatori sono indifferenti e ho trovato lo stesso risultato ("3" incluso... sigh).

Indi mi chiedo: quando si deve usare il bazooka delle derivate parziali per un contesto del genere? Ci dice sempre qualcosa in più (anche in questo contesto semplice) che in altri modi non otterremo?

Chiedo venia a tutti per la risposta ovvia, ma sono dubbi da eterno autodidatta che non si sciolgono attraverso l'acuisto di libri.